Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau

Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau:

A. \( \frac{10}{3} \)                                                                                     

B.  \( \frac{13}{3} \)                 

C.  \( \frac{11}{3} \)        

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x},\text{ }y=x-2\):

\(\sqrt{x}=x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 2 \\  & x={{(x-2)}^{2}} \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 2 \\  & {{x}^{2}}-5x+4=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=4\)

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:  \( S=\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{x}dx}-\int\limits_{2}^{4}{(x-2)dx}=\frac{10}{3} \).

Cách 2:

 Coi x là hàm số theo biến số y

Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường:

 \( \left\{ \begin{align}  & x={{y}^{2}};\text{ }y\ge 0 \\  & x=y+2 \\  & y=0 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{y}^{2}}=y+2\Leftrightarrow {{y}^{2}}-y-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=-1\text{ }(\ell ) \\ & y=2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:  \( S=\int\limits_{0}^{2}{\left| y+2-{{y}^{2}} \right|dy}=\int\limits_{0}^{2}{(y+2-{{y}^{2}})dy}=\frac{10}{3} \).

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H):y=(x−1)/(x+1) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Gọi S là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( (H):y=\frac{x-1}{x+1} \) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

A. \( S=\ln 2+1 \)

B.  \( S=2\ln 2+1 \)         

C.  \( S=\ln 2-1 \)             

D.  \( S=2\ln 2-1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình trục Ox và Oy lần lượt là  \( y=0 \) và  \( x=0 \).

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số (H) và trục Ox:  \( \frac{x-1}{x+1}=0\Leftrightarrow x=1 \).

Ta có:  \( S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \frac{x-1}{x+1} \right|dx} \).

Vì  \( \frac{x-1}{x+1}\le 0,\forall x\in \left[ 0;1 \right] \) nên diện tích cần tìm là:

\(S=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{x-1}{x+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( -1+\frac{2}{x+1} \right)dx}=\left. \left( -x+2\ln \left| x+1 \right| \right) \right|_{0}^{1}=2\ln 2-1\).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x^2+x−1 và y=x^4+x−1 là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y={{x}^{2}}+x-1 \) và \( y={{x}^{4}}+x-1 \) là:

A. \( \frac{8}{15} \)

B.  \( \frac{7}{15} \)                 

C.  \( \frac{2}{5} \)          

D.  \( \frac{4}{15} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của  \( y={{x}^{2}}+x-1 \)  \( và y={{x}^{4}}+x-1 \) là:

 \( {{x}^{2}}+x-1={{x}^{4}}+x-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{x}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Diện tích hình phẳng giới cần tìm là:  \( S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx}+\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-{{x}^{4}} \right|dx} \)

 \( =\left| \int\limits_{-1}^{0}{({{x}^{2}}-{{x}^{4}})dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}-{{x}^{4}})dx} \right|=\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{5} \right) \right|_{-1}^{0} \right|+\left| \left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{5}}}{5} \right) \right|_{0}^{-1} \right|=\frac{2}{15}+\frac{2}{15}=\frac{4}{15} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x,y=x−2 và trục hoành. Diện tích của (H) bằng

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y=\sqrt{x},y=x-2 \) và trục hoành. Diện tích của (H) bằng

A. \( \frac{7}{3} \)

B.  \( \frac{8}{3} \)                    

C.  \( \frac{10}{3} \)        

D.  \( \frac{16}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét các hình phẳng  \( ({{H}_{1}}):\left\{ \begin{align}  & y=\sqrt{x} \\  & y=0 \\  & x=0,\text{ }x=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( ({{H}_{2}}):\left\{ \begin{align}  & y=x-2 \\  & y=0 \\  & x=2,\text{ }x=4 \\ \end{align} \right. \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align} & (H)=({{H}_{1}})\backslash ({{H}_{2}}) \\  & (H)\cup ({{H}_{2}})=({{H}_{1}}) \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( {{S}_{(H)}}={{S}_{({{H}_{1}})}}-{{S}_{({{H}_{2}})}}=\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{x}dx}-\int\limits_{2}^{4}{(x-2)dx} \) \( =\left. \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right|_{0}^{4}-\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}-2x \right) \right|_{2}^{4}=\frac{16}{3}-2=\frac{10}{3} \)

Cách khác: Ta có  \( (H):\left\{ \begin{align}  & x={{y}^{2}} \\  & x=y+2 \\ & y=0;\text{ }y=2 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra:  \( {{S}_{(H)}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{y}^{2}}-(y+2) \right|dx}=\frac{10}{3} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong y=−x^3+12x và y=−x^2.

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong \( y=-{{x}^{3}}+12x \) và  \( y=-{{x}^{2}} \).

A. \( S=\frac{937}{12} \)

B.  \( S=\frac{343}{12} \)   

C.  \( S=\frac{793}{4} \)          

D.  \( S=\frac{397}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:

 \( -{{x}^{3}}+12x=-{{x}^{2}}\Leftrightarrow x({{x}^{2}}-x-12)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=-3 \\  & x=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow \)  Diện tích cần tìm là:  \( S=\int\limits_{-3}^{4}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx}=\int\limits_{-3}^{0}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx}+\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x \right|dx} \)

 \( =\left| \int\limits_{-3}^{0}{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x)dx} \right|+\left| \int\limits_{0}^{4}{({{x}^{3}}-{{x}^{2}}-12x)dx} \right| \) \( =\left| \left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-6{{x}^{2}} \right) \right|_{-3}^{0} \right|+\left| \left. \left( \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{3}}}{3}-6{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{4} \right| \)

 \( =\left| \frac{-99}{4} \right|+\left| \frac{-160}{3} \right|=\frac{937}{12} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & 7-4{{x}^{3}}\text{ }khi\text{ }0\le x\le 1 \\  & 4-{{x}^{2}}\text{ }khi\text{ }x>1 \\ \end{align} \right. \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng \( x=0,\text{ }x=3,\text{ }y=0 \)

Cho hàm số \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & 7-4{{x}^{3}}\text{ }khi\text{ }0\le x\le 1 \\  & 4-{{x}^{2}}\text{ }khi\text{ }x>1 \\ \end{align} \right. \). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng  \( x=0,\text{ }x=3,\text{ }y=0 \).

A. \( \frac{16}{3} \)

B.  \( \frac{20}{3} \)                 

C. 10                                

D. 9

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( S=\int\limits_{0}^{1}{(7-4{{x}^{3}})dx}+\int\limits_{1}^{2}{(4-{{x}^{2}})dx}+\int\limits_{2}^{3}{({{x}^{2}}-4)dx} \)

 \( =\left. \left( 7x-{{x}^{4}} \right) \right|_{0}^{1}+\left. \left( 4x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right) \right|_{1}^{2}+\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-4x \right) \right|_{2}^{3}=6+4-\frac{7}{3}-3-\frac{8}{3}+8=10 \)

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=2x+3 và các đường thẳng y=0,x=0,x=m bằng 10 là

Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y=2x+3 \) và các đường thẳng  \( y=0,x=0,x=m \) bằng 10 là:

A. \( m=\frac{7}{2} \)                                          

B. m = 5                           

C. m = 2           

D. m = 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Vì  \( m>0 \) nên  \( 2x+3>0,\forall x\in \left[ 0;m \right] \).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \( y=2x+3 \) và các đường thẳng  \( y=0,x=0,x=m \) là:

 \( S=\int\limits_{0}^{m}{(2x+3)dx}=\left. ({{x}^{2}}+3x) \right|_{0}^{m}={{m}^{2}}+3m \).

Theo giả thiết ta có:

 \( S=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m=10\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m-10=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=2 \\  & m=-5 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=2 \) (do m > 0).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=xlnx, trục hoành và đường thẳng x=e là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \( y=x\ln x \), trục hoành và đường thẳng  \( x=e \) là:

A. \( \frac{{{e}^{2}}-1}{2} \)

B.  \( \frac{{{e}^{2}}+1}{2} \)                                         

C.  \( \frac{{{e}^{2}}-1}{4} \)             

D.  \( \frac{{{e}^{2}}+1}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình hoành độ của đường cong  \( y=x\ln x \)và trục hoành là:

 \( x\ln x=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ lnx=0 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x> 0 \\ \left [ \begin{matrix} x=0 \\ x=1 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1 \).

Vẫy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong  \( y=x\ln x \), trục hoành và đường thẳng  \( x=e \) là:

 \( S=\int\limits_{1}^{e}{\left| x\ln x \right|dx}=\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx} \)

Đặt: \(\left\{ \begin{align}& u=\ln x\Rightarrow du=\frac{1}{x}dx \\  & dv=xdx\Rightarrow v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right.\).

Suy ra:  \( S=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right|_{1}^{e}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-\left. \frac{{{x}^{2}}}{4} \right|_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}+1}{4} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A. \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2+\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)

B.  \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2-\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)           

C.  \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+2+\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)                      

D.  \( \int\limits_{-1}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+2-\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là:

 \( \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{2}}-2-\left( -\sqrt{\left| x \right|} \right) \right|dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\left( -{{x}^{2}}+2-\sqrt{\left| x \right|} \right)dx} \) (vì  \( x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow -\sqrt{\left| x \right|}>{{x}^{2}}-2 \)).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y=√3x^2, cung tròn có phương trình y=√(4−x^2)(với 0≤x≤2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

(Đề Tham Khảo – 2018) Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y=\sqrt{3}{{x}^{2}} \), cung tròn có phương trình  \( y=\sqrt{4-{{x}^{2}}} \) (với  \( 0\le x\le 2 \)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

A. \( \frac{4\pi +\sqrt{3}}{12} \)

B.  \( \frac{4\pi -\sqrt{3}}{6} \)             

C.  \( \frac{4\pi +2\sqrt{3}-3}{6} \)            

D.  \( \frac{5\sqrt{3}-2\pi }{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và cung tròn ta được:

\(\sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\pm 1\) với \(0\le x\le 2\)

 \( \Rightarrow x=1 \)

Ta có diện tích:  \( S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\left. \frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx} \)

Đặt: \( x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt \)

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6} \\ & x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow S=\frac{\sqrt{3}}{3}+\left. 2\left( t+\frac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(2)=16 \), \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(2)=16 \), \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

A. 30

B. 28

C. 36                                

D. 16

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\).

Đặt  \( t=2x\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=2\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=4 \).

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-4=32-4=28 \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(1)=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết  \( f(1)=2 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

A. 1

B. \( \frac{5}{7} \)           

C.  \( \frac{3}{7} \)          

D.  \( \frac{1}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

+ Xét  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \) .

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\left. {{x}^{2}}.f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{2xf(x)dx}=2-2\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=4 \).

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=-1 \).

+ Xét \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4\)

Đặt  \( t=2-\sqrt{x}\Rightarrow dt=-\frac{1}{2\sqrt{x}}dx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\Rightarrow t=1 \\  & x=4\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=-\int\limits_{1}^{0}{\left( 1+3(2-t) \right)f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{(7-3t)f(t)dt}\)

\(=7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=4\).

 \( \Leftrightarrow 7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3.(-1)=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{7} \).

Vậy  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{7} \)

Các bài toán liên quan

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa \( f(1)=1 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{3} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx} \)

Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa  \( f(1)=1 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{3} \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx} \).

A. \( I=\frac{4}{3} \)                                          

B.  \( I=\frac{2}{3} \)      

C.  \( I=-\frac{2}{3} \)              

D.  \( I=\frac{1}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx} \).

Đặt  \( t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2t.{f}'(t)dt} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=2t\Rightarrow du=2dt \\  & dv={f}'(t)dt\Rightarrow v=f(t) \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. 2t.f(t) \right|_{0}^{1}-2\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=2f(1)-2.\frac{1}{3}=\frac{4}{3} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \). Biết \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \)

Hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn:  \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \). Biết  \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \).

A. 4

B. 0                                   

C. 8                                   

D. -4

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

+ Xét  \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=2x-1\Rightarrow du=2dx \\  & dv={f}”(x)dx\Rightarrow v={f}'(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx}=\left. (2x-1){f}'(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{2{f}'(x)dx} \)

 \( =3{f}'(2)+{f}'(0)-\left. 2f(x) \right|_{0}^{2}=3{f}'(2)+{f}'(0)-2f(2)+2f(0) \)   (*)

+ Ta có:  \( {{f}^{2}}(1-x)=({{x}^{2}}+3).f(x+1),\forall x\in \mathbb{R} \)

Ta thay:

 \( x=1\Rightarrow {{f}^{2}}(0)=4f(2) \).

