Cho các số phức z, w khác 0 thỏa mãn z+w≠0 và 1/z+3/w=6/(z+w). Khi đó ∣z/w∣ bằng

Cho các số phức z, w khác 0 thỏa mãn \( z+w\ne 0 \) và  \( \frac{1}{z}+\frac{3}{w}=\frac{6}{z+w} \). Khi đó  \( \left| \frac{z}{w} \right| \) bằng

A. \( \sqrt{3} \)

B.  \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)         

C. 3                                  

D.  \( \frac{1}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \frac{1}{z}+\frac{3}{w}=\frac{6}{z+w}\Leftrightarrow \frac{w+3z}{zw}=\frac{6}{z+w} \) \( \Leftrightarrow (w+3z)(z+w)=6zw\Leftrightarrow 3{{z}^{2}}-2zw+{{w}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{\left( \frac{z}{w} \right)}^{2}}-2\frac{z}{w}+1=0 \) \( \Leftrightarrow \frac{z}{w}=\frac{1}{3}\pm \frac{\sqrt{2}}{3}i\Rightarrow \left| \frac{z}{w} \right|=\frac{\sqrt{3}}{3} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình z^2−4z+5=0. Giá trị của biểu thức (z1−1)^2019+(z2−1)^2019 bằng

Gọi \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) là hai nghiệm phức của phương trình \( {{z}^{2}}-4z+5=0 \). Giá trị của biểu thức  \( {{({{z}_{1}}-1)}^{2019}}+{{({{z}_{2}}-1)}^{2019}} \) bằng

A. 21009

B. 21010                             

C. 0                                   

D. -21010.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \({{z}^{2}}-4z+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & z=2+i \\ & z=2-i \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & z-1=1+i \\  & z-1=1-i \\ \end{align} \right.\)

Mà  \( {{i}^{2}}=-1;\text{ }{{i}^{4}}=1;\text{ }{{(1+i)}^{2}}=2i;\text{ }{{(1+i)}^{4}}=-4;\text{ }{{(1-i)}^{2}}=-2i;\text{ }{{(1-i)}^{4}}=-4 \)

Suy ra:  \( {{({{z}_{1}}-1)}^{2019}}+{{({{z}_{2}}-1)}^{2019}}={{\left[ {{(1-i)}^{4}} \right]}^{504}}.{{(1-i)}^{2}}.(1-i)+{{\left[ {{(1+i)}^{2}} \right]}^{504}}.{{(1+i)}^{2}}.(1+i) \)

 \( ={{(-4)}^{504}}.(-2i).(1-i)+{{(-4)}^{504}}.(2i).(1+i)={{4}^{504}}.2i.(-1+i+1+i)={{4}^{504}}.2i.2i=-{{2}^{1010}} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn z+1+3i−|z|i=0. Tính S=2a+3b

Cho số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn  \( z+1+3i-\left| z \right|i=0 \). Tính  \( S=2a+3b  \).

A. \( S=-6 \)

B. 6                                   

C.  \( S=-5 \)                    

D. S = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( z+1+3i-\left| z \right|i=0\Leftrightarrow \left( a+1 \right)+\left( b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)i=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+1=0 \\  & b+3-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-1 \\  & \sqrt{1+{{b}^{2}}}=b+3\begin{matrix}   {} & (*)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \) \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & b\ge -3 \\  & 1+{{b}^{2}}={{(b+3)}^{2}} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & b\ge -3 \\  & b=-\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow b=-\frac{4}{3} \)

Vậy  \( \left\{ \begin{align} & a=-1 \\  & b=-\frac{4}{3} \\ \end{align} \right.\Rightarrow S=2a+3b=-6 \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi S là tổng các số thực m để phương trình z^2−2z+1−m=0 có nghiệm phức thỏa mãn |z|=2. Tính S

Gọi S là tổng các số thực m để phương trình \( {{z}^{2}}-2z+1-m=0 \) có nghiệm phức thỏa mãn  \( \left| z \right|=2 \). Tính S.

A. S = 6

B. S = 10

C.  \( S=-3 \)                    

D.  \( S=7 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {{z}^{2}}-2z+1-m=0\Leftrightarrow {{(z-1)}^{2}}=m  \)  (1)

+ Với  \( m\ge 0 \) thì  \( (1)\Leftrightarrow z=1\pm \sqrt{m} \). Do  \( \left| z \right|=2\Leftrightarrow \left| 1\pm \sqrt{m} \right|=2\Rightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=9 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn).

+ Với  \( m<0 \) thì  \( (1)\Leftrightarrow z=1\pm i\sqrt{-m} \).

