Hướng dẫn giải:

+ Trường hợp  \( AB\parallel CD \).

Từ M kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P và đường thẳng song song với AC cắt CD tại Q.

 \( \Rightarrow \) Tứ giác MPDB và MACQ là hình bình hành.

 \( \Rightarrow BD=MP \) và  \( AC=MQ \).

Ta chứng minh:  \( MN\le \max \{MP,MQ\} \).

 \( N\in CD\Rightarrow MN\le \max \{MP,MQ\} \)

 \( \Rightarrow MN\le \max \{AC,BD\} \).

+ Trường hợp AB không song song với CD.

Giả sử  \( \widehat{A}+\widehat{D}>{{180}^{O}}\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}<{{180}^{O}} \).

Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt MN, AC tại G và K.

Áp dụng định lí Menelaus đối với  \( \Delta DKC\) với ba điểm E, G, N  \( \Rightarrow \frac{GK}{GD}.\frac{ND}{NC}.\frac{EC}{EK}=1 \) .

 \( \Rightarrow \frac{GK}{GD}.\frac{ND}{NC}=\frac{EK}{EC}<1\Rightarrow \frac{GK}{GD}<\frac{NC}{ND} \)  (1)

 \( AB\parallel DK\Rightarrow \frac{GK}{GD}=\frac{MA}{MB} \)  (2)

Kẻ  \( CQ\parallel AB \) và  \( MQ\parallel AC \),  \( DP\parallel AB \) và  \( MP\parallel BD \).

 \( \Rightarrow  \) Tứ giác AMQC và BMPD là hình bình hành.

 \( \Rightarrow AC=MQ,\text{ }AM=CQ \) và  \( BD=MP,BM=DP\Rightarrow CQ\parallel AB\parallel DP \), gọi I là giao điểm của PQ với CD.

 \( \Rightarrow \frac{CI}{ID}=\frac{CQ}{DP}=\frac{MA}{MB} \), từ (1) và (2)  \( \frac{NC}{ND}>\frac{IC}{ID}=\frac{MA}{MB} \).

 \( \Rightarrow DI\ge DN \), giao điểm MN cắt PQ tại F  \( \Rightarrow MN\le MF \).

 \( \Rightarrow MN<\max \{MP,MQ\}=\max \{BD,AC\} \).