Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình z^2+√3z+a^2−2a=0 có nghiệm phức z0 với phần ảo khác 0 thỏa mãn |z0|=√3

Có bao nhiêu giá trị dương của số thực a sao cho phương trình \( {{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a= \)0 có nghiệm phức \({{z}_{0}}\) với phần ảo khác 0 thỏa mãn \(\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{3}\).

A. 3

B. 2

C. 1                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \Delta =3-4({{a}^{2}}-2a)=3-4{{a}^{2}}+8a  \)

Phương trình  \( {{z}^{2}}+\sqrt{3}z+{{a}^{2}}-2a=0 \) có nghiệm phức khi và chỉ khi

 \( \Delta <0\Leftrightarrow 3-4{{a}^{2}}+8a<0\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-8a-3>0 \)      (*).

Khi đó phương trình có hai nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai số phức liên hợp của nhau và \(\left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\).

Ta có:  \( {{z}_{1}}.{{z}_{2}}={{a}^{2}}-2a\Rightarrow \left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \) \( \Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-2a \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{0}} \right|}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \)

Theo giả thiết có  \( {{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=\left| {{a}^{2}}-2a \right| \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{a}^{2}}-2a=3 \\  & {{a}^{2}}-2a=-3 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=-1 \\  & a=3 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn điều kiện (*)).

Các giá trị của a thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy có 1 giá trị dương a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Xét số phức z thỏa mãn (1+2i)|z|=√10/z−2+i. Mệnh đề nào dưới đây đúng

(Đề thử nghiệm – 2017) Xét số phức z thỏa mãn \( (1+2i)\left| z \right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( \frac{3}{2}<\left| z \right|<2 \)

B.  \( \left| z \right|>2 \)  

C.  \( \left| z \right|<\frac{1}{2} \)                                    

D.  \( \frac{1}{2}<\left| z \right|<\frac{3}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \) và  \( \left| z \right|=c\text{ }(c>0) \), thay vào đẳng thức ta có:  \( (1+2i)c=\frac{\sqrt{10}}{x+yi}-2+i  \)

\(\Leftrightarrow (1+2i)c=\frac{\sqrt{10}(x-yi)}{{{c}^{2}}}-2+i\)\(\Leftrightarrow c-\frac{x\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}+2+i\left( 2c+\frac{y\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}-1 \right)=0\)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \Leftrightarrow c-\frac{x\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}+2=0 \\  & 2c+\frac{y\sqrt{10}}{{{c}^{2}}}-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & c+2=\frac{x\sqrt{10}}{{{c}^{2}}} \\  & -2c+1=\frac{y\sqrt{10}}{{{c}^{2}}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{(c+2)}^{2}}+{{(2c-1)}^{2}}=\frac{10({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}{{{c}^{4}}}=\frac{10}{{{c}^{2}}} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=1\text{ }(n) \\  & c=-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left| z \right|=1\)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{2}<\left| z \right|<\frac{3}{2}\).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho phương trình x^2−4x+c/d=0 (với phân số c/d tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (với O là gốc tọa độ), tính P=c+2d

Cho phương trình \( {{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0 \) (với phân số  \( \frac{c}{d} \) tối giản) có hai nghiệm phức. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn của hai nghiệm đó trên mặt phẳng Oxy. Biết tam giác OAB đều (với O là gốc tọa độ), tính  \( P=c+2d  \).

A. P = 18

B. \( P=-10 \)

C.  \( P=-14 \)                  

D. P = 22

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {{x}^{2}}-4x+\frac{c}{d}=0 \) có hia nghiệm phức  \( \Leftrightarrow {\Delta }’=4-\frac{c}{d}<0 \).

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức \( {{x}_{1}}=2+\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}i;\text{ }{{x}_{2}}=2-\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}i \).

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của  \( {{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}} \) trên mặt phẳng Oxy ta có:

 \( A\left( 2;\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|} \right);\text{ }B\left( 2;-\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|} \right) \).

