Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=1/cos^2x. Biết F(π/4+kπ)=k, ∀k∈Z. Tính F(0)+F(π)+F(2π)+…+F(10π)

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \). Biết \( F\left( \frac{\pi }{4}+k\pi  \right)=k,\text{ }\forall k\in \mathbb{Z} \). Tính  \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \).

A. 55

B. 44

C. 45                          

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\tan x+C  \)

Suy ra: \(F(x)=\left\{ \begin{align}  & \tan x+{{C}_{0}},x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{1}},x\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{2}},x\in \left( \frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2} \right) \\  & … \\  & \tan x+{{C}_{9}},x\in \left( \frac{17\pi }{2};\frac{19\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{10}},x\in \left( \frac{19\pi }{2};\frac{21\pi }{2} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & F\left( \frac{\pi }{4}+0\pi  \right)=1+{{C}_{0}}=0\Rightarrow {{C}_{0}}=-1 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+\pi  \right)=1+{{C}_{1}}=1\Rightarrow {{C}_{0}}=0 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+2\pi  \right)=1+{{C}_{2}}=2\Rightarrow {{C}_{0}}=1 \\  & … \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+9\pi  \right)=1+{{C}_{9}}=9\Rightarrow {{C}_{9}}=8 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+10\pi  \right)=1+{{C}_{10}}=10\Rightarrow {{C}_{10}}=9 \\ \end{align} \right.\)

Vậy  \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \) \( =\tan 0-1+\tan \pi +\tan 2\pi +1+…+\tan 10\pi +9=44 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)=cos3x và F(π/2)=23. Tính F(π/9)

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm \( f(x)=\cos 3x  \) và  \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{2}{3} \). Tính  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right) \).

A. \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}+2}{6} \)

B.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}-2}{6} \) 

C.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}+6}{6} \)                                 

D.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}-6}{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( F(x)=\int{\cos 3xdx}=\frac{\sin 3x}{3}+C  \)

 \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{2}{3}\Rightarrow C=1 \) \( \Rightarrow F(x)=\frac{\sin 3x}{3}+1 \)

 \( \Rightarrow F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{3}+1=\frac{\sqrt{3}+6}{6} \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=2x, thỏa mãn F(0)=1/ln2. Tính giá trị biểu thức T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{2}^{x}} \), thỏa mãn \( F(0)=\frac{1}{\ln 2} \). Tính giá trị biểu thức  \( T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019) \)

A. \( T=1009.\frac{{{2}^{2019}}+1}{\ln 2} \)

B.  \( T={{2}^{2019.2020}} \)                                   

C.  \( T=\frac{{{2}^{2019}}-1}{\ln 2} \)                       

D.  \( T=\frac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \(\int{f(x)dx}=\int{{{2}^{x}}dx}=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C\)

F(x) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x)={{2}^{x}} \), ta có:  \( F(x)=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C  \) mà  \( F(0)=\frac{1}{\ln 2} \)

 \( \Rightarrow C=0\Rightarrow F(x)=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \).

 \( T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019) \) \( =\frac{1}{\ln 2}\left( 1+2+{{2}^{2}}+…+{{2}^{2018}}+{{2}^{2019}} \right) \) \( =\frac{1}{\ln 2}.\frac{{{2}^{2020}}-1}{2-1}=\frac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2} \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f′(x)=2e^2x+1, ∀x∈R, f(0) = 2. Hàm f(x) là

Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và \({f}'(x)=2{{e}^{2x}}+1,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\), f(0) = 2. Hàm f(x) là

A. \( y=2{{e}^{x}}+2x \)                           

B.  \( y=2{{e}^{x}}+2 \)             

C.  \( y={{e}^{2x}}+x+2 \)                      

D.  \( y={{e}^{2x}}+x+1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \(\int{{f}'(x)dx}=\int{\left( 2{{e}^{2x}}+1 \right)dx}={{e}^{2x}}+x+C\)

Suy ra  \( f(x)={{e}^{2x}}+x+C  \)

Theo bài ra ta có:  \( f(0)=2\Rightarrow 1+C=2\Leftrightarrow C=1 \)

Vậy  \( f(x)={{e}^{2x}}+x+1 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) xác định trên R∖{1} thỏa mãn f′(x)=1x−1, f(0)=2017, f(2)=2018. Tính S=f(3)−f(−1)

Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) thỏa mãn \( {f}'(x)=\frac{1}{x-1} \),  \( f(0)=2017 \),  \( f(2)=2018 \). Tính  \( S=f(3)-f(-1) \).

A. \( S=\ln 4035 \)

B.  \( S=4 \)                   

C.  \( S=\ln 2 \)                

D.  \( S=1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\) ta có \(\int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left( x-1 \right)+{{C}_{1}}\)\(\Rightarrow f(x)=\ln (x-1)+{{C}_{1}}\)

Mà  \( f(2)=2018\Rightarrow {{C}_{1}}=2018 \)

Trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right) \), ta có:  \( \int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \) \( \Rightarrow f(x)=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \)

Mà  \( f(0)=2017\Rightarrow {{C}_{2}}=2017 \)

Vậy  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & \ln (x-1)+2018\text{   }khi\text{ }x>1 \\  & \ln (1-x)+2017\text{   }khi\text{ }x<1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow f(3)-f(-1)=1 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số y=1/x trên (−∞;0) thỏa mãn F(−2)=0. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( y=\frac{1}{x} \) trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \) thỏa mãn  \( F(-2)=0 \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( F(x)=\ln \left( -\frac{x}{2} \right),\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

B. \( F(x)=\ln \left| x \right|+C,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) với C là một số thực bất kì.

C. \( F(x)=\ln \left| x \right|+\ln 2,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

D. \( F(x)=\ln (-x)+C,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) với C là một số thực bất kì.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( F(x)=\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C=\ln (-x)+C  \) với  \( \forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \).

Lại có  \( F(-2)=0\Leftrightarrow \ln 2+C=0\Leftrightarrow C=-\ln 2 \)

Do đó:  \( F(x)=\ln (-x)-\ln 2=\ln \left( -\frac{x}{2} \right) \)

Vậy  \( F(x)=\ln \left( -\frac{x}{2} \right),\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x)=1/(x−1) trên khoảng (1;+∞) thỏa mãn F(e+1)=4. Tìm F(x)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) xác định trên R∖{1/2} thỏa mãn f′(x)=2/(2x−1), f(0=1), f(1)=2. Giá trị của biểu thức f(−1)+f(3) bằng

(Đề Tham Khảo – 2018) Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\} \) thỏa mãn \( {f}'(x)=\frac{2}{2x-1} \),  \( f(0=1) \),  \( f(1)=2 \). Giá trị của biểu thức  \( f(-1)+f(3) \) bằng

A. \( 2+\ln 5 \)

B.  \( 3+\ln 5 \)             

C.  \( 3 + \ln 15 \)                   

D.  \( 4+\ln 15 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( \int{\frac{2}{2x-1}dx}=\ln \left| 2x-1 \right|+C=f(x) \)

Với  \( x<\frac{1}{2},f(0)=1\Rightarrow C=1 \) nên  \( f(-1)=1+\ln 3 \)

Với  \( x>\frac{1}{2},f(1)=2\Rightarrow C=2 \) nên  \( f(3)=2+\ln 5 \).

Nên  \( f(-1)+f(3)=3+\ln 15 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!