Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H):y=(x−1)/(x+1) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( (H):y=\frac{x-1}{x+1} \) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

A. \( S=\ln 2+1 \)

B.  \( S=2\ln 2+1 \)         

C.  \( S=\ln 2-1 \)             

D.  \( S=2\ln 2-1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình trục Ox và Oy lần lượt là  \( y=0 \) và  \( x=0 \).

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số (H) và trục Ox:  \( \frac{x-1}{x+1}=0\Leftrightarrow x=1 \).

Ta có:  \( S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{x-1}{x+1} \right|dx} \).

Vì  \( \frac{x-1}{x+1}\le 0,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) nên diện tích cần tìm là:

\(S=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{x-1}{x+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( -1+\frac{2}{x+1} \right)dx}=\left. \left( -x+2\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{0}^{1}=2\ln 2-1\).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x^2+x−1 và y=x^4+x−1 là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y={{x}^{2}}+x-1 \) và \( y={{x}^{4}}+x-1 \) là:

A. \( \frac{8}{15} \)

B.  \( \frac{7}{15} \)                 

C.  \( \frac{2}{5} \)          

D.  \( \frac{4}{15} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của  \( y={{x}^{2}}+x-1 \)  \( và y={{x}^{4}}+x-1 \) là:

 \( {{x}^{2}}+x-1={{x}^{4}}+x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{x}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Diện tích hình phẳng giới cần tìm là:  \( S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx}+\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx} \)

 \( =\left| \int\limits_{-1}^{0}{({{x}^{2}}-{{x}^{4}})dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}-{{x}^{4}})dx} \right|=\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{5} \right) \right|_{-1}^{0} \right|+\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{5} \right) \right|_{0}^{-1} \right|=\frac{2}{15}+\frac{2}{15}=\frac{4}{15} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x,y=x−2 và trục hoành. Diện tích của (H) bằng

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y=\sqrt{x},y=x-2 \) và trục hoành. Diện tích của (H) bằng

A. \( \frac{7}{3} \)

B.  \( \frac{8}{3} \)                    

C.  \( \frac{10}{3} \)        

D.  \( \frac{16}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét các hình phẳng  \( ({{H}_{1}}):\left\{ \begin{align}  & y=\sqrt{x} \\  & y=0 \\  & x=0,\text{ }x=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( ({{H}_{2}}):\left\{ \begin{align}  & y=x-2 \\  & y=0 \\  & x=2,\text{ }x=4 \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & (H)=({{H}_{1}})\backslash ({{H}_{2}}) \\  & (H)\cup ({{H}_{2}})=({{H}_{1}}) \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( {{S}_{(H)}}={{S}_{({{H}_{1}})}}-{{S}_{({{H}_{2}})}}=\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{x}dx}-\int\limits_{2}^{4}{(x-2)dx} \) \( =\left. \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right|_{0}^{4}-\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right) \right|_{2}^{4}=\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3} \)

Cách khác: Ta có  \( (H):\left\{ \begin{align}  & x={{y}^{2}} \\  & x=y+2 \\ & y=0;\text{ }y=2 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( {{S}_{(H)}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{y}^{2}}-(y+2) \right|dx}=\frac{10}{3} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong y=−x^3+12x và y=−x^2.

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong \( y=-{{x}^{3}}+12x \) và  \( y=-{{x}^{2}} \).

A. \( S=\frac{937}{12} \)

B.  \( S=\frac{343}{12} \)   

C.  \( S=\frac{793}{4} \)          

D.  \( S=\frac{397}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:

 \( -{{x}^{3}}+12x=-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-x-12)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=-3 \\  & x=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \)  Diện tích cần tìm là:  \( S=\int\limits_{-3}^{4}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx}=\int\limits_{-3}^{0}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx}+\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx} \)

 \( =\left| \int\limits_{-3}^{0}{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x)dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{4}{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x)dx} \right| \) \( =\left| \left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-6{{x}^{2}} \right) \right|_{-3}^{0} \right|+\left| \left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-6{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{4} \right| \)

 \( =\left| \frac{-99}{4} \right|+\left| \frac{-160}{3} \right|=\frac{937}{12} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & 7-4{{x}^{3}}\text{ }khi\text{ }0\le x\le 1 \\  & 4-{{x}^{2}}\text{ }khi\text{ }x>1 \\ \end{align} \right. \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng \( x=0,\text{ }x=3,\text{ }y=0 \)

Cho hàm số \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & 7-4{{x}^{3}}\text{ }khi\text{ }0\le x\le 1 \\  & 4-{{x}^{2}}\text{ }khi\text{ }x>1 \\ \end{align} \right. \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng  \( x=0,\text{ }x=3,\text{ }y=0 \).

