Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \). Biết \( F\left( \frac{\pi }{4}+k\pi \right)=k,\text{ }\forall k\in \mathbb{Z} \). Tính \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \).
A. 55
B. 44
C. 45
D. 0
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\tan x+C \)
Suy ra: \(F(x)=\left\{ \begin{align} & \tan x+{{C}_{0}},x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \\ & \tan x+{{C}_{1}},x\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \\ & \tan x+{{C}_{2}},x\in \left( \frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2} \right) \\ & … \\ & \tan x+{{C}_{9}},x\in \left( \frac{17\pi }{2};\frac{19\pi }{2} \right) \\ & \tan x+{{C}_{10}},x\in \left( \frac{19\pi }{2};\frac{21\pi }{2} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & F\left( \frac{\pi }{4}+0\pi \right)=1+{{C}_{0}}=0\Rightarrow {{C}_{0}}=-1 \\ & F\left( \frac{\pi }{4}+\pi \right)=1+{{C}_{1}}=1\Rightarrow {{C}_{0}}=0 \\ & F\left( \frac{\pi }{4}+2\pi \right)=1+{{C}_{2}}=2\Rightarrow {{C}_{0}}=1 \\ & … \\ & F\left( \frac{\pi }{4}+9\pi \right)=1+{{C}_{9}}=9\Rightarrow {{C}_{9}}=8 \\ & F\left( \frac{\pi }{4}+10\pi \right)=1+{{C}_{10}}=10\Rightarrow {{C}_{10}}=9 \\ \end{align} \right.\)
Vậy \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \) \( =\tan 0-1+\tan \pi +\tan 2\pi +1+…+\tan 10\pi +9=44 \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