Do  \( \left| z \right|=2\Leftrightarrow \left| 1\pm i\sqrt{-m} \right|=2\Leftrightarrow 1-m=4\Leftrightarrow m=-3 \) (thỏa mãn).

Vậy  \( S=1+9-3=7 \).

Các bài toán mới!

Cho phương trình az^2+bz+c=0, với a,b,c∈R,a≠0 có các nghiệm z1,z2 đều không là số thực. Tính P=|z1+z2|^2+|z1−z2|^2 theo a, b, c

Cho phương trình \( a{{z}^{2}}+bz+c=0 \), với  \( a,b,c\in \mathbb{R},a\ne 0 \) có các nghiệm  \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) đều không là số thực. Tính  \( P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}} \) theo a, b, c.

A. \(P=\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{a}^{2}}}\)

B. \(P=\frac{2c}{a}\)

C. \(P=\frac{4c}{a}\)            

D. \(P=\frac{2{{b}^{2}}-4ac}{{{a}^{2}}}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Cách 1: Tự luận.

Ta có phương trình  \( a{{z}^{2}}+bz+c=0\) có các nghiệm  \( {{z}_{1}},{{z}_{2}} \) đều không là số thực, do đó  \( \Delta ={{b}^{2}}- 4ac<0 \). Ta có:  \( \Delta =\left( 4ac-{{b}^{2}} \right){{i}^{2}} \).

 \( \left\{ \begin{align}  & {{z}_{1}}=\frac{-b+i\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\  & {{z}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{4ac-{{b}^{2}}}}{2a} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \left\{ \begin{align}  & {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\ & {{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\frac{4ac-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=\frac{4c}{a} \).

Vậy  \( P=\frac{4c}{a} \).

Cách 2: Trắc nghiệm.

Cho  \( a=1,b=0,c=1 \), ta có phương trình  \( {{z}^{2}}+1=0 \) có 2 nghiệm phức là \( {{z}_{1}}=i,{{z}_{2}}=-i \).

Khi đó: \( \Rightarrow P={{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=4 \).

Thế  \( a=1,b=0,c=1 \) lên các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án C cho kết quả giống.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tính môđun của số phức w=b+ci, b,c∈R biết số phức (i^8−1−2i)/(1−i^7) là nghiệm của phương trình z^2+bz+c=0

Tính môđun của số phức \( w=b+ci,\text{ }b,c\in \mathbb{R} \) biết số phức \(\frac{{{i}^{8}}-1-2i}{1-{{i}^{7}}}\) là nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+bz+c=0\).

A. 2

B. 3

C. \(2\sqrt{2}\)                 

D. \(3\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

+ Đặt  \( {{z}_{0}}=\frac{{{i}^{8}}-1-2i}{1-{{i}^{7}}}, ta có: \left\{ \begin{align}  & {{i}^{8}}={{({{i}^{2}})}^{4}}={{(-1)}^{4}}=1 \\  & {{i}^{7}}={{({{i}^{2}})}^{3}}.i=-1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{z}_{0}}=\frac{1-1-2i}{1+i}=\frac{-2i}{1+i}=\frac{-2i(1-i)}{1-{{i}^{2}}}=-1-i \)

+  \( {{z}_{0}} \) là nghiệm của đa thức  \( P(z)={{z}^{2}}+bz+c  \) \( \Rightarrow {{\bar{z}}_{0}} \) là nghiệm còn lại của P(z).

+ Ta có:  \( {{z}_{0}}+{{\bar{z}}_{0}}=-\frac{b}{a}=-b=-2\Rightarrow b=2 \)

 \( {{z}_{0}}.{{\bar{z}}_{0}}=\frac{c}{a}\Rightarrow (-1-i)(-1+i)=c\Rightarrow c=2 \)

 \( \Rightarrow w=2+2i\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{2} \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Kí hiệu z1, z2, z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z^4−z^2−12=0. Tính tổng T=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|

(Đề minh họa – 2017) Kí hiệu z1, z2, z3 và z4 là bốn nghiệm phức của phương trình \( {{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0 \). Tính tổng  \( T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right| \).

A. \(T=2+2\sqrt{3}\)

B. T = 4

C. \(T=2\sqrt{3}\)           

D. \(T=4+2\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 \( {{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{z}^{2}}=-3 \\  & {{z}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & z=\pm i\sqrt{3} \\ & z=\pm 2 \\ \end{align} \right. \)

 \( T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|=\left| i\sqrt{3} \right|+\left| -i\sqrt{3} \right|+\left| -2 \right|+\left| 2 \right|=2\sqrt{3}+4 \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!