Biết ∫xcos2xdx=axsin2x+bcos2x+C với a,b là các số hữu tỉ. Tính tích a.b?

Biết \( \int{x\cos 2xdx}=ax\sin 2x+b\cos 2x+C  \) với  \( a,b  \) là các số hữu tỉ. Tính tích  \( a.b  \)?

A. \( ab=\frac{1}{8} \)

B.  \( ab=\frac{1}{4} \)    

C.  \( ab=-\frac{1}{8} \)  

D.  \( ab=-\frac{1}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x \\  & dv=\cos 2xdx \\ \end{align} \right. \) \( \to \left\{ \begin{align}  & du=dx \\  & v=\frac{1}{2}\sin 2x \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( \int{x\cos 2xdx}=\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{2}\int{\sin 2xdx}=\frac{1}{2}x\sin 2x-\frac{1}{4}\cos 2x+C  \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=\frac{1}{2} \\ & b=\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.\Rightarrow a.b=\frac{1}{8} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=xe^−x. Tính F(x) biết f(0)=1

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x)=x{{e}^{-x}} \). Tính F(x) biết  \( f(0)=1 \).

A. \(F(x)=-(x+1){{e}^{-x}}+2\)

B. \(F(x)=(x+1){{e}^{-x}}+1\)

C. \(F(x)=(x+1){{e}^{-x}}+2\)

D. \(F(x)=-(x+1){{e}^{-x}}+1\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x \\  & dv={{e}^{-x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=dx \\  & v=-{{e}^{-x}} \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( \int{x{{e}^{-x}}dx}=x{{e}^{-x}}+\int{{{e}^{-x}}dx}=-x{{e}^{-x}}-{{e}^{-x}}+C=F(x)+C  \)

 \( F(0)=1\Leftrightarrow -{{e}^{-0}}+C=1\Leftrightarrow C=2 \).

Vậy  \( F(x)=-(x+1){{e}^{-x}}+2 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f′(x)=xe^x và f(0)=2. Tính f(1)

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \( {f}'(x)=x{{e}^{x}} \) và  \( f(0)=2 \). Tính  \( f(1) \).

A. \( f(1)=3 \)

B.  \( f(1)=e  \)                 

C.  \( f(1)=5-e  \)              

D.  \( f(1)=8-2e  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có: \(f(x)=\int{{f}'(x)dx}=\int{x.{{e}^{x}}dx}\)

Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x \\ & dv={{e}^{x}}dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\ & v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

 \( f(x)=x.{{e}^{x}}-\int{{{e}^{x}}dx}=x.{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+C  \)

Theo đề:  \( f(0)=2\Leftrightarrow 2=-1+C\Leftrightarrow C=3 \)

 \( \Rightarrow f(x)=x.{{e}^{x}}-{{e}^{x}}+3\Rightarrow f(1)=3 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của hàm số y=3x(x+cosx) là

Họ nguyên hàm của hàm số \( y=3x(x+\cos x) \) là

A. \( {{x}^{3}}+3(x\sin x+\cos x)+C \)                

B.  \( {{x}^{3}}-3(x\sin x+\cos x)+C  \)

C. \( {{x}^{3}}+3(x\sin x-\cos x)+C  \)

D.  \( {{x}^{3}}-3(x\sin x-\cos x)+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \int{3x(x+\cos x)dx}=\int{3{{x}^{2}}dx}+\int{3x\cos xdx} \)

+  \( \int{3{{x}^{2}}dx}={{x}^{3}}+{{C}_{1}} \)

+  \( \int{3x\cos xdx}=\int{3xd(\sin x)}=3x.\sin x-\int{3\sin xdx}=3x.\sin x+3\cos x+{{C}_{2}} \)

Vậy  \( \int{3x(x+\cos x)dx}={{x}^{3}}+3x.\sin x+3\cos x+C={{x}^{3}}+3(x\sin x+\cos x)+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x)=(3x^2+1)lnx

Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x)=(3{{x}^{2}}+1)\ln x  \).

A. \( \int{f(x)dx}=x({{x}^{2}}+1)\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{3}+C \)              

B.  \( \int{f(x)dx}={{x}^{3}}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{3}+C  \)

C. \( \int{f(x)dx}=x({{x}^{2}}+1)\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-x+C \)           

D.  \( \int{f(x)dx}={{x}^{3}}\ln x-\frac{{{x}^{3}}}{3}-x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( I=\int{(3{{x}^{2}}+1)\ln xdx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=\ln x \\  & dv=(3{{x}^{2}}+1)dx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\  & v=\int{(3{{x}^{2}}+1)dx={{x}^{3}}+x} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow I=({{x}^{3}}+x)\ln x-\int{({{x}^{3}}+x).\frac{1}{x}dx} \) \( =x({{x}^{2}}+1)\ln x-\int{({{x}^{2}}+1)dx}=x({{x}^{2}}+1)\ln x-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-x+C \) .

