Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 3log3(1+√a+3√a)>2log2√a. Giá trị của log2(2017a) xấp xỉ bằng

Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a} \). Giá trị của  \( {{\log }_{2}}\left( 2017a \right) \) xấp xỉ bằng:

A. 19

B. 26

C. 25                                

D. 23.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Từ giả thiết  \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a} \).

Đặt  \( {{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a={{64}^{x}} \).

Ta được bất phương trình:  \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x\Leftrightarrow 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \).

Đặt  \( f(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}} \).

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{1}{9}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{8}{9}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{9}<0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Do đó, f(x) là hàm số nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \). Và ta lại có f(2) = 1.

Từ  \( {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \) \( \Leftrightarrow f(x)>f(2)\Leftrightarrow x<2 \)

Suy ra  \( a<{{64}^{2}}=4096 \) mà a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra a = 4095.

Vậy  \( {{\log }_{2}}\left( 2017a \right)={{\log }_{2}}\left( 2017.4095 \right)\approx 29,977764\approx 23 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *