Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau

Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau:

A. \( \frac{10}{3} \)                                                                                     

B.  \( \frac{13}{3} \)                 

C.  \( \frac{11}{3} \)        

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x},\text{ }y=x-2\):

\(\sqrt{x}=x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 2 \\  & x={{(x-2)}^{2}} \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 2 \\  & {{x}^{2}}-5x+4=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=4\)

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:  \( S=\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{x}dx}-\int\limits_{2}^{4}{(x-2)dx}=\frac{10}{3} \).

Cách 2:

 Coi x là hàm số theo biến số y

Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường:

 \( \left\{ \begin{align}  & x={{y}^{2}};\text{ }y\ge 0 \\  & x=y+2 \\  & y=0 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{y}^{2}}=y+2\Leftrightarrow {{y}^{2}}-y-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=-1\text{ }(\ell ) \\ & y=2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:  \( S=\int\limits_{0}^{2}{\left| y+2-{{y}^{2}} \right|dy}=\int\limits_{0}^{2}{(y+2-{{y}^{2}})dy}=\frac{10}{3} \).

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)

B.  \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)           

C.  \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+2+\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)                      

D.  \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+2-\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là:

 \( \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{2}}-2-\left( -\sqrt{\left| x \right|} \right) \right|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+2-\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \) (vì  \( x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow -\sqrt{\left| x \right|}>{{x}^{2}}-2 \)).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y=√3x^2, cung tròn có phương trình y=√(4−x^2)(với 0≤x≤2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

(Đề Tham Khảo – 2018) Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y=\sqrt{3}{{x}^{2}} \), cung tròn có phương trình  \( y=\sqrt{4-{{x}^{2}}} \) (với  \( 0\le x\le 2 \)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

A. \( \frac{4\pi +\sqrt{3}}{12} \)

B.  \( \frac{4\pi -\sqrt{3}}{6} \)             

C.  \( \frac{4\pi +2\sqrt{3}-3}{6} \)            

D.  \( \frac{5\sqrt{3}-2\pi }{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được:

\(\sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\pm 1\) với \(0\le x\le 2\)

 \( \Rightarrow x=1 \)

Ta có diện tích:  \( S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\left. \frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx} \)

Đặt: \( x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6} \\ & x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow S=\frac{\sqrt{3}}{3}+\left. 2\left( t+\frac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Biết F′(x)=f(x),∀x∈[−5;2] và −3∫−1f(x)dx=143. Tính F(2)−F(−5)

Cho hàm số f(x) liên tục có đồ thị như hình bên dưới.

Biết  \( {F}'(x)=f(x),\forall x\in \left[ -5;2 \right] \) và  \( \int\limits_{-3}^{-1}{f(x)dx}=\frac{14}{3} \). Tính  \( F(2)-F(-5) \).

A. \( -\frac{145}{6} \)

B.  \( -\frac{89}{6} \)       

C.  \( \frac{145}{6} \)               

D.  \( \frac{89}{6 }\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, đồ thị hàm số f(x) liên tục và xác định trên đoạn  \( [-5;2] \) được xây dựng bởi ba hàm số  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & {{f}_{1}}(x)\text{ }khi\text{ }-5\le x<-3 \\  & {{f}_{2}}(x)\text{ }khi-3\le x\le -1 \\  & {{f}_{3}}(x)\text{ }khi-1<x\le 2 \\ \end{align} \right. \).

Trong đó:

 \( {{f}_{1}}(x) \) là đường thẳng qua hai điểm  \( (-5;5) \) và  \( (-3;4) \) có phương trình:  \( {{f}_{1}}(x)=\frac{-x+5}{2} \).

 \( {{f}_{2}}(x) \) có đồ thị là một đường cong nối từ điểm  \( (-3;4) \) đến điểm  \( (-1;2) \).

 \( {{f}_{3}}(x) \) là đường thẳng đi qua hai điểm  \( (-1;2) \) và  \( (0;3) \) có phương trình  \( {{f}_{3}}(x)=x+3 \).

Vậy:  \( F(2)-F(-5)=\int\limits_{-5}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{-5}^{-3}{{{f}_{1}}(x)dx}+\int\limits_{-3}^{-1}{{{f}_{2}}(x)dx}+\int\limits_{-1}^{2}{{{f}_{3}}(x)dx} \)

 \( =\int\limits_{-5}^{-3}{\frac{-x+5}{2}dx}+\int\limits_{-3}^{-1}{{{f}_{2}}(x)dx}+\int\limits_{-1}^{2}{(x+3)dx}=9+\frac{14}{3}+\frac{21}{2}=\frac{145}{6} \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Giá trị của biểu thức I=0∫4f′(x−2)dx+0∫2f′(x+2)dx bằng

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên  \( \mathbb{R} \) và có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị của biểu thức  \( I=\int\limits_{0}^{4}{{f}'(x-2)dx}+\int\limits_{0}^{2}{{f}'(x+2)dx} \) bằng

A. -2

B. 2

C.  6                                  

D. 10

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{4}{{f}'(x-2)dx}+\int\limits_{0}^{2}{{f}'(x-2)dx}=\int\limits_{0}^{4}{{f}'(x-2)d(x-2)}+\int\limits_{0}^{2}{{f}'(x+2)d(x+2)} \)

 \( =\left. f(x-2) \right|_{0}^{4}+\left. f(x+2) \right|_{0}^{2}\left[ f(2)-f(-2) \right]+\left[ f(4)-f(2) \right]=f(4)-f(-2)=4-(-2)=6 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên R. Biết hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x=−1, có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = 2. Tính 1∫4f”(x−2)dx

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm đến cấp 2 trên  \( \mathbb{R} \). Biết hàm số  \( y=f(x) \) đạt cực tiểu tại  \( x=-1 \), có đồ thị như hình vẽ và đường thẳng  \( \Delta  \) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = 2. Tính  \( \int\limits_{1}^{4}{{f}”(x-2)dx} \).

A. 1

B. 4

C. 3                                   

D. 2

Hướng dẫn giải:\

Đáp án C.

Dễ thấy đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua các điểm  \( (0;-3) \) và  \( (1;0) \) nên  \( \Delta :y=3x-3 \) suy ra hệ số góc của  \( \Delta  \) là  \( k=3\Rightarrow {f}'(2)=3 \).

Hàm số  \( y=f(x) \) đạt cực tiểu tại  \( x=-1 \) suy ra  \( {f}'(-1)=0 \).

Vậy  \( \int\limits_{1}^{4}{{f}”(x-2)dx}=\left. {f}'(x-2) \right|_{1}^{4}={f}'(2)-{f}'(-1)=3-0=3 \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần parabol có đỉnh là gốc tọa độ O như hình vẽ. Giá trị của −3∫3f(x)dx bằng

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một phần parabol có đỉnh là gốc tọa độ O như hình vẽ. Giá trị của  \( \int\limits_{-3}^{3}{f(x)dx} \) bằng

A. \( \frac{26}{3} \)

B.  \( \frac{38}{3} \)                 

C.  \( \frac{4}{3} \)          

D.  \( \frac{28}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có, phương trình đường thẳng có dạng  \( y=ax+b  \).

Từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng đi qua hai điểm  \( A(-2;0),\text{ }B(-1;1) \).

Suy ra, ta có hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & -2a+b=0 \\  & -a+b=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow y=x+2 \)

Ta có, phương trình parabol có dạng: \(y=a{{x}^{2}},\text{ }a\ne 0\).

Từ hình vẽ, ta thấy parabol đi qua điểm  \( B(-1;1)\Rightarrow y={{x}^{2}} \)

Do đó, hàm số  \( y=f(x)=\left\{ \begin{align}  & x+2,\text{ }x\le -1 \\ & {{x}^{2}},\text{ }x\ge -1 \\ \end{align} \right. \).

Vậy,  \( \int\limits_{-3}^{3}{f(x)dx}=\int\limits_{-3}^{-1}{(x+2)dx}+\int\limits_{-1}^{3}{{{x}^{2}}dx}=\frac{28}{3} \).

Cho hàm số f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. Hàm số y=f′(x) có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số \( f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e  \). Hàm số  \( y={f}'(x) \) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. \( a+c>0 \)

B.  \( a+b+c+d<0 \)       

C.  \( a+c<b+d  \)           

D.  \( b+d-c>0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Theo đồ thị ta có:  \( {f}'(0)=0\Leftrightarrow d=0 \) và hệ số  \( a<0 \).

Xét  \( \int\limits_{-1}^{0}{{f}'(x)dx}=\left. f(x) \right|_{-1}^{0}=-a+b-c+d  \), mà  \( \int\limits_{-1}^{0}{{f}'(x)dx}<0 \) nên ta có  \( -a+b-c+d<0 \)       (1)

Hay  \( a+c>b+d  \). Do đó ta loại phương án C.

Thay d = 0 ta có  \( a>b-c  \), vì  \( a<0 \) nên  \( b-c<0 \), do đó ta loại phương án D.

Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{{f}'(x)dx}=\left. f(x) \right|_{0}^{1}=a+b+c+d  \), mà  \( \int\limits_{0}^{1}{{f}'(x)dx}>0 \), do đó ta loại phương án B.

Từ (2) ta có  \( -a-b-c-d<0 \) cộng từng vế với (1) ta có  \( a+c>0 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đồ thị của hàm số y=f′(x) như hình vẽ bên. Đặt M=Max[−2;6]f(x), m=min[−2;6]f(x),T=M+m

Cho hàm số \( y=f(x) \). Đồ thị của hàm số  \( y={f}'(x) \) như hình vẽ bên. Đặt  \( M=\underset{[-2;6]}{\mathop{Max}}\,f(x) \),  \( m=\underset{[-2;6]}{\mathop{\min }}\,f(x) \),  \( T=M+m  \).

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( T=f(0)+f(-2) \)

B.  \( T=f(5)+f(-2) \)       

C.  \( T=f(5)+f(6) \)        

D.  \( T=f(0)+f(2) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi S1, S2, S3, S4 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y={f}'(x) với và trục hoành.

Quan sát hình vẽ, ta có:

+  \( \int\limits_{-2}^{0}{{f}'(x)dx}>\int\limits_{0}^{2}{-{f}'(x)dx}\Leftrightarrow \left. f(x) \right|_{-2}^{0}>\left. f(x) \right|_{2}^{0} \)

 \( \Leftrightarrow f(0)-f(-2)>f(0)-f(2)\Leftrightarrow f(-2)<f(2) \)

+ \(\int\limits_{0}^{2}{-{f}'(x)dx}<\int\limits_{2}^{5}{{f}'(x)dx}\Leftrightarrow \left. f(x) \right|_{2}^{0}<\left. f(x) \right|_{2}^{5}\)

 \( \Leftrightarrow f(0)-f(2)<f(5)-f(2)\Leftrightarrow f(0)<f(5) \)

+  \( \int\limits_{2}^{5}{{f}'(x)dx}>\int\limits_{5}^{6}{-{f}'(x)dx}\Leftrightarrow \left. f(x) \right|_{2}^{5}>\left. f(x) \right|_{6}^{5} \)

 \( \Leftrightarrow f(5)-f(2)>f(5)-f(6)\Leftrightarrow f(2)<f(6) \)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( M=\underset{[-2;6]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(5) \) và  \( m=\underset{[-2;6]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(-2) \)

Khi đó  \( T=f(5)+f(-2) \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số y=f′(x) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị H=f(4)−f(2)

Cho hàm số \( y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }(a,b,c,d\in \mathbb{R},\text{ }a\ne 0) \) có đồ thị là (C). Biết rằng đồ thị (C) đi qua gốc tọa độ và đồ thị hàm số  \( y={f}'(x) \) cho bởi hình vẽ bên. Tính giá trị  \( H=f(4)-f(2) \)?

A. H = 45

B. H = 64

C. H = 51                        

D. H = 58

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Theo bài ra:  \( y=f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }(a,b,c,d\in \mathbb{R},\text{ }a\ne 0) \) do đó  \( y={f}'(x) \) là hàm bậc hai có dạng  \( y={f}'(x)={a}'{{x}^{2}}+{b}’x+{c}’ \).

Dựa vào đồ thị ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {c}’=1 \\  & {a}’-{b}’+{c}’=4 \\  & {a}’+{b}’+{c}’=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {a}’=3 \\  & {b}’=0 \\  & {c}’=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow y={f}'(x)=3{{x}^{2}}+1 \)

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  \( y={f}'(x) \), trục Ox, x = 4, x = 2.