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của f(x)=xlnx là kết quả nào sau đây?

Họ nguyên hàm của \( f(x)=x\ln x  \) là kết quả nào sau đây?

A. \( F(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+C \)              

B.  \( F(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{1}{4}{{x}^{2}}+C  \)

C. \( F(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+C \)               

D.  \( F(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x+\frac{1}{4}{{x}^{2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(F(x)=\int{f(x)dx}=\int{x\ln xdx}\).

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u=\ln x \\  & dv=xdx \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & du=\frac{1}{x}dx \\  & v=\frac{1}{2}{{x}^{2}} \\ \end{align} \right. \).

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:  \( F(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{2}\int{xdx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\ln x-\frac{1}{4}{{x}^{2}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x(1+e^x) là

Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)=2x(1+{{e}^{x}}) \) là

A. \( (2x-1){{e}^{x}}+{{x}^{2}} \)

B.  \( (2x+1){{e}^{x}}+{{x}^{2}} \)                             

C.  \( (2x+2){{e}^{x}}+{{x}^{2}} \)                             

D.  \( (2x-2){{e}^{x}}+{{x}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có: \(\int{2x(1+{{e}^{x}})dx}=2\int{xdx}+2\int{x{{e}^{x}}dx}\)

Gọi  \( I=2\int{x{{e}^{x}}dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={{e}^{x}}dx\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \).

Khi đó  \( I=2x{{e}^{x}}-2\int{{{e}^{x}}dx} \)

Vậy \(\int{2x(1+{{e}^{x}})dx}=2\int{xdx}+x{{e}^{x}}-2\int{{{e}^{x}}dx}\)\(={{x}^{2}}+x{{e}^{x}}-2x+C=(2x-2){{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=x(1+sinx) là

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x−1)e^x là

Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)=(2x-1){{e}^{x}} \) là:

A. \( (2x-3){{e}^{x}}+C \)                                     

B.  \( (2x+3){{e}^{x}}+C  \)             

C.  \( (2x+1){{e}^{x}}+C  \)                    

D.  \( (2x-1){{e}^{x}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi  \( I=\int{(2x-1){{e}^{x}}dx} \)

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=2x-1\Rightarrow du=2dx \\  & dv={{e}^{x}}dx\Rightarrow v={{e}^{x}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow I=(2x-1){{e}^{x}}-2\int{{{e}^{x}}dx}=(2x-1){{e}^{x}}-2{{e}^{x}}+C=(2x-3){{e}^{x}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=x.e^2x là

Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)=x.{{e}^{2x}} \) là

A. \( F(x)=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}\left( x-\frac{1}{2} \right)+C \)                 

B.  \( F(x)=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}(x-2)+C  \)

C.\( F(x)=2{{e}^{2x}}(x-2)+C \)                        

D.  \( F(x)=2{{e}^{2x}}\left( x-\frac{1}{2} \right)+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={{e}^{2x}}dx\Rightarrow v=\frac{1}{2}{{e}^{2x}} \\ \end{align} \right. \)

Suy ra:  \( F(x)=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{2}\int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}x{{e}^{2x}}-\frac{1}{4}{{e}^{2x}}+C=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}\left( x-\frac{1}{2} \right)+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ các nguyên hàm của hàm số f(x)=xsinx là

Họ các nguyên hàm của hàm số \( f(x)=x\sin x  \) là:

A. \( F(x)=x\cos x+\sin x+C \)                                 

B.  \( F(x)=x\cos x-\sin x+C  \)

C. \( F(x)=-x\cos x-\sin x+C \)                                 

D.  \( F(x)=-x\cos x+\sin x+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x \\ \end{align} \right. \)

Suy ra:  \( \int{x\sin xdx}=-x\cos x+\int{\cos xdx}=-x\cos x+\sin x+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=4x(1+lnx) là

(Đề tham khảo – 2019) Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)=4x(1+\ln x) \) là:

A. \(2{{x}^{2}}\ln x+3{{x}^{2}}\)

B. \(2{{x}^{2}}\ln x+{{x}^{2}}\)

C. \(2{{x}^{2}}\ln x+3{{x}^{2}}+C\)                 

D. \(2{{x}^{2}}\ln x+{{x}^{2}}+C\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( f(x)=4x(1+\ln x)\Rightarrow F(x)=\int{4x(1+\ln x)dx} \)

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=1+\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx \\  & dv=4xdx\Rightarrow v=2{{x}^{2}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow F(x)=2{{x}^{2}}(1+\ln x)-\int{2xdx}=2{{x}^{2}}(1+\ln x)-{{x}^{2}}+C=2{{x}^{2}}\ln x+{{x}^{2}}+C \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!