Hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3)f(x+1) \). Biết rằng \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \), tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \)

Hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn:  \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3)f(x+1) \). Biết rằng  \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \), tính  \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \).

A. 8

B. 0

C. -4                                 

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3)f(x+1)\Rightarrow {{f}^{4}}(1-x)={{({{x}^{2}}+3)}^{2}}.{{f}^{2}}(x+1)\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & {{f}^{2}}(1+x)=({{x}^{2}}+3).f(1-x)\begin{matrix}   {} & {} & {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Từ (1) và (2) suy ra:  \( f(1-x)={{x}^{2}}+3={{(1-x-1)}^{2}}+3 \).

 \( \Rightarrow f(x)={{(x-1)}^{2}}+3\Rightarrow {f}”(x)=2 \).

\(\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{2}{(4x-2)dx}=\left. \left( 2{{x}^{2}}-2x \right) \right|_{0}^{2}=4\).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho 0∫1f(x)dx=9. Tính I=0∫π/6f(sin3x)cos3xdx

Cho \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=9 \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f(\sin 3x)\cos 3xdx} \).

A. I = 5

B. I = 9

C. I = 3                            

D. I = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f(\sin 3x)\cos 3xdx} \)

Đặt  \( t=\sin 3x\Rightarrow dt=3\cos 3xdx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\to t=0 \\  & x=\frac{\pi }{6}\to t=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{f(\sin 3x)\cos 3xdx}=\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{3}.9=3 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(x)=f(10−x) và 3∫7f(x)dx=4. Tính I=3∫7xf(x)dx

Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn  \( f(x)=f(10-x) \) và  \( \int\limits_{3}^{7}{f(x)dx}=4 \). Tính  \( I=\int\limits_{3}^{7}{xf(x)dx} \).

A. 80

B. 60

C. 40                                

D. 20

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt \(t=10-x\Rightarrow dt=-dx\Leftrightarrow -dt=dx\)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=3\to t=7 \\  & x=7\to t=3 \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( I=-\int\limits_{7}^{3}{(10-t)f(10-t)dt}=\int\limits_{3}^{7}{(10-t)f(10-t)dt} \)

 \( =\int\limits_{3}^{7}{(10-x)f(10-x)dx}=\int\limits_{3}^{7}{(10-x)f(x)dx} \) \( =10\int\limits_{3}^{7}{f(x)dx}-\int\limits_{3}^{7}{xf(x)dx}=10\int\limits_{3}^{7}{f(x)dx}-I \)

Suy ra:  \( 2I=10\int\limits_{3}^{7}{f(x)dx}=10.4=40 \)

Do đó:  \( I=20 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa 0∫1f(x)dx=2 và 0∫2f(3x+1)dx=6. Tính I=0∫7f(x)dx.

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2 \) và  \( \int\limits_{0}^{2}{f(3x+1)dx}=6 \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{7}{f(x)dx} \).

A. I = 16

B. I = 18

C. I = 8                            

D. I = 20

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \int\limits_{0}^{2}{f(3x+1)dx}=6 \)

Đặt  \( t=3x+1\Rightarrow dt=3dx\Leftrightarrow \frac{1}{3}dt=dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\to t=1 \\  & x=2\to t=7 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra:  \( 6=\int\limits_{0}^{2}{f(3x+1)dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{7}{f(t)dt}\Rightarrow \int\limits_{1}^{7}{f(t)dt}=18\Rightarrow \int\limits_{1}^{7}{f(x)dx}=18 \)

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{7}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{1}^{7}{f(x)dx}=2+18=20 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện 1∫3[f(x)+3g(x)]dx=10 đồng thời 1∫3[2f(x)−g(x)]dx=6. Tính 1∫3f(4−x)dx+21∫2g(2x−1)dx

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [1;3] thỏa mãn điều kiện \( \int\limits_{1}^{3}{\left[ f(x)+3g(x) \right]dx}=10 \) đồng thời  \( \int\limits_{1}^{3}{\left[ 2f(x)-g(x) \right]dx}=6 \). Tính  \( \int\limits_{1}^{3}{f(4-x)dx}+2\int\limits_{1}^{2}{g(2x-1)dx} \)

A. 9

B. 6

C. 7                                   

D. 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int\limits_{1}^{3}{\left[ f(x)+3g(x) \right]dx}=10 \) \( \Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}+3\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=10 \)

 \( \int\limits_{1}^{3}{\left[ 2f(x)-g(x) \right]dx}=6\Leftrightarrow 2\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}-\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=6 \)

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx} \\  & v=\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx} \\ \end{align} \right.\)

Ta được hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & u+3v=10 \\  & 2u-v=6 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & u=4 \\ & v=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=4 \\  & \int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=2 \\ \end{align} \right. \)

+ Tính  \( \int\limits_{1}^{3}{f(4-x)dx} \)

Đặt  \( t=4-x\Rightarrow dt=-dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=1\to t=3 \\  & x=3\to t=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \int\limits_{1}^{3}{f(4-x)dx}=\int\limits_{3}^{1}{f(t)(-dt)}=\int\limits_{1}^{3}{f(t)dt}=\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=4 \)