Ta có: \(S=\int\limits_{2}^{4}{(3{{x}^{2}}+1)dx}=58\)

Lại có:  \( S=\int\limits_{2}^{4}{{f}'(x)dx}=\left. f(x) \right|_{2}^{4}=f(4)-f(2) \)

Do đó:  \( H=f(4)-f(2)=58 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=f(x). Đồ thị hàm số y=f′(x) như hình vẽ. Đặt g(x)=2f(x)−(x−1)^2

Cho hàm số \( y=f(x) \). Đồ thị hàm số  \( y={f}'(x) \) như hình vẽ. Đặt  \( g(x)=2f(x)-{{(x-1)}^{2}} \).

Mệnh đề nào dưới đây?

A. \(g(-1)<g(3)<g(5)\)

B. \(g(-1)<g(5)<g(3)\)

C. \(g(5)<g(-1)<g(3)\)    

D. \(g(3)<g(5)<g(-1)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {g}'(x)=2\left[ {f}'(x)-(x-1) \right] \);  \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'(x)=x-1 \)

Dựa vào đồ thị ta có các nghiệm sau:  \( \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=3 \\  & x=5 \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Ngoài ra dựa vào đồ thị ta có:  \( \frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{3}{{g}'(x)dx}>-\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{5}{{g}'(x)dx}\Leftrightarrow \left. g(x) \right|_{-1}^{3}>\left. -g(x) \right|_{3}^{5} \)

 \( \Leftrightarrow g(3)-g(-1)>g(3)-g(5)\Leftrightarrow g(5)>g(-1) \)

Vậy  \( g(3)>g(5)>g(-1) \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x). Đồ thị của hàm số y=f′(x) trên [-3;2] như hình vẽ

Cho hàm số f(x). Đồ thị của hàm số \( y={f}'(x) \) trên [-3;2] như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol:  \( y=a{{x}^{2}}+bx+c  \)).

Biết  \( f(-3)=0 \), giá trị của  \( f(-1)+f(1) \) bằng

A. \( \frac{23}{6} \)

B.  \( \frac{31}{6} \)                 

C.  \( \frac{35}{3} \)        

D.  \( \frac{9}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Parabol  \( y=a{{x}^{2}}+bx+c  \) có định  \( I(-2;1) \) và đi qua điểm  \( (-3;0) \) nên ta có:

 \( \left\{ \begin{align}  & -\frac{b}{2a}=-2 \\  & 4a-2b+c=1 \\  & 9a-3b+c=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-1 \\  & b=-4 \\  & c=-3 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow y=-{{x}^{2}}-4x-3 \)

Do  \( f(-3)=0 \) nên  \( f(-1)+f(1)=\left[ f(1)-f(0) \right]+\left[ f(0)-f(-1) \right]+2\left[ f(-1)-f(-3) \right] \)

\(=\int\limits_{0}^{1}{{f}'(x)dx}+\int\limits_{-1}^{0}{{f}'(x)dx}+2\int\limits_{-3}^{-1}{(-{{x}^{2}}-4x-3)dx}\)\(={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+2\int\limits_{-3}^{-1}{(-{{x}^{2}}-4x-3)dx}=1+\frac{3}{2}+\frac{8}{3}=\frac{31}{6}\)

Với S1, S2 lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \( y={f}'(x) \), trục Ox và hai đường thẳng  \( x=-1,x=0 \) và x=0,x=1. Dễ thấy  \( {{S}_{1}}=1;\text{ }{{S}_{2}}=\frac{3}{2} \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=f(x) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị y=f′(x) như hình vẽ

Cho hàm số \( y=f(x) \) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị  \( y={f}'(x) \) như hình vẽ.

Phương trình f(x) = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

A. \( f(0)<0<f(m) \)

B.  \( f(0)>0 \)                  

C.  \( f(m)<0<f(n) \)       

D.  \( f(0)<0<f(n) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=m \\  & x=n \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:  \( y={f}'(x);\text{ }Ox;\text{ }x=m;\text{ }Oy  \).

Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:  \( y={f}'(x);\text{ }Oy;\text{ }x=n  \)

Từ hình vẽ ta thấy  \( {{S}_{2}}>{{S}_{1}} \) \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{n}{\left| {f}'(x) \right|dx}>\int\limits_{m}^{0}{\left| {f}'(x) \right|dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{n}{{f}'(x)dx}>\int\limits_{m}^{0}{-{f}'(x)dx} \) \( \Leftrightarrow f(n)-f(0)>-\left[ f(0)-f(m) \right]\Leftrightarrow f(n)>f(m) \)

Từ bảng biến thiên kết hợp với điều kiện  \( f(n)>f(m) \) ta thấy để phương trình f(x)=0 có 4 nghiệm thực phân biệt  \( \Leftrightarrow f(0)<0<f(m) \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y=f′(x) như hình vẽ. Đặt h(x)=2f(x)−x^2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(THPTQG – 2017 – 123) Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số \( y={f}'(x) \) như hình vẽ. Đặt  \( h(x)=2f(x)-{{x}^{2}} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. h(4) = h(-2) < h(2)

B. h(2) > h(-2) > h(4)

C. h(4) = h(-2) > h(2)   

D. h(2) > h(4) > h(-2)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {h}'(x)=2\left[ {f}'(x)-x \right];{h}'(x)=0\Rightarrow x\in \{-2;2;4\} \)

Bảng biến thiên:

Suy ra  \( h(2)>h(4) \).

Kết hợp với đồ thị hàm số y = x ta có:

 \( \int\limits_{-2}^{4}{{h}'(x)dx}>0\Leftrightarrow h(4)-h(-2)>0\Leftrightarrow h(4)>h(-2) \)

Vậy ta có:  \( h(2)>h(4)>h(-2) \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị y = f’(x) của hàm số như hình bên. Đặt g(x)=2f(x)+x^2. Mệnh đề nào dưới đây đúng

(THPTQG – 2017 – 105) Cho hàm số y = f(x). Đồ thị y = f’(x) của hàm số như hình bên. Đặt \( g(x)=2f(x)+{{x}^{2}} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. g(3) < g(-3) < g(1)

B. g(1) < g(-3) < g(3)

C. g(-3) < g(3) < g(-1)  

D. g(1) < g(3) < g(-3)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {g}'(x)=2{f}'(x)+2x\Rightarrow {g}'(x)=0\Rightarrow x\in \{-3;1;3\} \)

Từ đồ thị của y = f’(x) ta có bảng biến thiên của hàm số g(x).

Suy ra g(3) > g(1).

Kết hợp với bảng biến thiên, ta có:

 \( \int\limits_{-3}^{1}{-{g}'(x)dx}>\int\limits_{1}^{3}{{g}'(x)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{-3}{{g}'(x)dx}>\int\limits_{1}^{3}{{g}'(x)dx} \)

 \( \Leftrightarrow g(-3)-g(1)>g(3)-g(1)\Leftrightarrow g(-3)>g(3) \)

Vậy ta có:  \( g(-3)>g(3)>g(1) \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình bên. Đặt g(x)=2f(x)−(x+1)^2. Mệnh đề nào dưới đây đúng

(THPTQG – 2017 – 110) Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình bên. Đặt \( g(x)=2f(x)-{{(x+1)}^{2}} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. g(1) > g(-3) > g(3)

B. g(1) > g(3) > g(-3)

C. g(3) > g(-3) > g(1)    

D. g(-3) > g(3) > g(1)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có  \( {g}'(x)=2{f}'(x)-2(x+1) \)

 \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'(x)=x+1 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\  & x=\pm 3 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

Suy ra:  \( g(-3)<g(1) \) và  \( g(3)<g(1) \)  (1)

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  \( y={f}'(x),y=x+1,x=-3,x=1 \).

Gọi S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:  \( y=x+1,y={f}'(x),x=1,x=3 \).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:  \( {{S}_{1}}>{{S}_{2}}>0 \).

Suy ra:  \( {{S}_{1}}-{{S}_{2}}>0 \) \( \Rightarrow \int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}-\int\limits_{1}^{3}{\left[ (x+1)-{f}'(x) \right]dx}>0 \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}>0 \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{-3}^{3}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}>0 \)

Khi đó:  \( g(3)-g(-3)=\int\limits_{-3}^{3}{{g}'(x)dx}=2\int\limits_{-3}^{3}{\left[ {f}'(x)-(x+1) \right]dx}>0 \)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( g(1)>g(3)>g(-3) \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!