Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(2)=16 \), \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(2)=16 \), \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

A. 30

B. 28

C. 36                                

D. 16

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\).

Đặt  \( t=2x\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=2\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=4 \).

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-4=32-4=28 \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(1)=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết  \( f(1)=2 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

A. 1

B. \( \frac{5}{7} \)           

C.  \( \frac{3}{7} \)          

D.  \( \frac{1}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

+ Xét  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \) .

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\left. {{x}^{2}}.f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{2xf(x)dx}=2-2\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=4 \).

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=-1 \).

+ Xét \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4\)

Đặt  \( t=2-\sqrt{x}\Rightarrow dt=-\frac{1}{2\sqrt{x}}dx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\Rightarrow t=1 \\  & x=4\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=-\int\limits_{1}^{0}{\left( 1+3(2-t) \right)f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{(7-3t)f(t)dt}\)

\(=7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=4\).

 \( \Leftrightarrow 7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3.(-1)=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{7} \).

Vậy  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{7} \)

Các bài toán liên quan

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa \( f(1)=1 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{3} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx} \)

Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa  \( f(1)=1 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{3} \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx} \).

A. \( I=\frac{4}{3} \)                                          

B.  \( I=\frac{2}{3} \)      

C.  \( I=-\frac{2}{3} \)              

D.  \( I=\frac{1}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx} \).

Đặt  \( t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2t.{f}'(t)dt} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=2t\Rightarrow du=2dt \\  & dv={f}'(t)dt\Rightarrow v=f(t) \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. 2t.f(t) \right|_{0}^{1}-2\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=2f(1)-2.\frac{1}{3}=\frac{4}{3} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \). Biết \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \)

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn:  \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \). Biết  \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \).

A. 4

B. 0                                   

C. 8                                   

D. -4

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

+ Xét  \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=2x-1\Rightarrow du=2dx \\  & dv={f}”(x)dx\Rightarrow v={f}'(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx}=\left. (2x-1){f}'(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{2{f}'(x)dx} \)

 \( =3{f}'(2)+{f}'(0)-\left. 2f(x) \right|_{0}^{2}=3{f}'(2)+{f}'(0)-2f(2)+2f(0) \)   (*)

+ Ta có:  \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \)

Ta thay:

 \( x=1\Rightarrow {{f}^{2}}(0)=4f(2) \).

 \( x=-1\Rightarrow {{f}^{2}}(2)=4f(0)\Rightarrow {{f}^{4}}(2)=64{{f}^{2}}(0)=64f(2) \).

Mà theo đề  \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(2)=4 \).

Vậy, ta có:  \( f(2)=f(0)=4 \)     (1)

+ Ta có:  \( -2{f}'(1-x).f(1-x)=2x.f(x+1)+({{x}^{2}}+3).{f}'(x+1) \).

Ta thay:

 \( x=1\Rightarrow -2{f}'(0).f(0)=2f(2)+4{f}'(2)\Rightarrow {f}'(2)+2{f}'(0)=-2 \).

 \( x=-1\Rightarrow -2{f}'(2).f(2)=-2f(0)+4{f}'(0)\Rightarrow 2{f}'(2)+{f}'(0)=2 \).

Vậy, ta có:  \( {f}'(0)=-2,\text{ }{f}'(2)=2 \)     (2)

Thế (1) và (2) vào (*), suy ra:

\(I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx}=3{f}'(2)+{f}'(0)-2f(2)+2f(0)=3.2-2-2.4+2.4=4\).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 1;2 \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \),  \( f(2)=0 \) và  \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 1;2 \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \),  \( f(2)=0 \) và  \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân  \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \).

A. \( I=\frac{7}{5} \)

B.  \( I=-\frac{7}{5} \)     

C.  \( I=-\frac{7}{20} \)            

D.  \( I=\frac{7}{20} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \).

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\  & dv={{(x-1)}^{2}}dx\Rightarrow v=\frac{1}{3}{{(x-1)}^{3}} \\ \end{align} \right.\).

Khi đó: \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=\frac{1}{3}\left[ \left. {{(x-1)}^{3}}f(x) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx} \right]=-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=-\frac{1}{3}\).

\(\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=1\)   (1)

Ta có: \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}-14\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}+49\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{6}}dx}=0\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}} \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=7{{(x-1)}^{3}}\)

\(\Rightarrow f(x)=7\int{{{(x-1)}^{3}}dx}=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}+C\).

