Phương trình e^x−e^√2x+1=1−x^2+2√2x+1 có nghiệm trong khoảng nào

Phương trình \( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1} \) có nghiệm trong khoảng nào?

A. \( \left( 2;\frac{5}{2} \right) \).

B.  \( \left( \frac{3}{2};2 \right) \).             

C.  \( \left( 1;\frac{3}{2} \right) \).              

D.  \( \left( \frac{1}{2};1 \right) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện:  \( x\ge -\frac{1}{2} \).

 \( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=-{{(x+1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{e}^{x}}+{{(x+1)}^{2}}={{e}^{\sqrt{2x+1}}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{e}^{t}}+{{(t+1)}^{2}} \) với  \( t\ge -\frac{1}{2} \).

 \( {f}'(t)={{e}^{t}}+2(t+1)>0 \) với mọi  \( t\ge -\frac{1}{2} \).

Suy ra hàm số đồng biến trên  \( \left[ -\frac{1}{2};+\infty  \right) \).

 \( (*)\Leftrightarrow f(x)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 0 \\  & {{x}^{2}}=2x+1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 0 \\  & {{x}^{2}}-2x-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \begin{cases} x\ge 0 \\\left[\begin{array}{l} x=1-\sqrt{2} \\ x=1+\sqrt{2}\end{array}\right.\end{cases} \Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Tích tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình (3^x−3)^2−(4^x−4)=(3^x+4^x−7)^2 bằng

Tích tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình \( {{({{3}^{x}}-3)}^{2}}-({{4}^{x}}-4)={{({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)}^{2}} \) bằng

A. 2.

B. 1.

C. 4.                                  

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Phương trình  \( \Leftrightarrow ({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)({{3}^{x}}-{{4}^{x}}+1)={{({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow ({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)({{2.4}^{x}}-8)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{2.4}^{x}}=8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\  & {{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7=0\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình (1):  \( (1)\Leftrightarrow {{4}^{x}}=4\Leftrightarrow x=1 \).

Xét phương trình (2): Xét hàm số  \( f(x)={{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7 \) trên  \( \mathbb{R} \).

Hàm số f(x) liên tục và  \( {f}'(x)={{3}^{x}}.\ln 3+{{4}^{x}}.\ln 4>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \) nên f(x) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Khi đó,  \( (2)\Leftrightarrow f(x)=f(1)\Leftrightarrow x=1 \).

Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng 1.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Số nghiệm của phương trình x^2−5x−2=(x^2−8x+3).8^3x−5+(3x−5).8^x^2−8x+3 là

Số nghiệm của phương trình \( {{x}^{2}}-5x-2=({{x}^{2}}-8x+3){{.8}^{3x-5}}+(3x-5){{.8}^{{{x}^{2}}-8x+3}} \) là:

A. 4.

B. 3.

C. 1.                                  

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u={{x}^{2}}-8x+3 \\  & v=3x-5 \\ \end{align} \right. \), phương trình đã cho trở thành:

 \( u+v=u{{.8}^{v}}+v{{.8}^{u}}\Leftrightarrow u(1-{{8}^{v}})=v({{8}^{u}}-1)\,\,\,\,\,\,(*) \)

+Ta thấy  \( u=0\vee v=0 \) thỏa mãn phương trình (*).

+ Với  \( \left\{ \begin{align}  & u\ne 0 \\  & v\ne 0 \\ \end{align} \right. \) ta có  \( (*)\Leftrightarrow \frac{1-{{8}^{v}}}{v}=\frac{{{8}^{u}}-1}{u}\,\,\,\,\,(**) \)

Ta thấy:

– Nếu  \( u>0 \) thì  \( \frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0 \) và nếu  \( u<0 \) thì  \( \frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0 \). Do đó  \( VP(**)>0,\,\,\forall u\ne 0 \).

– Nếu  \( v>0 \) thì \(\frac{1-{{8}^{v}}}{v}<0\) và nếu \(v<0\) thì \(\frac{1-{{8}^{v}}}{v}<0\). Do đó \(VT(**)<0,\,\,\forall v\ne 0\).