+ Tính  \( \int\limits_{1}^{2}{g(2x-1)dx} \)

Đặt  \( z=2x-1\Rightarrow dz=2dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\to z=1 \\ & x=2\to z=3 \\ \end{align} \right. \)

 \( \int\limits_{1}^{2}{g(2x-1)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{g(z)dz}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{g(x)dx}=1 \)

Vậy  \( \int\limits_{1}^{3}{f(4-x)dx}+2\int\limits_{1}^{2}{g(2x-1)dx}=6 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho 1∫2f(x^2+1)dx=2. Khi đó, I=2∫5f(x)dx bằng

Cho \( \int\limits_{1}^{2}{f({{x}^{2}}+1)dx}=2 \). Khi đó,  \( I=\int\limits_{2}^{5}{f(x)dx} \) bằng

A. 2

B. 1

C. 4                                   

D. -1

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( t={{x}^{2}}+1\Rightarrow dt=2xdx\Leftrightarrow xdx=\frac{1}{2}dt  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=1\to t=2 \\ & x=2\to t=5 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra:  \( 2=\int\limits_{1}^{2}{f({{x}^{2}}+1)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{5}{f(t)dt} \) \( \Rightarrow \int\limits_{2}^{5}{f(t)dt}=4\Rightarrow I=\int\limits_{2}^{5}{f(x)dx}=4 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho 1∫2f(x)dx=2. Khi đó 1∫4f(√x)√xdx bằng

Cho \( \int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=2 \). Khi đó  \( \int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx} \) bằng

A. 1

B. 4

C. 2                                   

D. 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Đặt  \( t=\sqrt{x}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=dt\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2dt  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\to t=1 \\  & x=4\to t=2 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra: \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{f(t).2dt}=2\int\limits_{1}^{2}{f(t)dt}=2.2=4\)

Vậy \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}=4\)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và 0∫π/2f(x)dx=2018, tính I=0∫πxf(x^2)dx

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và  \( \int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{f(x)dx}=2018 \), tính  \( I=\int\limits_{0}^{\pi }{xf({{x}^{2}})dx} \).

A. I = 1008

B. I = 2019

C. I = 2017                      

D. I = 1009

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{\pi }{xf({{x}^{2}})dx} \)

Đặt  \( t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\to t=0 \\  & x=\pi \to t={{\pi }^{2}} \\ \end{align} \right. \)

Khi đó:  \( I=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{f(t)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{{{\pi }^{2}}}{f(x)dx}=1009 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên [-6;6]. Biết rằng −1∫2f(x)dx=8; 1∫3f(−2x)dx=3. Giá trị của I=−1∫6f(x)dx là

Cho y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên [-6;6]. Biết rằng \( \int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}=8;\text{ }\int\limits_{1}^{3}{f(-2x)dx}=3 \). Giá trị của  \( I=\int\limits_{-1}^{6}{f(x)dx} \) là:

A. I = 5

B. I = 2

C. I = 14                          

D. I = 11

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: y = f(x) là hàm số chẵn, suy ra  \( f(-2x)=f(2x) \).

Khi đó:  \( \int\limits_{1}^{3}{f(-2x)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f(2x)dx}=3 \)

Xét tích phân:  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{3}{f(2x)dx} \)

Đặt  \( t=2x\Rightarrow dt=2dx\Leftrightarrow \frac{1}{2}dt=dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\to t=2 \\  & x=3\to t=6 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{2}^{6}{f(t).\frac{1}{2}dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{6}{f(t)dt}=3 \) \( \Rightarrow \int\limits_{2}^{6}{f(t)dt}=6\Rightarrow \int\limits_{2}^{6}{f(x)dx}=6 \)

Vậy  \( I=\int\limits_{-1}^{6}{f(x)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{f(x)dx}+\int\limits_{2}^{6}{f(x)dx}=8+6=14 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho 0∫4f(x)dx=2018. Tính tích phân 0I=∫2[f(2x)+f(4−2x)]dx

Cho \( \int\limits_{0}^{4}{f(x)dx}=2018 \). Tính tích phân  \( I=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f(2x)+f(4-2x) \right]dx} \).

A. I = 0

B. I = 2018

C. I = 4036                      

D. I = 1009

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \(I=\int\limits_{0}^{2}{f(2x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f(4-2x)dx}=H+K\)

Tính \(H=\int\limits_{0}^{2}{f(2x)dx}\)

Đặt  \( t=2x\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow \frac{1}{2}dt=dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\to t=0 \\  & x=2\to t=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( H=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f(t)dt}=1009 \)

Tính \(K=\int\limits_{0}^{2}{f(4-2x)dx}\)

Đặt  \( t=4-2x\Rightarrow dt=-2dx\Rightarrow -\frac{1}{2}dt=dx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\to t=4 \\  & x=2\to t=0 \\ \end{align} \right. \)

\(K=\int\limits_{0}^{2}{f(4-2x)dx}=-\frac{1}{2}\int\limits_{4}^{0}{f(t)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{4}{f(t)dt}=1009\)

Suy ra:  \( I=H+K=2018 \).