Mà  \( f(2)=0 \) nên  \( C=-\frac{7}{4} \). Suy ra: \(f(x)=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4}\).

Vậy  \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4} \right]dx}=-\frac{7}{5} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên  \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện  \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).

A. 0

B.  \( \frac{\pi }{2} \)        

C. 1                                   

D.  \( \pi \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Từ giả thiết:  \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)+x{f}'(x)={{x}^{2}}\cos x+2x\sin x \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow \int{{{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}dx=\int{{{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}dx}}\Leftrightarrow xf(x)={{x}^{2}}\sin x+C \).

Mặt khác:  \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{2}={{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{2}}.\sin \frac{\pi }{2}+C\Rightarrow C=0 \).

 \( \Rightarrow f(x)=x\sin x\Rightarrow {f}'(x)=\sin x+x\cos x \).

Xét  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).

Đặt: \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv={f}”(x)dx\Rightarrow v={f}'(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx}=\left. x{f}'(x) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{f}'(x)dx}=\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-f(x) \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}} \)

 \( =\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-x\sin x \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\left. {{x}^{2}}\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=0 \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \)

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với  \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).

A. \( \frac{1}{4} \)

B.  \( \frac{5}{4} \)                    

C.  \( \frac{3}{4} \)          

D.  \( -\frac{1}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)  (*)

+ Từ  \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \)  (1)

Thay  \( x=1 \) vào (1) ta được:  \( f(1)+2f(1)=3\Rightarrow f(1)=1 \)    (2)

+ Mặt khác từ (1) ta có:  \( \int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)+2xf({{x}^{2}}) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \right)dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=-\frac{1}{2} \)  (3)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx} \).

Đặt  \( t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)

Từ (3) suy ra: \(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{4}\)  (4)

Thay (2), (4) vào (*) ta được:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \left[ \frac{2}{5};1 \right] \) và thỏa mãn \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \). Khi đó \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}'(3x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \left[ \frac{2}{5};1 \right] \) và thỏa mãn  \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \). Khi đó  \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}'(3x)dx} \) bằng:

A. \( \frac{1}{5}\ln \frac{2}{5}+\frac{3}{35} \)

B.  \( \frac{1}{5}\ln \frac{5}{2}-\frac{3}{35} \)                 

C.  \( -\frac{1}{5}\ln \frac{5}{2}-\frac{3}{35} \)      

D.  \( -\frac{1}{5}\ln \frac{2}{5}+\frac{3}{35} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \)

 \( \Leftrightarrow 2\frac{f(x)}{x}+5\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}=3\Rightarrow 2\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}+5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}dx}=\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{3dx}=\frac{9}{5} \)  (*).

+ Xét \({{I}_{1}}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}dx}\).

Đặt  \( t=\frac{2}{5x}\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{2}{5t} \\ & {{t}^{2}}=\frac{4}{25{{x}^{2}}}\Rightarrow \frac{25}{4}{{t}^{2}}=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\  & dt=-\frac{2}{5{{x}^{2}}}dx=-\frac{2}{5}.\frac{25}{4}{{t}^{2}}dx\Rightarrow -\frac{2}{5}\frac{dt}{{{t}^{2}}}=dx \\ \end{align} \right. \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=\frac{2}{5}\Rightarrow t=1 \\  & x=1\Rightarrow t=\frac{2}{5} \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \({{I}_{1}}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}dx}=5\int\limits_{1}^{\frac{2}{5}}{\frac{f(t)}{\frac{2}{5t}}.\left( -\frac{2}{5}\frac{dt}{{{t}^{2}}} \right)}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(t)}{t}dt}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}\).

Từ (*) suy ra:  \( 2\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}+5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{9}{5}\Leftrightarrow \int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{9}{35} \).

+ Xét  \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}'(3x)dx} \).

Đặt  \( t=3x\Rightarrow dt=3dx\Rightarrow dx=\frac{1}{3}dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=\frac{2}{15}\Rightarrow t=\frac{2}{5} \\  & x=\frac{1}{3}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

 \( \Rightarrow I=\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\ln t.{f}'(t)dt} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln t\Rightarrow du=\frac{1}{t}dt \\  & dv={f}'(t)dt\Rightarrow v=f(t) \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. \frac{1}{3}\ln t.f(t) \right|_{\frac{2}{5}}^{1}-\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(t)}{t}dt}=-\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}.f\left( \frac{2}{5} \right)-\frac{3}{35} \).

+ Xét  \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \).

Thay  \( x=1;\text{ }x=\frac{2}{5} \) vào biểu thức trên, ta được hệ phương trình sau:

 \( \left\{ \begin{align}  & 2f(1)+5f\left( \frac{2}{5} \right)=3 \\  & 2f\left( \frac{2}{5} \right)+5f(1)=\frac{6}{5} \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f(1)=0 \\  & f\left( \frac{2}{5} \right)=\frac{3}{5} \\ \end{align} \right. \) .

Suy ra:  \( I=-\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}.\frac{3}{5}-\frac{3}{35}=\frac{1}{5}\ln \frac{5}{2}-\frac{3}{35} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 0;2 \right] \) và thỏa \( f(1)=0 \), \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}-32x+28 \) với \( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \). Giá trị của  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 0;2 \right] \) và thỏa  \( f(1)=0 \),  \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}-32x+28 \) với  \( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \). Giá trị của  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

A. \( -\frac{5}{3} \)

B.  \( \frac{4}{3} \)                    

C.  \( -\frac{2}{3} \)         

D.  \( -\frac{14}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( I=\int\limits_{1}^{2}{2f(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\  & dv=2dx\Rightarrow v=2x-4 \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. (2x-4)f(x) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{(2x-4){f}'(x)dx}=-\int\limits_{1}^{2}{(2x-4){f}'(x)dx} \).

Ta có:  \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}-32x+28\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+2\int\limits_{1}^{2}{2f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{(8{{x}^{2}}-32x+28)dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\int\limits_{1}^{2}{(2x-4){f}'(x)dx}+\int\limits_{1}^{2}{{{(2x-4)}^{2}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{(8{{x}^{2}}-32x+28)dx}+\int\limits_{1}^{2}{{{(2x-4)}^{2}}dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x)-(2x-4) \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow {f}'(x)-(2x-4)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {f}'(x)=2x-4\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}-4x+C,\text{ }C\in \mathbb{R} \).

Mà  \( f(1)=0\Rightarrow C=3\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}-4x+3\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}-4x+3)dx}=\frac{4}{3} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(0)=3 \) và \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(0)=3 \) và  \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

A. \( -\frac{4}{3} \)

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{5}{3} \)          

D.  \( -\frac{10}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

+ Ta có:  \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \)  (1)

Thay  \( x=0 \) vào (1) ta được:  \( f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1 \).

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

Đặt  \( t=2-x\Rightarrow x=2-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=2 \\  & x=2\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=-\int\limits_{2}^{0}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}\).

Do đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f(x)+f(2-x) \right]dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)dx}\)

\(\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{4}{3}\).

Vậy  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2.(-1)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3} \).

Cách 2:

Từ  \( \left\{ \begin{align}  & f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & f(0)=3 \\ \end{align} \right. \).

Thay  \( x=0;\text{ }x=1 \) vào (1) ta được:  \( f(2)=-1;\text{ }f(1)=\frac{1}{2} \).

Xét hàm số  \( f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c  \) từ giả thiết trên ta có:  \( \left\{ \begin{align} & c=3 \\  & a+b+c=\frac{1}{2} \\  & 4a+2b+c=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & c=3 \\  & a=\frac{1}{2} \\  & b=-3 \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+3\Rightarrow {f}'(x)=x-3 \).

Suy ra: \(\int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{x(x-3)dx}=-\frac{10}{3}\).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \( [0;1] \) thỏa mãn \( f(1)=1 \) và \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4(6{{x}^{2}}-1)f(x)=40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4,\text{ }\forall x\in [0;1] \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \( [0;1] \) thỏa mãn  \( f(1)=1 \) và  \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4(6{{x}^{2}}-1)f(x)=40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4,\text{ }\forall x\in [0;1] \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

A. \( \frac{23}{15} \)

B.  \( \frac{13}{15} \)               

C.  \( -\frac{17}{15} \)     

D.  \( -\frac{7}{15} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4(6{{x}^{2}}-1)f(x)=40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4,\text{ }\forall x\in [0;1] \)

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+\int\limits_{0}^{1}{4(6{{x}^{2}}-1)f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4)dx} \)   (1)

+ Xét  \( I=\int\limits_{0}^{1}{4(6{{x}^{2}}-1)f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(24{{x}^{2}}-4)f(x)dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\  & dv=(24{{x}^{2}}-4)dx\Rightarrow v=8{{x}^{3}}-4x \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\left. \left( 8{{x}^{3}}-4x \right)f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( 8{{x}^{3}}-4x \right){f}'(x)dx}=4-2\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-2x \right){f}'(x)dx} \)

Do đó:

(1)  \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+4-2\int\limits_{0}^{1}{(4{{x}^{3}}-2x){f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(40{{x}^{6}}-44{{x}^{2}}+32{{x}^{2}}-4)dx} \)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\int\limits_{0}^{1}{(4{{x}^{3}}-2x){f}'(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 4{{x}^{3}}-2x \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{(56{{x}^{6}}-6{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-8)dx}\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x)-(4{{x}^{3}}-2x) \right)}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow {f}'(x)-(4{{x}^{3}}-2x)=0\)

\(\Leftrightarrow {f}'(x)=4{{x}^{3}}-2x\Rightarrow f(x)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+C\).

Mà  \( f(1)=1\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \).

Do đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1)dx}=\frac{13}{15} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 0;1 \right] \), thỏa mãn \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) và \( f(1)=2 \). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên  \( \left[ 0;1 \right] \), thỏa mãn  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) và  \( f(1)=2 \). Tính  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \).

A. \( \frac{1}{3} \)

B. 2             

C.  \( \frac{4}{3} \)                                       

D.  \( \frac{21}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}+4,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \)

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(8{{x}^{2}}+4)dx}=\frac{20}{3} \)    (1)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\Rightarrow -4\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=-8+4\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)   (2)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{{{(2x)}^{2}}dx}=\frac{4}{3} \)      (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: \(\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'(x)-2x \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-2x=0\)

\(\Leftrightarrow {f}'(x)=2x\Rightarrow \int{{f}'(x)dx}=\int{2xdx}\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+C\).

Có  \( f(1)=C+1=2\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+1 \).

Do đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}+1)dx}=\frac{4}{3} \).

Các bài toán liên quan

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \) thỏa mãn điều kiện \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \). Hỏi giá trị nhỏ nhất của \( \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx} \) bằng bao nhiêu?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \) thỏa mãn điều kiện  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \). Hỏi giá trị nhỏ nhất của  \( \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx} \) bằng bao nhiêu?

A. \( \frac{27}{4} \)

B.  \( \frac{34}{5} \)                 

C. 7                                  

D. 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta tìm hàm  \( ax+b  \) thỏa mãn  \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(ax+b) \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow f(x)=ax+b  \).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \\  & \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \left. \left( \frac{a}{2}{{x}^{2}}+bx \right) \right|_{0}^{1}=2 \\  & \left. \left( \frac{a}{3}{{x}^{3}}+\frac{b}{2}{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \frac{a}{2}+b=2 \\  & \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{3}{2} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\  & b=-1 \\ \end{align} \right.\).

Suy ra:  \( \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f(x)-(6x-1) \right]}^{2}}dx}\ge 0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}\ge 0 \)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}(x)dx}\ge 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)(6x-1)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=12\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}-2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{(6x-1)}^{2}}dx}=7\).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) xác định trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \) thỏa mãn \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) xác định trên  \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx} \) bằng

A. \( \frac{\pi }{4} \)

B. 0             

C. 1                    

D.  \( \frac{\pi }{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2\sqrt{2}f(x)\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ {{\left( f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]dx}=\frac{2-\pi }{2} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right)}^{2}}dx}-2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}=\frac{2-\pi }{2} \)

Xét  \( 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ 1-\cos \left( 2x-\frac{\pi }{2} \right) \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(1-\sin 2x)dx} \)

 \( =\left. \left( x+\frac{1}{2}\cos 2x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi -2}{2} \).

Do đó:  \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}dx-2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\sin }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}}=\frac{2-\pi }{2} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}dx}-\frac{\pi -2}{2}=\frac{2-\pi }{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left[ f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}dx}=0 \)

Suy ra:  \( f(x)-\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow f(x)=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) .

Vậy:  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)dx}=\left. -\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=0 \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \) thỏa mãn \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx} \)

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12} \). Tính  \( \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx} \).