Ta có: \( AB=2\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|};\text{ }OA=OB=\sqrt{4+\left| {{\Delta }’} \right|} \).

Tam giác OAB đều khi và chỉ khi \(AB=OA=OB\Leftrightarrow 2\sqrt{\left| {{\Delta }’} \right|}=\sqrt{4+\left| {{\Delta }’} \right|}\)

\(\Leftrightarrow 4\left| {{\Delta }’} \right|=4+\left| {{\Delta }’} \right|\Leftrightarrow \left| {{\Delta }’} \right|=\frac{4}{3}\).

Vì \({\Delta }'<0\) nên \({\Delta }’=-\frac{4}{3}\Rightarrow 4-\frac{c}{d}=-\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{c}{d}=\frac{16}{3}\)

Từ đó, ta có:  \( c=16;\text{ }d=3 \).

Vậy,  \( P=c+2d=22 \) .

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Số phức z=a+bi, a,b∈R là nghiệm của phương trình (|z|−1)(1+iz)/(z−1/z¯)=i. Tổng T=a^2+b^2 bằng

Số phức \( z=a+bi,\text{ }a,b\in \mathbb{R} \) là nghiệm của phương trình \( \frac{\left( \left| z \right|-1 \right)\left( 1+iz \right)}{z-\frac{1}{{\bar{z}}}}=i \). Tổng  \( T={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \) bằng

A. 4

B. \( 4-2\sqrt{3} \)           

C.  \( 3+2\sqrt{2} \)         

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Điều kiện:  \( z\ne 0;\text{ }z\ne 1 \).

Ta có:  \( \frac{\left( \left| z \right|-1 \right)\left( 1+iz \right)}{z-\frac{1}{{\bar{z}}}}=i\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( \bar{z}+i{{\left| z \right|}^{2}} \right)=\left( {{\left| z \right|}^{2}}-1 \right)i \)

 \( \Leftrightarrow \bar{z}+i{{\left| z \right|}^{2}}=\left( \left| z \right|+1 \right)i\Leftrightarrow \bar{z}=\left( -{{\left| z \right|}^{2}}+\left| z \right|+1 \right)i \)

 \( \left| {\bar{z}} \right|=\pm \left( -{{\left| z \right|}^{2}}+\left| z \right|+1 \right)\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1 hoặc {{\left| z \right|}^{2}}-2\left| z \right|-1=0\Leftrightarrow \left| z \right|=1+\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=3+2\sqrt{2} \)

Vậy  \( T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3+2\sqrt{2} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w+i và 2w−1 là hai nghiệm của phương trình z^2+az+b=0. Tổng S=a+b bằng

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng  \( w+i  \) và  \( 2w-1 \) là hai nghiệm của phương trình  \( {{z}^{2}}+az+b=0 \). Tổng  \( S=a+b  \) bằng

A. \( \frac{5}{9} \)                                           

B.  \( -\frac{5}{9} \)                    

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( -\frac{1}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Đặt  \( w=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \). Vì  \( a,b\in \mathbb{R} \) và phương trình  \( {{z}^{2}}+az+b=0 \) có hai nghiệm là  \( {{z}_{1}}=w+i,\text{ }{{z}_{2}}=2w-1 \) nên  \( {{z}_{1}}={{\bar{z}}_{2}}\Leftrightarrow w+i=\overline{2w-1}\Leftrightarrow x+yi+i=\overline{2(x+yi)-1} \)

 \( \Leftrightarrow x+(y+1)i=(2x-1)-2yi  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2x-1 \\ & y+1=-2y \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=1 \\ & y=-\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.\)

 \( \Rightarrow w=1-\frac{1}{3}i\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{z}_{1}}=w+i=1+\frac{2}{3}i \\  & {{z}_{2}}=2w-1=1-\frac{2}{3}i \\ \end{align} \right. \).

