Cho a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a} \). Giá trị của \( {{\log }_{2}}\left( 2017a \right) \) xấp xỉ bằng:
A. 19
B. 26
C. 25
D. 23.
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Từ giả thiết \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a} \).
Đặt \( {{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a={{64}^{x}} \).
Ta được bất phương trình: \( 3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x\Leftrightarrow 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}} \)
\( \Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \).
Đặt \( f(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}} \).
\( \Rightarrow {f}'(x)={{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{1}{9}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{8}{9}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{9}<0,\forall x\in \mathbb{R} \).
Do đó, f(x) là hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \). Và ta lại có f(2) = 1.
Từ \( {{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{x}}>1 \) \( \Leftrightarrow f(x)>f(2)\Leftrightarrow x<2 \)
Suy ra \( a<{{64}^{2}}=4096 \) mà a là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn suy ra a = 4095.
Vậy \( {{\log }_{2}}\left( 2017a \right)={{\log }_{2}}\left( 2017.4095 \right)\approx 29,977764\approx 23 \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!