Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H):y=(x−1)/(x+1) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( (H):y=\frac{x-1}{x+1} \) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

A. \( S=\ln 2+1 \)

B.  \( S=2\ln 2+1 \)         

C.  \( S=\ln 2-1 \)             

D.  \( S=2\ln 2-1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình trục Ox và Oy lần lượt là  \( y=0 \) và  \( x=0 \).

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số (H) và trục Ox:  \( \frac{x-1}{x+1}=0\Leftrightarrow x=1 \).

Ta có:  \( S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{x-1}{x+1} \right|dx} \).

Vì  \( \frac{x-1}{x+1}\le 0,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) nên diện tích cần tìm là:

\(S=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{x-1}{x+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( -1+\frac{2}{x+1} \right)dx}=\left. \left( -x+2\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{0}^{1}=2\ln 2-1\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x^2+x−1 và y=x^4+x−1 là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y={{x}^{2}}+x-1 \) và \( y={{x}^{4}}+x-1 \) là:

A. \( \frac{8}{15} \)

B.  \( \frac{7}{15} \)                 

C.  \( \frac{2}{5} \)          

D.  \( \frac{4}{15} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của  \( y={{x}^{2}}+x-1 \)  \( và y={{x}^{4}}+x-1 \) là:

 \( {{x}^{2}}+x-1={{x}^{4}}+x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{x}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Diện tích hình phẳng giới cần tìm là:  \( S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx}+\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx} \)

 \( =\left| \int\limits_{-1}^{0}{({{x}^{2}}-{{x}^{4}})dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}-{{x}^{4}})dx} \right|=\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{5} \right) \right|_{-1}^{0} \right|+\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{5} \right) \right|_{0}^{-1} \right|=\frac{2}{15}+\frac{2}{15}=\frac{4}{15} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x,y=x−2 và trục hoành. Diện tích của (H) bằng

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y=\sqrt{x},y=x-2 \) và trục hoành. Diện tích của (H) bằng

A. \( \frac{7}{3} \)

B.  \( \frac{8}{3} \)                    

C.  \( \frac{10}{3} \)        

D.  \( \frac{16}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét các hình phẳng  \( ({{H}_{1}}):\left\{ \begin{align}  & y=\sqrt{x} \\  & y=0 \\  & x=0,\text{ }x=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( ({{H}_{2}}):\left\{ \begin{align}  & y=x-2 \\  & y=0 \\  & x=2,\text{ }x=4 \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & (H)=({{H}_{1}})\backslash ({{H}_{2}}) \\  & (H)\cup ({{H}_{2}})=({{H}_{1}}) \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( {{S}_{(H)}}={{S}_{({{H}_{1}})}}-{{S}_{({{H}_{2}})}}=\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{x}dx}-\int\limits_{2}^{4}{(x-2)dx} \) \( =\left. \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right|_{0}^{4}-\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right) \right|_{2}^{4}=\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3} \)

Cách khác: Ta có  \( (H):\left\{ \begin{align}  & x={{y}^{2}} \\  & x=y+2 \\ & y=0;\text{ }y=2 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( {{S}_{(H)}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{y}^{2}}-(y+2) \right|dx}=\frac{10}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong y=−x^3+12x và y=−x^2.

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong \( y=-{{x}^{3}}+12x \) và  \( y=-{{x}^{2}} \).

A. \( S=\frac{937}{12} \)

B.  \( S=\frac{343}{12} \)   

C.  \( S=\frac{793}{4} \)          

D.  \( S=\frac{397}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:

 \( -{{x}^{3}}+12x=-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-x-12)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=-3 \\  & x=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \)  Diện tích cần tìm là:  \( S=\int\limits_{-3}^{4}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx}=\int\limits_{-3}^{0}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx}+\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx} \)

 \( =\left| \int\limits_{-3}^{0}{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x)dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{4}{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x)dx} \right| \) \( =\left| \left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-6{{x}^{2}} \right) \right|_{-3}^{0} \right|+\left| \left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-6{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{4} \right| \)

 \( =\left| \frac{-99}{4} \right|+\left| \frac{-160}{3} \right|=\frac{937}{12} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

 

Cho hàm số \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & 7-4{{x}^{3}}\text{ }khi\text{ }0\le x\le 1 \\  & 4-{{x}^{2}}\text{ }khi\text{ }x>1 \\ \end{align} \right. \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng \( x=0,\text{ }x=3,\text{ }y=0 \)

Cho hàm số \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & 7-4{{x}^{3}}\text{ }khi\text{ }0\le x\le 1 \\  & 4-{{x}^{2}}\text{ }khi\text{ }x>1 \\ \end{align} \right. \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng  \( x=0,\text{ }x=3,\text{ }y=0 \).

