Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=1/cos^2x. Biết F(π/4+kπ)=k, ∀k∈Z. Tính F(0)+F(π)+F(2π)+…+F(10π)

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \). Biết \( F\left( \frac{\pi }{4}+k\pi  \right)=k,\text{ }\forall k\in \mathbb{Z} \). Tính  \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \).

A. 55

B. 44

C. 45                          

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int{f(x)dx}=\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=\tan x+C  \)

Suy ra: \(F(x)=\left\{ \begin{align}  & \tan x+{{C}_{0}},x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{1}},x\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{2}},x\in \left( \frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2} \right) \\  & … \\  & \tan x+{{C}_{9}},x\in \left( \frac{17\pi }{2};\frac{19\pi }{2} \right) \\  & \tan x+{{C}_{10}},x\in \left( \frac{19\pi }{2};\frac{21\pi }{2} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & F\left( \frac{\pi }{4}+0\pi  \right)=1+{{C}_{0}}=0\Rightarrow {{C}_{0}}=-1 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+\pi  \right)=1+{{C}_{1}}=1\Rightarrow {{C}_{0}}=0 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+2\pi  \right)=1+{{C}_{2}}=2\Rightarrow {{C}_{0}}=1 \\  & … \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+9\pi  \right)=1+{{C}_{9}}=9\Rightarrow {{C}_{9}}=8 \\  & F\left( \frac{\pi }{4}+10\pi  \right)=1+{{C}_{10}}=10\Rightarrow {{C}_{10}}=9 \\ \end{align} \right.\)

Vậy  \( F(0)+F(\pi )+F(2\pi )+…+F(10\pi ) \) \( =\tan 0-1+\tan \pi +\tan 2\pi +1+…+\tan 10\pi +9=44 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x)=cos3x và F(π/2)=23. Tính F(π/9)

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm \( f(x)=\cos 3x  \) và  \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{2}{3} \). Tính  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right) \).

A. \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}+2}{6} \)

B.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}-2}{6} \) 

C.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}+6}{6} \)                                 

D.  \( F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sqrt{3}-6}{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( F(x)=\int{\cos 3xdx}=\frac{\sin 3x}{3}+C  \)

 \( F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{2}{3}\Rightarrow C=1 \) \( \Rightarrow F(x)=\frac{\sin 3x}{3}+1 \)

 \( \Rightarrow F\left( \frac{\pi }{9} \right)=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{3}+1=\frac{\sqrt{3}+6}{6} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=2x, thỏa mãn F(0)=1/ln2. Tính giá trị biểu thức T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{2}^{x}} \), thỏa mãn \( F(0)=\frac{1}{\ln 2} \). Tính giá trị biểu thức  \( T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019) \)

A. \( T=1009.\frac{{{2}^{2019}}+1}{\ln 2} \)

B.  \( T={{2}^{2019.2020}} \)                                   

C.  \( T=\frac{{{2}^{2019}}-1}{\ln 2} \)                       

D.  \( T=\frac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \(\int{f(x)dx}=\int{{{2}^{x}}dx}=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C\)

F(x) là một nguyên hàm của hàm số  \( f(x)={{2}^{x}} \), ta có:  \( F(x)=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C  \) mà  \( F(0)=\frac{1}{\ln 2} \)

 \( \Rightarrow C=0\Rightarrow F(x)=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \).

 \( T=F(0)+F(1)+…+F(2018)+F(2019) \) \( =\frac{1}{\ln 2}\left( 1+2+{{2}^{2}}+…+{{2}^{2018}}+{{2}^{2019}} \right) \) \( =\frac{1}{\ln 2}.\frac{{{2}^{2020}}-1}{2-1}=\frac{{{2}^{2020}}-1}{\ln 2} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f′(x)=2e^2x+1, ∀x∈R, f(0) = 2. Hàm f(x) là

Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và \({f}'(x)=2{{e}^{2x}}+1,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\), f(0) = 2. Hàm f(x) là

A. \( y=2{{e}^{x}}+2x \)                           

B.  \( y=2{{e}^{x}}+2 \)             

C.  \( y={{e}^{2x}}+x+2 \)                      

D.  \( y={{e}^{2x}}+x+1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \(\int{{f}'(x)dx}=\int{\left( 2{{e}^{2x}}+1 \right)dx}={{e}^{2x}}+x+C\)

Suy ra  \( f(x)={{e}^{2x}}+x+C  \)

Theo bài ra ta có:  \( f(0)=2\Rightarrow 1+C=2\Leftrightarrow C=1 \)

Vậy  \( f(x)={{e}^{2x}}+x+1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số f(x) xác định trên R∖{1} thỏa mãn f′(x)=1x−1, f(0)=2017, f(2)=2018. Tính S=f(3)−f(−1)

Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) thỏa mãn \( {f}'(x)=\frac{1}{x-1} \),  \( f(0)=2017 \),  \( f(2)=2018 \). Tính  \( S=f(3)-f(-1) \).

