Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 3log3(1+√a+3√a)>2log2√a. Giá trị của log2(2017a) xấp xỉ bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Từ giả thiết  \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a} \).

Đặt  \( {{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a={{64}^{x}} \).

Ta được bất phương trình:  \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x\Leftrightarrow 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \).

Đặt  \( f(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}} \).

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{1}{9}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{8}{9}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{9}<0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Do đó, f(x) là hàm số nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \). Và ta lại có f(2) = 1.

Từ  \( {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \) \( \Leftrightarrow f(x)>f(2)\Leftrightarrow x<2 \)

Suy ra  \( a<{{64}^{2}}=4096 \) mà a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra a = 4095.

Vậy  \( {{\log }_{2}}\left( 2017a \right)={{\log }_{2}}\left( 2017.4095 \right)\approx 29,977764\approx 23 \)