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho biết −1∫5f(x)dx=15. Tính giá trị của P=0∫2[f(5−3x)+7]dx

Cho biết \( \int\limits_{-1}^{5}{f(x)dx}=15 \). Tính giá trị của  \( P=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f(5-3x)+7 \right]dx} \).

A. P = 15

B. P = 37

C. P = 27

D. P = 19

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt  \( t=5-3x\Rightarrow dt=-3dx\Rightarrow dx=-\frac{1}{3}dt  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\to t=5 \\  & x=2\to t=-1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( P=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f(5-3x)+7 \right]dx}=\int\limits_{0}^{2}{f(5-3x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{7dx} \)

 \( =\int\limits_{5}^{-1}{f(t).\left( -\frac{1}{3} \right)dt}+\left. 7x \right|_{0}^{2}=\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^{5}{f(t)dt}+14=\frac{1}{3}.15+14=19 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn 1∫9f(√x)√xdx=4 và. Tích phân I=0∫3f(x)dx bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn  \( \int\limits_{1}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}=4 \) và  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(\operatorname{sinx})\cos xdx}=2 \). Tích phân  \( I=\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx} \) bằng

A. I = 8

B. I = 6

C. I = 4                            

D. I = 10

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Đặt  \( t=\sqrt{x} \) \( \Rightarrow dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\to t=1 \\  & x=9\to t=3 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra: \(\int\limits_{1}^{9}{\frac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}dx}=2\int\limits_{1}^{3}{f(t)dt}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f(t)dt}=2\)

Đặt  \( t=\sin x;x\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dt=\cos xdx  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\to t=0 \\  & x=\frac{\pi }{2}\to t=1 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra:  \( I=\int\limits_{0}^{3}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{1}^{3}{f(x)dx}=2+2=4 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho I=1∫5f(x)dx=26. Khi đó J=0∫2x[f(x2+1)+1]dx bằng

Cho \(I=\int\limits_{1}^{5}{f(x)dx}=26\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{x\left[ f({{x}^{2}}+1)+1 \right]dx}\) bằng

A. 15

B. 13                                 

C. 54                                

D. 52

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có: \(J=\int\limits_{0}^{2}{x\left[ f({{x}^{2}}+1)+1 \right]dx}\)\(=\int\limits_{0}^{2}{xdx}+\int\limits_{0}^{2}{xf({{x}^{2}}+1)dx}=2+\int\limits_{0}^{2}{xf({{x}^{2}}+1)dx}\)

Xét \(A=\int\limits_{0}^{2}{xf({{x}^{2}}+1)dx}\)

Đặt \(t={{x}^{2}}+1\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow \frac{1}{2}dt=xdx\)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\to t=1 \\  & x=2\to t=5 \\ \end{align} \right. \)

\(A=\int\limits_{0}^{2}{xf({{x}^{2}}+1)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{5}{f(t)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{5}{f(x)dx}=\frac{1}{2}.26=13\)

Vậy  \( J=2+13=15 \).

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn 10∫0f(x)dx=7, 10∫2f(x)dx=1. Tính P=1∫0f(2x)dx

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn \( \int\limits_{0}^{10}{f(x)dx}=7 \),  \( \int\limits_{2}^{10}{f(x)dx}=1 \). Tính  \( P=\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx} \).

A. P = 6

B. \( P=-6 \)    

C. P = 3                           

D. P = 12

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{10}{f(x)dx}-\int\limits_{2}^{10}{f(x)dx}=6 \)

Xét  \( P=\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx} \).

Đặt  \( t=2x\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right. \)

Lúc đó:  \( P=\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=3 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn 1∫−5f(x)dx=9. Tích phân 2∫0[f(1−3x)+9]dx bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( \int\limits_{-5}^{1}{f(x)dx}=9 \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{\left[ f(1-3x)+9 \right]dx} \) bằng

A. 15

B. 27

C. 75                                

D. 21

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \int\limits_{0}^{2}{\left[ f(1-3x)+9 \right]dx}=\int\limits_{0}^{2}{f(1-3x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{9dx}=\int\limits_{0}^{2}{f(1-3x)dx}+18 \)

Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{f(1-3x)dx} \), đặt  \( t=1-3x\Rightarrow dt=-3dx\Rightarrow dx=-\frac{1}{3}dt  \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=1 \\  & x=2\Rightarrow t=-5 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra:  \( \int\limits_{0}^{2}{f(1-3x)dx}=-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{-5}{f(t)dt}=\frac{1}{3}\int\limits_{-5}^{1}{f(t)dt} \)

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{2}{\left[ f(1-3x)+9 \right]dx}=\frac{1}{3}\int\limits_{-5}^{1}{f(t)dt}+18 \) \( =\frac{1}{3}\int\limits_{-5}^{1}{f(x)dx}+18=\frac{1}{3}.9+18=21 \)

Các bài toán liên quan

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!