Từ đó suy ra (**) vô nghiệm.

Như vậy, phương trình đã cho tương đương với:

 \( \left[ \begin{align}  & u=0 \\  & v=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-8x+3=0 \\  & 3x-5=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4+\sqrt{13} \\  & x=4-\sqrt{13} \\  & x=\frac{5}{3} \\ \end{align} \right. \).

Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Cho các số thực x, y với x≥0 thỏa mãn e^x+3y+e^xy+1+x(y+1)+1=e^−xy−1+1/e^x+3y−3y. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+2y+1

Cho các số thực x, y với \( x\ge 0 \) thỏa mãn  \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \). Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( T=x+2y+1 \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( m\in (2;3) \).

B.  \( m\in (-1;0) \).          

C.  \( m\in (0;1) \).           

D.  \( m\in (1;2) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Từ giả thiết  \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \)

 \( \Leftrightarrow {{e}^{x+3y}}-\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}+(x+3y)={{e}^{-xy-1}}-\frac{1}{{{e}^{-xy-1}}}+(-xy-1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{e}^{t}}-\frac{1}{{{e}^{t}}}+t \) với  \( t\in \mathbb{R} \) ta có  \( {f}'(t)={{e}^{t}}+\frac{1}{{{e}^{t}}}+1>0,\,\,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f(t) \) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Phương trình (1) có dạng  \( f(x+3y)=f(-xy-1)\Rightarrow x+3y=-xy-1\Rightarrow y=\frac{-x-1}{x+3}\,\,(x\ge 0) \).

Khi đó  \( T=x+2y+1=x-\frac{2x+2}{x+3}+1\Rightarrow T’=1-\frac{4}{{{(x+3)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{(x+3)}^{2}}}>0,\,\,\forall x\ge 0 \).

 \( \Rightarrow {{T}_{\min }}=0-\frac{2.0+2}{0+3}+1=\frac{1}{3}=m \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Số nghiệm của phương trình 3^log7(x+4)=x là

Số nghiệm của phương trình \( {{3}^{{{\log }_{7}}(x+4)}}=x \) là:

A.1.

B. 0.                                  

C. 2.                                  

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện của phương trình:  \( x>-4 \).

Với  \( x>0 \) phương trình đã cho tương dương với phương trình  \( {{\log }_{7}}(x+4)={{\log }_{3}}x \).

Đặt  \( {{\log }_{7}}(x+4)={{\log }_{3}}x=t \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & x+4={{7}^{t}} \\  & x={{3}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{7}^{t}}={{3}^{t}}+4\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1=0\,\,\,\,\,(1) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1,\,\,\forall t\in \mathbb{R} \).

Ta có:  \( {f}'(t)={{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{3}{7} \right)+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{1}{7} \right)<0,\,\,\forall t\in \mathbb{R} \)

Nên f(t) nghịch biến trên tập  \( \mathbb{R} \).

Mà  \( f(1)=0 \) nên phương trình có nghiệm duy nhất  \( t=1\Leftrightarrow x=3 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Phương trình 2019^sinx=sinx+√2−cos^2x có bao nhiêu nghiệm thực trên [−5π;2019π]

Phương trình \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x} \) có bao nhiêu nghiệm thực trên  \( \left[ -5\pi ;2019\pi  \right] \)?

A. 2025.

B. 2017.

C. 2022.                           

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét  \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x}\,\,\,\,\,(1) \)

Đặt  \( t=\sin x,\,\,t\in [-1;1] \).

Khi đó (1) trở thành  \( {{2019}^{t}}=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow {{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)=-1\,\,\,\,\,\,\,(2) \).

Xét hàm số:  \( f(t)={{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right),\,\,\forall t\in [-1;1] \)

 \( \Rightarrow {f}'(t)=\frac{{{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\left( \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1 \right)}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}} \).