A. \( S=\ln 4035 \)

B.  \( S=4 \)                   

C.  \( S=\ln 2 \)                

D.  \( S=1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Trên khoảng \(\left( 1;+\infty  \right)\) ta có \(\int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left( x-1 \right)+{{C}_{1}}\)\(\Rightarrow f(x)=\ln (x-1)+{{C}_{1}}\)

Mà  \( f(2)=2018\Rightarrow {{C}_{1}}=2018 \)

Trên khoảng  \( \left( -\infty ;1 \right) \), ta có:  \( \int{{f}'(x)dx}=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \) \( \Rightarrow f(x)=\ln (1-x)+{{C}_{2}} \)

Mà  \( f(0)=2017\Rightarrow {{C}_{2}}=2017 \)

Vậy  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & \ln (x-1)+2018\text{   }khi\text{ }x>1 \\  & \ln (1-x)+2017\text{   }khi\text{ }x<1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow f(3)-f(-1)=1 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số y=1/x trên (−∞;0) thỏa mãn F(−2)=0. Khẳng định nào sau đây đúng?

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( y=\frac{1}{x} \) trên  \( \left( -\infty ;0 \right) \) thỏa mãn  \( F(-2)=0 \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( F(x)=\ln \left( -\frac{x}{2} \right),\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

B. \( F(x)=\ln \left| x \right|+C,\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) với C là một số thực bất kì.

C. \( F(x)=\ln \left| x \right|+\ln 2,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

D. \( F(x)=\ln (-x)+C,\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \) với C là một số thực bất kì.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( F(x)=\int{\frac{1}{x}dx}=\ln \left| x \right|+C=\ln (-x)+C  \) với  \( \forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \).

Lại có  \( F(-2)=0\Leftrightarrow \ln 2+C=0\Leftrightarrow C=-\ln 2 \)

Do đó:  \( F(x)=\ln (-x)-\ln 2=\ln \left( -\frac{x}{2} \right) \)

Vậy  \( F(x)=\ln \left( -\frac{x}{2} \right),\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;0 \right) \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x)=1/(x−1) trên khoảng (1;+∞) thỏa mãn F(e+1)=4. Tìm F(x)

Cho F(x) là một nguyên hàm của \( f(x)=\frac{1}{x-1} \) trên khoảng \( \left( 1;+\infty  \right) \) thỏa mãn  \( F\left( e+1 \right)=4 \). Tìm  \( F(x) \).

A. \( 2\ln (x-1)+2 \)

B.  \( \ln (x-1)+3 \)           

C.  \( 4\ln (x-1) \)              

D. \(\ln (x-1)-3\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( F(x)=\int{\frac{1}{x-1}dx}=\ln \left| x-1 \right|+C  \)

 \( F(e+1)=4 \).

Ta có:  \( 1+C=4\Rightarrow C=3 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hàm số f(x) xác định trên R∖{1/2} thỏa mãn f′(x)=2/(2x−1), f(0=1), f(1)=2. Giá trị của biểu thức f(−1)+f(3) bằng

(Đề Tham Khảo – 2018) Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\} \) thỏa mãn \( {f}'(x)=\frac{2}{2x-1} \),  \( f(0=1) \),  \( f(1)=2 \). Giá trị của biểu thức  \( f(-1)+f(3) \) bằng

A. \( 2+\ln 5 \)

B.  \( 3+\ln 5 \)             

C.  \( 3 + \ln 15 \)                   

D.  \( 4+\ln 15 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( \int{\frac{2}{2x-1}dx}=\ln \left| 2x-1 \right|+C=f(x) \)

Với  \( x<\frac{1}{2},f(0)=1\Rightarrow C=1 \) nên  \( f(-1)=1+\ln 3 \)

Với  \( x>\frac{1}{2},f(1)=2\Rightarrow C=2 \) nên  \( f(3)=2+\ln 5 \).

Nên  \( f(-1)+f(3)=3+\ln 15 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.