Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=x^3(x^2+1)^2019 là

Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2019}} \) là:

A. \(\frac{1}{2}\left[ \frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020} \right]\)

B. \(\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020}\)

C. \(\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020}+C\)

D. \(\frac{1}{2}\left[ \frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020} \right]+C\)

 

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét  \( \int{f(x)dx}=\int{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2019}}dx}=\int{{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2019}}xdx} \)

Đổi biến  \( t={{x}^{2}}+1\Rightarrow dt=2xdx  \), ta có:

 \( \int{f(x)dx}=\frac{1}{2}\int{(t-1){{t}^{2019}}dt}=\frac{1}{2}\int{\left( {{t}^{2020}}-{{t}^{2019}} \right)dt} \)

 \( =\frac{1}{2}\left[ \frac{{{t}^{2021}}}{2021}-\frac{{{t}^{2020}}}{2020} \right]+C=\frac{1}{2}\left[ \frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2021}}}{2021}-\frac{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2020}}}{2020} \right]+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm hàm số F(x) biết F(x)=∫x^3/(x^4+1)dx và F(0) = 1

Tìm hàm số F(x) biết \( F(x)=\int{\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}+1}dx} \) và F(0) = 1.

A. \( F(x)=\ln \left( {{x}^{4}}+1 \right)+1 \)

B.  \( F(x)=\frac{1}{4}\ln \left( {{x}^{4}}+1 \right)+\frac{3}{4} \)

C. \( F(x)=\frac{1}{4}\ln \left( {{x}^{4}}+1 \right)+1 \)

D.  \( F(x)=\ln \left( {{x}^{4}}+1 \right)+1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( F(x)=\frac{1}{4}\int{\frac{1}{{{x}^{4}}+1}d({{x}^{4}}+1)}=\frac{1}{4}\ln \left( {{x}^{4}}+1 \right)+C  \)

Do F(0) = 1 nên  \( \frac{1}{4}\ln (0+1)+C=1\Leftrightarrow C=1 \)

Vậy:  \( F(x)=\frac{1}{4}\ln \left( {{x}^{4}}+1 \right)+1 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Nguyên hàm của f(x)=sin2x.e^sin^2x là

Nguyên hàm của \(f(x)=\sin 2x.{{e}^{si{{n}^{2}}x}}\) là:

A. \( {{\sin }^{2}}x.{{e}^{si{{n}^{2}}x-1}}+C \)                                       

B.  \( \frac{{{e}^{si{{n}^{2}}x+1}}}{si{{n}^{2}}x+1}+C  \)                              

C.  \( {{e}^{si{{n}^{2}}x}}+C  \)                                   

D.  \( \frac{{{e}^{si{{n}^{2}}x-1}}}{si{{n}^{2}}x-1}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \(\int{\sin 2x.{{e}^{si{{n}^{2}}x}}dx}=\int{{{e}^{si{{n}^{2}}x}}d(si{{n}^{2}}x)}={{e}^{si{{n}^{2}}x}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=x^2.e^(x^3+1)

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x)={{x}^{2}}.{{e}^{{{x}^{3}}+1}} \).

A. \( \int{f(x)dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}.{{e}^{{{x}^{3}}+1}}+ C \)

B.  \( \int{f(x)dx}=3{{e}^{{{x}^{3}}+1}}+C  \)

C. \( \int{f(x)dx}={{e}^{{{x}^{3}}+1}}+C \)                                             

D.  \( \int{f(x)dx}=\frac{1}{3}.{{e}^{{{x}^{3}}+1}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

\(\int{f(x)dx}=\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{3}}+1}}dx}=\int{{{x}^{2}}{{e}^{{{x}^{3}}+1}}d({{x}^{3}}+1)}=\frac{1}{3}{{e}^{{{x}^{3}}+1}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết F(x)=e^x+2x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khi đó ∫f(2x)dx bằng

(THPTQG – 2020 –104 – Lần 2) Biết \(F(x)={{e}^{x}}+2{{x}^{2}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\). Khi đó \(\int{f(2x)dx}\) bằng

A. \( {{e}^{2x}}+8{{x}^{2}}+C \)                     

B.  \( 2{{e}^{x}}+4{{x}^{2}}+C  \)                              

C.  \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}+2{{x}^{2}}+C  \)           

D.  \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}+4{{x}^{2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( t=2x\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt  \)

\(\int{f(2x)dx}=\frac{1}{2}\int{f(t)dt}=\frac{1}{2}F(t)+C=\frac{1}{2}\left[ {{e}^{t}}+2{{t}^{2}} \right]+C\)

\(=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+{{(2x)}^{2}}+C=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+4{{x}^{2}}+C\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết F(x)=e^x−x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khi đó ∫f(2x)dx bằng

(THPTQG – 2020 – Lần 2) Biết \( F(x)={{e}^{x}}-{{x}^{2}} \) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên  \( \mathbb{R} \). Khi đó  \( \int{f(2x)dx} \) bằng

A. \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}-2{{x}^{2}}+C \)    

B.  \( {{e}^{2x}}-4{{x}^{2}}+C  \)           

C.  \( 2{{e}^{x}}-2{{x}^{2}}+C  \)        

D.  \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}-{{x}^{2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \int{f(2x)dx}=\frac{1}{2}\int{f(2x)d(2x)}=\frac{1}{2}F(2x)+C=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}-2{{x}^{2}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết F(x)=e^x−2x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khi đó ∫f(2x)dx bằng

(THPTQG – 2020 – 102 – Lần 2) Biết \( F(x)={{e}^{x}}-2{{x}^{2}} \) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên  \( \mathbb{R} \). Khi đó \(\int{f(2x)dx}\) bằng

A. \( 2{{e}^{x}}-4{{x}^{2}}+C \)                       

B.  \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}-4{{x}^{2}}+C  \)           

C.  \( {{e}^{2x}}-8{{x}^{2}}+C  \)                       

D.  \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}-2{{x}^{2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( F(x)={{e}^{x}}-2{{x}^{2}} \) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên  \( \mathbb{R} \).

Suy ra:  \( f(x)={F}'(x)={{\left( {{e}^{x}}-2{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}-4x\Rightarrow f(2x)={{e}^{2x}}-8x  \)

 \( \Rightarrow \int{f(2x)dx}=\int{\left( {{e}^{2x}}-8x \right)dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}-4{{x}^{2}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết F(x)=e^x+x^2 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Khi đó ∫f(2x)dx bằng

(THPTQG – 2020 – 101 – Lần 2) Biết \( F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{2}} \) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên  \( \mathbb{R} \). Khi đó  \( \int{f(2x)dx} \) bằng

A. \( 2{{e}^{x}}+2{{x}^{2}}+C \)                     

B.  \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}+{{x}^{2}}+C  \)              

C.  \( \frac{1}{2}{{e}^{2x}}+2{{x}^{2}}+C  \)           

D.  \( {{e}^{2x}}+4{{x}^{2}}+C  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( F(x)={{e}^{x}}+{{x}^{2}} \) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên  \( \mathbb{R} \).

 \( \Rightarrow \int{f(2x)dx}=\frac{1}{2}\int{f(2x)d(2x)}=\frac{1}{2}F(2x)+C=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+2{{x}^{2}}+C  \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!