Cho  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t-\sqrt{1+{{t}^{2}}}=0 \\  & \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1=0 \\ \end{align} \right. \) vô nghiệm  \( \Rightarrow {f}'(t)<0,\,\,\forall t\in [-1;1] \).

 \( \Rightarrow (2) \) có nghiệm duy nhất  \( t=0\Rightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Mà  \( x\in [-5\pi ;2019\pi ]\Rightarrow -5\pi \le k\pi \le 2019\pi \Leftrightarrow -5\le k\le 2019\Rightarrow k\in [-5;2019] \).

Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên  \( [-5\pi ;2019\pi ] \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Hỏi phương trình 3.2^x+4.3^x+5.4^x=6.5^x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực

Hỏi phương trình \( {{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}} \) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 0.

B. 1.

C. 3.                                  

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:  \( {{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}}\Leftrightarrow 3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6=0 \).

Xét hàm số  \( f(x)=3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \).

Có  \( {f}'(x)=3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{2}{5}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{3}{5}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{5}<0,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \) nên hàm số f(x) nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \) suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm (1).

Mặt khác:  \( f(1).f(2)=\frac{8}{5}.\left( -\frac{22}{25} \right)=-\frac{176}{125}<0 \) nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Tính số nghiệm của phương trình cotx=2x trong khoảng (11π/12;2019π)

Tính số nghiệm của phương trình \( \cot x={{2}^{x}} \) trong khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right) \).

A. 2019.

B. 2018.

C. 1.                                  

D. 2020.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét phương trình  \( \cot x={{2}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \).

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Xét hàm số  \( f(x)={{2}^{x}}-\cot x,\,\,x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} với k\in \mathbb{Z} \).

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{2}^{x}}.\ln 2+1+{{\cot }^{2}}x>0,\,\,\forall x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} \) với  \( k\in \mathbb{Z} \).

Suy ra hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên mỗi khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right);\,\,(\pi ;2\pi );…;(2018\pi ;2019\pi ) \).

+ Trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \) ta có bảng biến thiên:

Ta có:  \( f\left( \frac{11\pi }{12} \right)={{2}^{\frac{11\pi }{12}}}-\cot \left( \frac{11\pi }{12} \right)\approx 11,0925>0 \). Do đó phương trình  \( f(x)=0 \) vô nghiệm trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \).

+ Trên mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) ta có bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 1 nghiệm. Mà có 2018 khoảng nên phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 2018 nghiệm.

Vậy phương trình  \( f(x)=0 \) có 2018 nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Tìm số nghiệm của phương trình (|x|−1)2e|x|−1−log2=0

Tìm số nghiệm của phương trình \( {{\left( \left| x \right|-1 \right)}^{2}}{{e}^{\left| x \right|-1}}-\log 2=0 \).

A. 4.

B. 3.                                  

C. 2.                                  

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đặt  \( t=\left| x \right|-1\ge -1 \), với  \( t\ge -1\Rightarrow \left| x \right|=t+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=t+1 \\  & x=-t-1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}{{e}^{t}}-\log 2=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đồ thị hàm số  \( y=f(t)={{t}^{2}}{{e}^{t}}-\log 2 \) và đường thẳng  \( y=0 \).

Ta có:  \( {f}'(t)={{e}^{t}}({{t}^{2}}+2t)\Rightarrow {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\,\,(n) \\  & t=-2\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Ta có:  \( -\log 2<0<\frac{1}{e}-\log 2 \), dựa vào bảng biến thiên ta được phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( {{t}_{1}},{{t}_{2}} \) thỏa mãn  \( -1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) hay phương trình đã cho có 4 nghiệm x phân biệt.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Phương trình x(2^x−1+4)=2^x+1+x^2 có tổng các nghiệm bằng

Phương trình \( x\left( {{2}^{x-1}}+4 \right)={{2}^{x+1}}+{{x}^{2}} \) có tổng các nghiệm bằng

A. 7.

B. 3.                                  

C. 5.                                  

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( x\left( {{2}^{x-1}}+4 \right)={{2}^{x+1}}+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x{{.2}^{x-1}}-{{4.2}^{x-1}}+4x-{{x}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{2}^{x-1}}(x-4)-x(x-4)=0\Leftrightarrow (x-4)({{2}^{x-1}}-x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4 \\  & {{2}^{x}}=2x\,\,\,\,\,\,(*) \\ \end{align} \right. \).