A. \( \frac{16}{3} \)

B.  \( \frac{20}{3} \)                 

C. 10                                

D. 9

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( S=\int\limits_{0}^{1}{(7-4{{x}^{3}})dx}+\int\limits_{1}^{2}{(4-{{x}^{2}})dx}+\int\limits_{2}^{3}{({{x}^{2}}-4)dx} \)

 \( =\left. \left( 7x-{{x}^{4}} \right) \right|_{0}^{1}+\left. \left( 4x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{1}^{2}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-4x \right) \right|_{2}^{3}=6+4-\frac{7}{3}-3-\frac{8}{3}+8=10 \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=2x+3 và các đường thẳng y=0,x=0,x=m bằng 10 là

Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y=2x+3 \) và các đường thẳng  \( y=0,x=0,x=m \) bằng 10 là:

A. \( m=\frac{7}{2} \)                                          

B. m = 5                           

C. m = 2           

D. m = 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Vì  \( m>0 \) nên  \( 2x+3>0,\forall x\in \left[ 0;m \right] \).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \( y=2x+3 \) và các đường thẳng  \( y=0,x=0,x=m \) là:

 \( S=\int\limits_{0}^{m}{(2x+3)dx}=\left. ({{x}^{2}}+3x) \right|_{0}^{m}={{m}^{2}}+3m \).

Theo giả thiết ta có:

 \( S=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m-10=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=2 \\  & m=-5 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=2 \) (do m > 0).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=xlnx, trục hoành và đường thẳng x=e là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \( y=x\ln x \), trục hoành và đường thẳng  \( x=e \) là:

A. \( \frac{{{e}^{2}}-1}{2} \)

B.  \( \frac{{{e}^{2}}+1}{2} \)                                         

C.  \( \frac{{{e}^{2}}-1}{4} \)             

D.  \( \frac{{{e}^{2}}+1}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ của đường cong  \( y=x\ln x \)và trục hoành là:

 \( x\ln x=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ lnx=0 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ x=1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1 \).

Vẫy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong  \( y=x\ln x \), trục hoành và đường thẳng  \( x=e \) là:

 \( S=\int\limits_{1}^{e}{\left| x\ln x \right|dx}=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{align}& u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx \\  & dv=xdx\Rightarrow v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right.\).

Suy ra:  \( S=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right|_{1}^{e}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\left. \frac{{{x}^{2}}}{4} \right|_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}+1}{4} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị của hàm số f′(x) như hình vẽ bên

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \) và có đồ thị của hàm số  \( {f}'(x) \) như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \( f(0)>f(2)>f(-1) \)

B.  \( f(0)>f(-1)>f(2) \)   

C.  \( f(2)>f(0)>f(-1) \)   

D.  \( f(-1)>f(0)>f(2) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Theo đồ thị, ta có:  \( f(0)-f(-1)=\int\limits_{-1}^{0}{{f}'(x)dx}>0\Rightarrow f(0)>f(-1) \)        (1)

 \( f(2)-f(-1)=\int\limits_{-1}^{2}{{f}'(x)dx}=\int\limits_{-1}^{0}{{f}'(x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{{f}'(x)dx}<0 \)

 \( \Rightarrow f(-1)>f(2) \)    (2).

Từ (1) và (2)  \( \Rightarrow f(0)>f(-1)>f(2) \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y=f′(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a<b<c như hình vẽ

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị \( y={f}'(x) \) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ  \( a<b<c  \) như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \( f(b)>f(a)>f(c) \)

B.  \( f(a)>f(b)>f(c) \)      

C.  \( f(c)>f(a)>f(b) \)      

D.  \( f(c)>f(b)>f(a) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Ta có:  \( {{S}_{1}}=\int\limits_{a}^{b}{\left| {f}'(x) \right|dx}=\int\limits_{a}^{b}{{f}'(x)dx}=f(b)-f(a) \);  \( {{S}_{2}}=\int\limits_{b}^{c}{\left| {f}'(x) \right|dx}=-\int\limits_{b}^{c}{{f}'(x)dx}=f(b)-f(c) \)

Vì  \( \left\{ \begin{align}  & {{S}_{1}}<{{S}_{2}}\Leftrightarrow f(b)-f(a)<f(b)-f(c)\Leftrightarrow f(c)<f(a) \\  & \int\limits_{a}^{b}{{f}'(x)dx}>0\Leftrightarrow f(b)>f(a) \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow f(c)<f(a)<f(b) \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0;5] và đồ thị hàm số y = f’(x) trên đoạn [0;5] được cho như hình bên

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0;5] và đồ thị hàm số y = f’(x) trên đoạn [0;5] được cho như hình bên.

Tìm mệnh đề đúng.

A. f(0) = f(5) < f(3)

B. f(3) < f(0) = f(5)

C. f(3) < f(0) < f(5)        

D. f(3) < f(5) < f(0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( \int\limits_{3}^{5}{{f}'(x)dx}=f(5)-f(3)>0 \), do đó f(5) > f(3).

 \( \int\limits_{0}^{3}{{f}'(x)dx}=f(3)-f(0)<0 \), do đó f(3) < f(0).

 \( \int\limits_{0}^{5}{{f}'(x)dx}=f(5)-f(0)>0 \), do đó f(5) < f(0).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...