A. \( \ln \frac{7}{9} \)

B.  \( \ln \frac{2}{9} \)                    

C.  \( \ln \frac{5}{9} \)     

D.  \( \ln \frac{8}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12}\Leftrightarrow \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ \left( {{f}^{2}}(x)-{{(3-x)}^{2}} \right)-{{(3-x)}^{2}} \right]dx}=-\frac{109}{12} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}dx}-\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{(3-x)}^{2}}dx}=-\frac{109}{12} \).

Mà:  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{(3-x)}^{2}}dx}=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{(9-6x+{{x}^{2}})dx}=\left. \left( 9x-3{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\frac{109}{12} \).

Suy ra:  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}dx}=0 \).

Vì  \( {{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}\ge 0,\text{ }\forall x\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] nên f(x)=3-x,\text{ }\forall x\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \).

Vậy \(\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{3-x}{{{x}^{2}}-1}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{1-x+2}{(x-1)(x+1)}dx}\)

 \( =\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\left[ \frac{-1}{x+1}+\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right]dx}=\left. \left( -\ln \left| x+1 \right|+\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) \right|_{0}^{\frac{1}{2}}=\ln \frac{2}{9} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x \) và  \( f(0)=2 \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \). Biết \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x \) và  \( f(0)=2 \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \).

A. \( \frac{147}{63} \)

B.  \( \frac{149}{63} \)             

C.  \( \frac{148}{63} \)    

D.  \( \frac{352}{63} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x\Rightarrow f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x  \)

Suy ra:  \( f(x) \) và  \( f(4x) \) là hàm số bậc ba.

Khi đó:  \( f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right) \) và  \( f(4x)=64a{{x}^{3}}+16b{{x}^{2}}+4cx+d  \).

Ta có:  \( f(4x)-f(x)=63a{{x}^{3}}+15b{{x}^{2}}+3cx=4{{x}^{3}}+2x  \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align}  & a=\frac{4}{63} \\  & b=0 \\  & c=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \).

Mặt khác:  \( f(0)=2\Rightarrow d=2 \).

Do đó,  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \).

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \right)dx}=\frac{352}{63} \).

+ Chứng minh f(x) là duy nhất.

Ta có:  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \),  \( f(4x)=\frac{256}{63}{{x}^{3}}+\frac{8}{3}x+2 \) và  \( f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x  \).

Suy ra:  \( f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x  \).

Đặt  \( g(4x)=f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x) \) và  \( g(x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x  \).

Ta có:  \( g(4x)=g(x);\text{ }g(0)=f(0)=2 \).

Suy ra:  \( g(x)=g\left( \frac{x}{4} \right)=g\left( \frac{x}{{{4}^{2}}} \right)=…=g\left( \frac{x}{{{4}^{n}}} \right),\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \).

Khi  \( n\to +\infty  \) suy ra  \( g(x)=g(0)=2 \).

Vậy  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2,\forall x\in \mathbb{R} \)

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số \( y=f(x) \) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện \( f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}},\forall x\ne 0 \). Gọi \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) là hàm số lẻ trên  \( \mathbb{R} \) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện  \( f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}},\forall x\ne 0 \). Gọi  \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx} \). Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I.

A. \( I\in (-1;0) \)

B.  \( I\in (1;2) \)              

C.  \( I\in (0;1) \)              

D.  \( I\in (-2;-1) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

+ Đặt  \( y=f(x) \). Khi đó từ giả thiết ta có:

 \( f(x+1)=y+1 \),  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( \frac{1}{x+1} \right)=\frac{f(x+1)}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \) ,  \( f\left( -\frac{1}{x+1} \right)=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \).

Suy ra:  \( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( -\frac{1}{x+1}+1 \right)=f\left( -\frac{1}{x+1} \right)+1=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}}+1=\frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}} \)     (1)

Và \(f\left( \frac{x+1}{x} \right)=f\left( 1+\frac{1}{x} \right)=1+f\left( \frac{1}{x} \right)=1+\frac{y}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}\).

 \( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \right)=\frac{f\left( \frac{x+1}{x} \right)}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}} \)   (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra:  \( \frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-y={{x}^{2}}+y\Rightarrow y=x\Rightarrow f(x)=x  \).

Do đó:  \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}d({{x}^{2}}+1)}=\left. \frac{1}{2}\ln ({{x}^{2}}+1) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,35 \)

Vậy  \( I\in (0;1) \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!