Giải phương trình (*):

Xét hàm số  \( f(x)={{2}^{x}}-2x có {f}'(x)={{2}^{x}}\ln 2-2;\,\,{f}”(x)={{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2>0 \).

Suy ra phương trình  \( {f}'(x)=0 \) có duy nhất một nghiệm, suy ra phương trình  \( f(x)=0 \) có nhiều nhất là hai nghiệm. Mà ta thấy  \( f(1)=f(2)=0 \) nên phương trình (*) có 2 nghiệm  \( x=1;\,\,x=2 \).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 7.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Biết x1,x2 là hai nghiệm của phương trình log7(4×2−4x+1/2x)+4x^2+1=6x và x1+2×2=1/4(a+√b) với a, b là hai số nguyên dương

Biết \( {{x}_{1}},\,{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình  \( {{\log }_{7}}\left( \frac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x \) và  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( a+\sqrt{b} \right) \) với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b.

A. \( a+b=13 \).

B.  \( a+b=11 \).              

C.  \( a+b=16 \).              

D.  \( a+b=14 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện:  \( x>0;\,\,x\ne \frac{1}{2} \).

Ta có:  \( {{\log }_{7}}\left( \frac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x\Leftrightarrow {{\log }_{7}}(4{{x}^{2}}-4x+1)+4{{x}^{2}}-4x+1={{\log }_{7}}(2x)+2x \).

Xét  hàm số  \( f(t)={{\log }_{7}}t+t\) có  \( {f}'(t)=\frac{1}{t\ln 7}+1>0,\,\,\forall t>0 \)  nên là hàm số đồng biến trên  \( (0;+\infty ) \).

Do đó, ta có  \( 4{{x}^{2}}-4x+1=2x\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-6x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{4} \).

Khi đó:  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{4}+2.\frac{3+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{4}\left( 9+\sqrt{5} \right)\) hoặc  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}+2.\frac{3-\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{4}\left( 9-\sqrt{5} \right) \) .

Vậy  \( {{x}_{1}}=\frac{3-\sqrt{5}}{4};\,\,{{x}_{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4} \).

Do đó:  \( a=9;\,\,b=5 \) và  \( a+b=9+5=14 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Cho số thực α sao cho phương trình 2x−2−x=2cos(αx) có đúng 2019 nghiệm thực

Cho số thực \( \alpha  \) sao cho phương trình  \( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}}=2\cos (\alpha x) \) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x) \) là:

A. 2019.
B. 2018.

C. 4037.                           

D. 4038.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x)\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}} \right)}^{2}}=2.2{{\cos }^{2}}\left( \alpha .\frac{x}{2} \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}}=2\cos \left( \alpha .\frac{x}{2} \right)\,\,\,\,\,(1) \\  & {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}}=-2\cos \left( \alpha .\frac{x}{2} \right)\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. \).

Ta thấy, nếu phương trình  \( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}}=2\cos (\alpha x) \) có 2019 nghiệm thực thì phương trình (1) cũng có 2019 nghiệm thực.

Nhận xét:

+  \( {{x}_{0}} \) là nghiệm của phương trình (1)  \( \Leftrightarrow {{x}_{0}} \) là nghiệm của phương trình (2).

+  \( {{x}_{0}}=0 \) không là nghiệm của hai phương trình (1), (2).

Do đó, tổng số nghiệm của cả hai phương trình (1), (2) là 4038.

