Cho bao nhiêu số phức thỏa mãn |z|(z−6−i)+2i=(7−i)z?

(THPTQG – 2018 – 103) Cho bao nhiêu số phức thỏa mãn \( \left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z \)?

A. 1

B. 4

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( \left| z \right|=a\ge 0,\text{ }a\in \mathbb{R} \), khi đó ta có:

 \( \left| z \right|\left( z-6-i \right)+2i=\left( 7-i \right)z  \) \( \Leftrightarrow a(z-6-i)+2i=(7-i)z\Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+ai-2i  \)

 \( \Leftrightarrow (a-7+i)z=6a+(a-2)i\Leftrightarrow \left| (a-7+i) \right|\left| z \right|=\left| 6a+(a-2)i \right| \)

 \( \Leftrightarrow \left[ {{(a-7)}^{2}}+1 \right]{{a}^{2}}=36{{a}^{2}}+{{(a-2)}^{2}} \) \( \Leftrightarrow {{a}^{4}}-14{{a}^{3}}+13{{a}^{2}}+4a-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow (a-1)({{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=1 \\  & {{a}^{3}}-13{{a}^{2}}+4=0 \\ \end{align} \right. \)

Xét hàm số  \( f(a)={{a}^{3}}-13{{a}^{2}}\text{ }(a\ge 0) \), có bảng biến thiên là:

Đường thẳng  \( y=-4 \) cắt đồ thị hàm số  \( f(a) \) tại hai điểm nên phương trình  \( {{a}^{3}}-12{{a}^{2}}+4=0 \) có hai nghiệm khác 1 (do  \( f(1)\ne 0 \) ). Mỗi giá trị của a cho ta một số phức z.

Vậy có 3 số phức thỏa mãn điều kiện.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *