Có bao nhiêu số phức z thõa mãn điều kiện ∣z+i√5∣+∣z−i√5∣=6, biết z có môđun bằng √5

Có bao nhiêu số phức z thõa mãn điều kiện \( \left| z+i\sqrt{5} \right|+\left| z-i\sqrt{5} \right|=6 \), biết z có môđun bằng  \( \sqrt{5} \)?

A. 3

B. 4

C. 2                                   

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi  \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \)

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & \left| z+i\sqrt{5} \right|+\left| z-i\sqrt{5} \right|=6 \\  & \left| z \right|=\sqrt{5} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+\sqrt{5} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-\sqrt{5} \right)}^{2}}}=6 \\  & \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{5} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 36{{a}^{2}}+16{{b}^{2}}=144 \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}=\frac{16}{5} \\  & {{b}^{2}}=\frac{9}{5} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\pm \frac{4}{\sqrt{5}} \\  & b=\pm \frac{3}{\sqrt{5}} \\ \end{align} \right. \)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện |z.z¯+z|=2 và |z|=2?

(THPT Lê Quý Đôn – Đà Nẵng – 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện \( \left| z.\bar{z}+z \right|=2 \) và  \( \left| z \right|=2 \)?

A. 2

B. 3

C. 1                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R}) \)

Theo bài ra ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & \left| {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+yi \right|=2 \\  & \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left| 4+x+yi \right|=2 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{(4+x)}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-2 \\  & y=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow z=-2 \)

Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho số phức z thỏa mãn |z+3|=5 và |z−2i|=|z−2−2i|. Tính |z|

Cho số phức z thỏa mãn \( \left| z+3 \right|=5 \) và  \( \left| z-2i \right|=\left| z-2-2i \right| \). Tính  \( \left| z \right| \).

A. \( \left| z \right|=17 \)

B. \( \left| z \right|=\sqrt{17} \)                               

C.  \( \left| z \right|=\sqrt{10} \)                                        

D.  \( \left| z \right|=10 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( z=x+yi;\text{ }x,y\in \mathbb{R} \)

Theo bài ra ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{(x+3)}^{2}}+{{y}^{2}}=25 \\  & {{x}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}={{(x-2)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{(x+3)}^{2}}+{{y}^{2}}=25 \\  & -4x+4=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{y}^{2}}=9 \\  & x=1 \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & y=\pm 3 \\  & x=1 \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow z=1\pm 3i\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt{10}\)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn z+2+i−|z|(1+i)=0 và |z|>1. Tính P=a+b

(Đề Tham Khảo – 2018) Cho số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn  \( z+2+i-\left| z \right|(1+i)=0 \) và  \( \left| z \right|>1 \). Tính  \( P=a+b  \).

A. \( P=-1 \)

B.  \( P=-5 \)                     

C. P = 3                           

D. P = 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( z+2+i-\left| z \right|(1+i)=0 \) \( \Leftrightarrow a+bi+2+i-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}(1+i)=0 \)

 \( \Leftrightarrow a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\left( b+1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)i=0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\  & b+1-\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=0 \\ \end{align} \right.\begin{matrix}   {} & \begin{matrix}   (1)  \\   (2)  \\\end{matrix}  \\\end{matrix} \)

Lấy (1) trừ (2) ta được:  \( a-b+1=0\Leftrightarrow b=a+1 \). Thế vào (1) ta được:

 \( a+2-\sqrt{{{a}^{2}}+{{(a+1)}^{2}}}=0 \) \( \Leftrightarrow a+2=\sqrt{2{{a}^{2}}+2a+1} \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\ge -2 \\  & {{a}^{2}}+4a+4=2{{a}^{2}}+2a+1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a\ge -2 \\ & {{a}^{2}}-2a-3=0 \\ \end{align} \right. \)

 \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\ge -2 \\ \left [ \begin{matrix} a=3\text{ }(n) \\ a=-1\text{ }(n) \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)

Với  \( a=3\Rightarrow b=4 \)

Với  \( a=-1\Rightarrow b=0 \)

Vì  \( \left| z \right|>1\Rightarrow z=3+4i\Rightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\  & b=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow P=a+b=3+4=7 \)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn z+2+i=|z|. Tính S=4a+b.

(THPTQG – 2017 – 110) Cho số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \) thỏa mãn  \( z+2+i=\left| z \right| \). Tính  \( S=4a+b  \).

A. \( S=-4 \)

B. S = 2                            

C.  \( S=-2 \)                    

D. S = 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( z+2+i=\left| z \right| \) \( \Leftrightarrow (a+2)+(b+1)i=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\  & b+1=0 \\ \end{align} \right.\begin{matrix}  {} & \begin{matrix}   (1)  \\   (2)  \\\end{matrix}  \\\end{matrix} \)

Từ (2), ta có:  \( b=-1 \).

Thay vào (1):  \( \sqrt{{{a}^{2}}+1}=a+2 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2\ge 0 \\  & {{a}^{2}}+1={{(a+2)}^{2}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow a=-\frac{3}{4} \)

Vậy  \( S=4a+b=-4 \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện |z−i|=5 và z^2 là số thuần ảo?

Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \( \left| z-i \right|=5 \) và  \( {{z}^{2}} \) là số thuần ảo?

A. 4

B. 0                                   

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Giả sử  \( z=a+bi\Rightarrow {{z}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi  \)

Vì  \( \left| z-i \right|=5 \) và  \( {{z}^{2}} \) là số thuần ảo ta có hệ phương trình

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=25 \\ & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left\{\begin{matrix} a=b \\ {{b}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=25 \end{matrix}\right.\\& \left\{\begin{matrix} a=-b \\ {{b}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}=25 \end{matrix}\right. \\\end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=b=4 \\  & a=b=-3 \\  & b=-a=4 \\  & b=-a=-3 \\ \end{align} \right.\)

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!