Vậy phương trình  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x) \) có 4038 nghiệm thực.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15x.5^x=5^x+1+27x+23 bằng

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \( 15x{{.5}^{x}}={{5}^{x+1}}+27x+23 \) bằng

A. -1.

B. 2.

C. 1.                                  

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( 15x{{.5}^{x}}={{5}^{x+1}}+27x+23\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}(3x-1)=27x+23\,\,\,(1) \)

Dễ thấy  \( x=\frac{1}{3} \) không thỏa mãn phương trình trên nên ta có:

 \( {{5}^{x+1}}(3x-1)=27x+23\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}=\frac{27x+23}{3x-1}\,\,\,(2) \)

Hàm số  \( y=f(x)={{5}^{x+1}}={{5.5}^{x}} \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Hàm số  \( y=g(x)=\frac{27x+23}{3x-1} \), có đạo hàm  \( {g}'(x)=-\frac{96}{{{(3x-1)}^{2}}}<0 \), nên nghịch biến trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \).

Do đó trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \), phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm.

Ta thấy  \( x=-1 \) và  \( x=1 \) là các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \).

Do đó (2) và (1) có hai nghiệm  \( x=-1 \) và  \( x=1 \).

Tổng hai nghiệm này bằng 0.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Phương trình 3^x^2.4^x+1−13x=0 có hai nghiệm x1,x2. Tính T=x1.x2+x1+x2

Phương trình \( {{3}^{{{x}^{2}}}}{{.4}^{x+1}}-\frac{1}{{{3}^{x}}}=0 \) có hai nghiệm  \( {{x}_{1}},\,{{x}_{2}} \). Tính  \( T={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}} \).

A. \( T=-{{\log }_{3}}4 \).

B.  \( T={{\log }_{3}}4 \).   

C.  \( T=-1 \).

D.  \( T=1 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: \( {{3}^{{{x}^{2}}}}{{.4}^{x+1}}-\frac{1}{{{3}^{x}}}=0\Leftrightarrow {{3}^{x(x+1)}}{{.4}^{x+1}}=1\Leftrightarrow \log \left( {{3}^{x(x+1)}}{{.4}^{x+1}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \log {{3}^{x(x+1)}}+\log {{4}^{x+1}}=0\Leftrightarrow x(x+1)\log 3+(x+1)\log 4=0 \)

 \( \Leftrightarrow (x+1)\left( x\log 3+\log 4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=-{{\log }_{3}}4 \\ \end{align} \right. \).

Do đó,  \( T={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{3}}4-(1+{{\log }_{3}}4)=-1 \).

 

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log4a=log6b=log9(4a−5b)−1. Đặt T=b/a

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \( {{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}\left( 4a-5b \right)-1 \). Đặt  \( T=\frac{b}{a} \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( 1<T<2 \)

B.  \( \frac{1}{2}<T<\frac{2}{3} \)                          

C.  \( -2<T<0 \)

D.  \( 0<T<\frac{1}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử: \({{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}(4a-5b)-1=t\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a={{4}^{t}} \\  & b={{6}^{t}} \\  & 4a-5b={{9}^{t+1}} \\ \end{align} \right.\)

Khi đó:  \( {{4.4}^{t}}-{{5.6}^{t}}={{9.9}^{t}}\Leftrightarrow 4{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{t}}-5{{\left( \frac{6}{9} \right)}^{t}}=9 \)

 \( \Leftrightarrow 4{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2t}}-5{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}=\frac{9}{4}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-2}} \\  & {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}=-1\text{(lo }\!\!{}^\text{1}\!\!\text{ i)} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow t=-2\Rightarrow T=\frac{b}{a}={{\left( \frac{6}{4} \right)}^{t}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2}}=\frac{4}{9}\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Gọi x, y các số thực dương thỏa mãn điều kiện log9x=log6y=log4(x+y) và xy=−a+√b/2, với a, b là hai số nguyên dương. Tính T=a2+b2

Gọi x, y các số thực dương thỏa mãn điều kiện \( {{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}(x+y) \) và  \( \frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2} \), với a, b là hai số nguyên dương. Tính  \( T={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \).