A. \( \frac{16}{3} \)

B.  \( \frac{20}{3} \)                 

C. 10                                

D. 9

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( S=\int\limits_{0}^{1}{(7-4{{x}^{3}})dx}+\int\limits_{1}^{2}{(4-{{x}^{2}})dx}+\int\limits_{2}^{3}{({{x}^{2}}-4)dx} \)

 \( =\left. \left( 7x-{{x}^{4}} \right) \right|_{0}^{1}+\left. \left( 4x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{1}^{2}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-4x \right) \right|_{2}^{3}=6+4-\frac{7}{3}-3-\frac{8}{3}+8=10 \)

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=2x+3 và các đường thẳng y=0,x=0,x=m bằng 10 là

Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y=2x+3 \) và các đường thẳng  \( y=0,x=0,x=m \) bằng 10 là:

A. \( m=\frac{7}{2} \)                                          

B. m = 5                           

C. m = 2           

D. m = 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Vì  \( m>0 \) nên  \( 2x+3>0,\forall x\in \left[ 0;m \right] \).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \( y=2x+3 \) và các đường thẳng  \( y=0,x=0,x=m \) là:

 \( S=\int\limits_{0}^{m}{(2x+3)dx}=\left. ({{x}^{2}}+3x) \right|_{0}^{m}={{m}^{2}}+3m \).

Theo giả thiết ta có:

 \( S=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m-10=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=2 \\  & m=-5 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=2 \) (do m > 0).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=xlnx, trục hoành và đường thẳng x=e là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \( y=x\ln x \), trục hoành và đường thẳng  \( x=e \) là:

A. \( \frac{{{e}^{2}}-1}{2} \)

B.  \( \frac{{{e}^{2}}+1}{2} \)                                         

C.  \( \frac{{{e}^{2}}-1}{4} \)             

D.  \( \frac{{{e}^{2}}+1}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ của đường cong  \( y=x\ln x \)và trục hoành là:

 \( x\ln x=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ lnx=0 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ x=1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1 \).

Vẫy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong  \( y=x\ln x \), trục hoành và đường thẳng  \( x=e \) là:

 \( S=\int\limits_{1}^{e}{\left| x\ln x \right|dx}=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{align}& u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx \\  & dv=xdx\Rightarrow v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right.\).

Suy ra:  \( S=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right|_{1}^{e}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\left. \frac{{{x}^{2}}}{4} \right|_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}+1}{4} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị của hàm số f′(x) như hình vẽ bên

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \) và có đồ thị của hàm số  \( {f}'(x) \) như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \( f(0)>f(2)>f(-1) \)

B.  \( f(0)>f(-1)>f(2) \)   

C.  \( f(2)>f(0)>f(-1) \)   

D.  \( f(-1)>f(0)>f(2) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Theo đồ thị, ta có:  \( f(0)-f(-1)=\int\limits_{-1}^{0}{{f}'(x)dx}>0\Rightarrow f(0)>f(-1) \)        (1)

 \( f(2)-f(-1)=\int\limits_{-1}^{2}{{f}'(x)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{{f}'(x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{{f}'(x)dx}<0 \)

 \( \Rightarrow f(-1)>f(2) \)    (2).

Từ (1) và (2)  \( \Rightarrow f(0)>f(-1)>f(2) \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y=f′(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a<b<c như hình vẽ

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị \( y={f}'(x) \) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ  \( a<b<c  \) như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \( f(b)>f(a)>f(c) \)

B.  \( f(a)>f(b)>f(c) \)      

C.  \( f(c)>f(a)>f(b) \)      

D.  \( f(c)>f(b)>f(a) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Ta có:  \( {{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| {f}'(x) \right|dx}=\int\limits_{a}^{b}{{f}'(x)dx}=f(b)-f(a) \);  \( {{S}_{2}}=\int\limits_{b}^{c}{\left| {f}'(x) \right|dx}=-\int\limits_{b}^{c}{{f}'(x)dx}=f(b)-f(c) \)

Vì  \( \left\{ \begin{align}  & {{S}_{1}}<{{S}_{2}}\Leftrightarrow f(b)-f(a)<f(b)-f(c)\Leftrightarrow f(c)<f(a) \\  & \int\limits_{a}^{b}{{f}'(x)dx}>0\Leftrightarrow f(b)>f(a) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow f(c)<f(a)<f(b) \)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0;5] và đồ thị hàm số y = f’(x) trên đoạn [0;5] được cho như hình bên

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0;5] và đồ thị hàm số y = f’(x) trên đoạn [0;5] được cho như hình bên.

Tìm mệnh đề đúng.

A. f(0) = f(5) < f(3)

B. f(3) < f(0) = f(5)

C. f(3) < f(0) < f(5)        

D. f(3) < f(5) < f(0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \int\limits_{3}^{5}{{f}'(x)dx}=f(5)-f(3)>0 \), do đó f(5) > f(3).

 \( \int\limits_{0}^{3}{{f}'(x)dx}=f(3)-f(0)<0 \), do đó f(3) < f(0).

 \( \int\limits_{0}^{5}{{f}'(x)dx}=f(5)-f(0)>0 \), do đó f(5) < f(0).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!