(THPTQG – 2018 – 103) Cho bao nhiêu số phức thỏa mãn \( \left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z \)?
A. 1
B. 4
C. 2
D. 3
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Đặt \( \left| z \right|=a\ge 0,\text{ }a\in \mathbb{R} \), khi đó ta có:
\( \left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z \) \( \Leftrightarrow a(z-6-i)+2i=(7-i)z\Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+ai-2i \)
\( \Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+(a-2)i\Leftrightarrow \left| (a-7+i) \right|\left| z \right|=\left| 6a+(a-2)i \right| \)
\( \Leftrightarrow \left[ {{(a-7)}^{2}}+1 \right]{{a}^{2}}=36{{a}^{2}}+{{(a-2)}^{2}} \) \( \Leftrightarrow {{a}^{4}}-14{{a}^{3}}+13{{a}^{2}}+4a-4=0 \)
\( \Leftrightarrow (a-1)({{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\ & {{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \)
Xét hàm số \( f(a)={{a}^{3}}-13{{a}^{2}}\text{ }(a\ge 0) \), có bảng biến thiên là:
Đường thẳng \( y=-4 \) cắt đồ thị hàm số \( f(a) \) tại hai điểm nên phương trình \( {{a}^{3}}-12{{a}^{2}}+4=0 \) có hai nghiệm khác 1 (do \( f(1)\ne 0 \) ). Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!