A. T = 26

T = 29

C. T = 20                         

D. T = 25

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( t={{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}(x+y) \), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & x={{9}^{t}} \\  & y={{6}^{t}} \\  & x+y={{4}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{9}^{t}}+{{6}^{t}}={{4}^{t}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{(lo }\!\!{}^\text{1}\!\!\text{ i)} \\  & {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)

Suy ra:  \( \frac{x}{y}={{\left( \frac{9}{6} \right)}^{t}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2} \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{1}^{2}}+{{5}^{2}}=26 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2^x=3^y=6^−z. Giá trị của biểu thức M=xy+yz+xz là

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \( {{2}^{x}}={{3}^{y}}={{6}^{-z}} \). Giá trị của biểu thức  \( M=xy+yz+xz \) là

A. 0.

B. 6.                                  

C. 3.                                  

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( {{2}^{x}}={{3}^{y}}={{6}^{-z}}=t \) với  \( t>0 \).

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{2}^{x}}=t \\  & {{3}^{y}}=t \\  & {{6}^{-z}}=t \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x={{\log }_{2}}t \\  & y={{\log }_{3}}t \\  & z=-{{\log }_{6}}t \\ \end{align} \right. \).

Mặt khác:  \( {{\log }_{6}}t=\frac{1}{{{\log }_{t}}6}=\frac{1}{{{\log }_{t}}3+{{\log }_{t}}2}=\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{3}}t}+\frac{1}{{{\log }_{2}}t}}=\frac{{{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t}{{{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t} \).

 \( M=xy+yz+xz={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-{{\log }_{3}}t.{{\log }_{6}}t-{{\log }_{6}}t.{{\log }_{2}}t \)

 \( ={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-({{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t).{{\log }_{6}}t={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-({{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t).\frac{{{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t}{{{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t}=0 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Cho hai số thực a>1,b>1. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình a^x.b^x^2−1=1. Trong trường hợp biểu thức S=(x1.x2/x1+x2)2−4×1−4×2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng

Cho hai số thực \( a>1,\,\,b>1 \). Gọi  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1 \). Trong trường hợp biểu thức  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}} \) đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( a\ge b \).

B.  \( a.b=4 \).                  

C.  \( a.b=2 \). 

D.  \( a<b \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{a}}b-1=0 \). Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Theo định lí Viet, ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a;\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \).

Khi đó:  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=\log _{a}^{2}b+\frac{4}{{{\log }_{a}}b} \).

Đặt  \( {{\log }_{a}}b=t,\,\,t>0 \) (Vì  \( a>1,\,\,b>1 \)), khi đó:

 \( S={{t}^{2}}+\frac{4}{t};\,\,{S}’=2t-\frac{4}{{{t}^{2}}}=\frac{2{{t}^{3}}-4}{{{t}^{2}}};\,\,{S}’=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{2} \).

Suy ra biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t=\sqrt[3]{2} \) hay \( {{\log }_{a}}b=\sqrt[3]{2}>1\Rightarrow a<b \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Tính tích các nghiệm thực của phương trình 2^x^2−1=3^2x+3

Tính tích các nghiệm thực của phương trình \( {{2}^{{{x}^{2}}-1}}={{3}^{2x+3}} \).

A. \( -3{{\log }_{2}}3 \).

B.  \( -{{\log }_{2}}54 \). 

C. – 1.                               

D.  \( 1-{{\log }_{2}}3 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Phương trình tương đương:  \( {{\log }_{2}}{{2}^{{{x}^{2}}-1}}={{\log }_{2}}{{3}^{2x+3}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=(2x+3){{\log }_{2}}3 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x.{{\log }_{2}}3-1-3{{\log }_{2}}3=0 \).

Do  \( a.c=1.(-1-3{{\log }_{2}}3)<0 \) nên phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \).