Theo định lý Viet: \(\left\{ \begin{align}  & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a \\  & {{z}_{2}}.{{z}_{2}}=b \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & -a=2 \\  & 1+\frac{4}{9}=b \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-2 \\  & b=\frac{13}{9} \\ \end{align} \right.\)

Vậy  \( S=a+b=-\frac{5}{9} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho phương trình z^2+bz+c=0 có hai nghiệm z1,z2 thỏa mãn z^2−z^1=4+2i. Gọi A, B là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình z^2−2bz+4c=0. Tính độ dài đoạn AB

Cho phương trình \( {{z}^{2}}+bz+c=0 \) có hai nghiệm  \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) thỏa mãn \({{z}_{2}}-{{z}_{1}}=4+2i\). Gọi A, B là các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-2bz+4c=0\). Tính độ dài đoạn AB.

A. \( 8\sqrt{5} \)

B.  \( 2\sqrt{5} \)                       

C.  \( 4\sqrt{5} \)              

D.  \( \sqrt{5} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( {{z}^{2}}+bz+c=0 \) có hai nghiệm  \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) thỏa mãn \( {{z}_{2}}-{{z}_{1}}=4+2i \).

Xét \({{z}_{2}}-{{z}_{1}}=4+2i\Rightarrow {{({{z}_{2}}+{{z}_{1}})}^{2}}-4{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{(4+2i)}^{2}}\)\(\Rightarrow {{b}^{2}}-4c={{(4+2i)}^{2}}\)

Khi đó, phương trình  \( {{z}^{2}}-2bz+4c=0 \) có  \( {\Delta }’={{b}^{2}}-4c={{(4+2i)}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & {{z}_{A}}=b-4-2i\Rightarrow A(b-4;-2) \\  & {{z}_{B}}=b+4+2i\Rightarrow B(b+4;2) \\ \end{align} \right. \) ( \( b=m+ni,\text{ }m,n\in \mathbb{R} \))

Vậy  \( AB=\sqrt{{{(b+4-b+4)}^{2}}+{{(2+2)}^{2}}}=4\sqrt{5} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi z là một nghiệm của phương trình z^2−z+1=0. Giá trị của biểu thức M=z^2019+z^2018+1/z^2019+1/z^2018+5 bằng

Gọi z là một nghiệm của phương trình \( {{z}^{2}}-z+1=0 \). Giá trị của biểu thức  \( M={{z}^{2019}}+{{z}^{2018}}+\frac{1}{{{z}^{2019}}}+\frac{1}{{{z}^{2018}}}+5 \) bằng

A. 5

B. 2

C. 7                                   

D. -1

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Phương trình  \( {{z}^{2}}-z+1=0 \) có hai nghiệm \( z=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \).

Chọn \( z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \).

Áp dụng công thức Moivre:  \( {{(\cos \varphi +i\sin \varphi )}^{n}}=\cos (n\varphi )+i\sin (n\varphi ),\text{ }\forall n\in \mathbb{N} \), ta được:

 \( {{z}^{2019}}=\cos \frac{2019\pi }{3}+i\sin \frac{2019\pi }{3}=-1\Rightarrow \frac{1}{{{z}^{2019}}}=-1 \)

 \( {{z}^{2018}}=\cos \frac{2018\pi }{3}+i\sin \frac{2018\pi }{3}=\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3} \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{{{z}^{2018}}}=\cos \left( -\frac{2\pi }{3} \right)+i\sin \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3} \).

Do đó, \( M=-1-1+\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}+\cos \frac{2\pi }{3}-i\sin \frac{2\pi }{3}+5=2 \).

Vậy M = 2.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9z^2+6z+1−m=0 có nghiệm phức thỏa mãn |z|=1. Tính S

Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình \(9{{z}^{2}}+6z+1-m=0\) có nghiệm phức thỏa mãn \(\left| z \right|=1\). Tính S.