 \( x=-1\Rightarrow {{f}^{2}}(2)=4f(0)\Rightarrow {{f}^{4}}(2)=64{{f}^{2}}(0)=64f(2) \).

Mà theo đề  \( f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(2)=4 \).

Vậy, ta có:  \( f(2)=f(0)=4 \)     (1)

+ Ta có:  \( -2{f}'(1-x).f(1-x)=2x.f(x+1)+({{x}^{2}}+3).{f}'(x+1) \).

Ta thay:

 \( x=1\Rightarrow -2{f}'(0).f(0)=2f(2)+4{f}'(2)\Rightarrow {f}'(2)+2{f}'(0)=-2 \).

 \( x=-1\Rightarrow -2{f}'(2).f(2)=-2f(0)+4{f}'(0)\Rightarrow 2{f}'(2)+{f}'(0)=2 \).

Vậy, ta có:  \( {f}'(0)=-2,\text{ }{f}'(2)=2 \)     (2)

Thế (1) và (2) vào (*), suy ra:

\(I=\int\limits_{0}^{2}{(2x-1){f}”(x)dx}=3{f}'(2)+{f}'(0)-2f(2)+2f(0)=3.2-2-2.4+2.4=4\).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 1;2 \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \),  \( f(2)=0 \) và  \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 1;2 \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \),  \( f(2)=0 \) và  \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân  \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \).

A. \( I=\frac{7}{5} \)

B.  \( I=-\frac{7}{5} \)     

C.  \( I=-\frac{7}{20} \)            

D.  \( I=\frac{7}{20} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \).

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\  & dv={{(x-1)}^{2}}dx\Rightarrow v=\frac{1}{3}{{(x-1)}^{3}} \\ \end{align} \right.\).

Khi đó: \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=\frac{1}{3}\left[ \left. {{(x-1)}^{3}}f(x) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx} \right]=-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=-\frac{1}{3}\).

\(\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=1\)   (1)

Ta có: \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}-14\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}+49\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{6}}dx}=0\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}} \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=7{{(x-1)}^{3}}\)

\(\Rightarrow f(x)=7\int{{{(x-1)}^{3}}dx}=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}+C\).

Mà  \( f(2)=0 \) nên  \( C=-\frac{7}{4} \). Suy ra: \(f(x)=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4}\).

Vậy  \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4} \right]dx}=-\frac{7}{5} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên  \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện  \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).

A. 0

B.  \( \frac{\pi }{2} \)        

C. 1                                   

D.  \( \pi \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Từ giả thiết:  \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)+x{f}'(x)={{x}^{2}}\cos x+2x\sin x \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow \int{{{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}dx=\int{{{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}dx}}\Leftrightarrow xf(x)={{x}^{2}}\sin x+C \).

Mặt khác:  \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{2}={{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{2}}.\sin \frac{\pi }{2}+C\Rightarrow C=0 \).

 \( \Rightarrow f(x)=x\sin x\Rightarrow {f}'(x)=\sin x+x\cos x \).

Xét  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).

Đặt: \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv={f}”(x)dx\Rightarrow v={f}'(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx}=\left. x{f}'(x) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{f}'(x)dx}=\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-f(x) \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}} \)

 \( =\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-x\sin x \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\left. {{x}^{2}}\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=0 \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \)

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với  \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).

A. \( \frac{1}{4} \)

B.  \( \frac{5}{4} \)                    

C.  \( \frac{3}{4} \)          

D.  \( -\frac{1}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)  (*)

+ Từ  \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \)  (1)

Thay  \( x=1 \) vào (1) ta được:  \( f(1)+2f(1)=3\Rightarrow f(1)=1 \)    (2)

+ Mặt khác từ (1) ta có:  \( \int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)+2xf({{x}^{2}}) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \right)dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=-\frac{1}{2} \)  (3)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx} \).

Đặt  \( t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)

Từ (3) suy ra: \(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{4}\)  (4)

Thay (2), (4) vào (*) ta được:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!