A. 20

B. 12

C. 14                                

D. 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

\(9{{z}^{2}}+6z+1-m=0\)   (*)

Trường hợp 1: (*) có nghiệm thực \( \Leftrightarrow {\Delta }’\ge 0\Leftrightarrow 9-9(1-m)\ge 0\Leftrightarrow m\ge 1 \).

 \( \left| z \right|=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & z=1 \\  & z=-1 \\ \end{align} \right. \)

+  \( z=1\Rightarrow m=16 \)  (thỏa mãn).

+  \( z=-1\Rightarrow m=4 \) (thỏa mãn).

Trường hợp 2: (*) có nghiệm phức  \( z=a+bi\text{ }(b\ne 0)\Leftrightarrow {\Delta }'<0 \)

 \( \Leftrightarrow 9-9(1-m)<0\Leftrightarrow m<1 \)

Nếu z là một nghiệm của phương trình \(9{{z}^{2}}+6z+1-m=0\) thì \( \bar{z} \) cũng là một nghiệm của phương trình \(9{{z}^{2}}+6z+1-m=0\).

Ta có:  \( \left| z \right|=1\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1\Leftrightarrow z.\bar{z}=1 \) \( \Leftrightarrow \frac{c}{a}=1\Leftrightarrow \frac{1-m}{9}=1\Leftrightarrow m=-8 \) (thỏa mãn)

Vậy tổng các giá trị thực của m bằng 12.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức z1,z2 khác 0 thỏa mãn đẳng thức z^21+z^22−z1z2=0, khi đó tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn cho các số phức \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) khác 0 thỏa mãn đẳng thức  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0 \), khi đó tam giác OAB (O là gốc tọa độ):

A. Là tam giác đều

B. Là tam giác vuông

C. Là tam giác cân, không đều

D. Là tam giác tù.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

+ Gọi  \( {{z}_{1}}=a+bi  \)  ( \( a,b\in \mathbb{R}:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \)). A(a;b)

Khi đó  \( {{z}_{2}} \) là nghiệm phương trình:  \( z_{2}^{2}-(a+bi){{z}_{2}}+{{(a+bi)}^{2}}=0 \)

+ Ta có:  \( \Delta ={{(a+bi)}^{2}}-4{{(a+bi)}^{2}}=-3{{(a+bi)}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}(a+bi)i \right]}^{2}}={{\left[ \sqrt{3}(ai-b) \right]}^{2}} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 \( {{z}_{2}}=\frac{a-\sqrt{3}b}{2}+\frac{\sqrt{3}a+b}{2}i \) nên \(B\left( \frac{a-\sqrt{3}b}{2};\frac{\sqrt{3}a+b}{2} \right) \)

Hoặc  \( {{z}_{2}}=\frac{a+\sqrt{3}b}{2}+\frac{-\sqrt{3}a+b}{2}i \) nên  \( B\left( \frac{a+\sqrt{3}b}{2};\frac{-\sqrt{3}a+b}{2} \right) \)

+ Tính \(O{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}};\text{ }O{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\text{; }A{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\). Vậy tam giác OAB đều.

Cách 2:

Theo giả thiết:  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Rightarrow \left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=0\Leftrightarrow z_{1}^{3}=-z_{2}^{3}\Leftrightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow OA=OB  \)

Mặt khác:  \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{({{z}_{1}}-{{z}_{2}})}^{2}}=-{{z}_{1}}{{z}_{2} }\)

 \( \Rightarrow \left| {{({{z}_{1}}-{{z}_{2}})}^{2}} \right|=\left| -{{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\left| {{z}_{1}} \right|\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow A{{B}^{2}}=OA.OB  \)

Mà OA = OB nên AB = OA = OB.

Vậy tam giác OAB đều.

Cách 3:

 \( z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}-\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+1=0\) \( \Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\Rightarrow \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=1\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right| \)

Vậy OA = OB.

Mặt khác:  \( \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}{{z}_{2}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|\Rightarrow AB=OB  \)

Vậy tam giác OAB đều.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!