Theo định lí Viet ta có:  \( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1-3{{\log }_{2}}3=-{{\log }_{2}}2-{{\log }_{2}}27=-{{\log }_{2}}54 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Error: View 31213d2pw6 may not exist

Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình x.2^x=x(x-m+1)+m(2^x-1) có hai phần tử

Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình \(x{{.2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\) có hai phần tử. Số phần tử của A bằng

A. 2

B. 3                                   

C. 1                                   

D. Vô số

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình: \(x{{.2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\) (1)

$\Leftrightarrow {{2}^{x}}.\left( x-m \right)=\left( x-m \right)\left( x-1 \right)$

$\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( {{2}^{x}}-x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=m \\& {{2}^{x}}-x-1=0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(2) \\\end{align} \right.$

Đặt $f(x)={{2}^{x}}-x-1\Rightarrow {f}'(x)={{2}^{x}}\ln 2-1$

$\Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)$

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f(x) = 0 (2) có nhiều nhất 2 nghiệm

Mà f(0) = f(1) = 0.

$\Rightarrow $ phương trình (2) có đúng 2 nghiệm x = 0; x = 1.

$\Rightarrow $  phương trình (1) có các nghiệm là x = 0; x = 1; x = m.

Để tập nghiệm của phương trình (1) có hai phần tử $\Rightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=1 \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow $ Số phần tử của A bằng 2.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình e^3m+e^m=2(x+√(1-x^2))(1+x√(1-x^2)) có nghiệm

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ có nghiệm.

A. $\left( 0;\frac{1}{2}\ln 2 \right)$

B. $\left( -\infty ;\frac{1}{2}\ln 2 \right]$

C. $\left( 0;\frac{1}{e} \right)$                   

D. $\left[ \frac{1}{2}\ln 2;+\infty  \right)$

Hướng dẫn giải:

Đặt $t=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ \( \Rightarrow x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \)

Ta có: ${t}’=\frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}};{t}’=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $t\in \left[ -1;\sqrt{2} \right]$.

Phương trình trở thành ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2t\left( 1+\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)$

$\Leftrightarrow {{e}^{3m}}+{{e}^{m}}={{t}^{3}}+t\Leftrightarrow {{e}^{m}}=t$ (Sử dụng hàm đặc trưng)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le {{e}^{m}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow m\le \ln \sqrt{2}\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{1}{2}\ln 2 \right]\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 8^x+3x.4^x+(3x^2+1).2^x=(m^3-1)x^3+(m-1)x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc (0;10)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $\left( 0;10 \right)$.

A. 101

B. 100                              

C. 102                              

D. 103

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ (1)

$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$ (2)

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t$

Ta có: $t={{2}^{x}}+x$ mà $0< x <10\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 1<{{2}^{x}}<1024 \\& 0< x < 10 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow 1<{{2}^{x}}+x<1034\Rightarrow 1<t<1034$

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t,t\in \left( 1;1034 \right)$

\({f}'(t)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \left( 1;1034 \right)\) hay $f(t)={{t}^{3}}+t$ đồng biến trên $t\in \left( 1;1034 \right)$.

Suy ra (2)$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\frac{{{2}^{x}}+x}{x}=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1$

Xét hàm số $g(x)=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1,t\in \left( 0;10 \right)$

$\Rightarrow {g}'(x)=\frac{x{{.2}^{x}}\ln 2-{{2}^{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{{{2}^{x}}\left( x.\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}$

${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\ln 2}={{\log }_{2}}e$

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow e\ln 2+1<m<104,4$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;……;104 \right\}$

Có tất cả 102 số nguyên m thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho phương trình 2^x=√(m.2^x.cos(πx)-4), với m là tham số. Gọi mO là giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực

Cho phương trình ${{2}^{x}}=\sqrt{m{{.2}^{x}}.\cos (\pi x)-4}$, với m là tham số. Gọi mO là giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ${{m}_{0}}\in \left[ -5;-1 \right)$

B. ${{m}_{0}}<-5$

C. ${{m}_{0}}\in \left[ -1;0 \right)$                              

D. ${{m}_{0}}>0$

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình tương đương ${{4}^{x}}=m{{.2}^{x}}.\cos (\pi x)-4$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}=m.\cos (\pi x)$

Điều kiện cần: nếu xO là một nghiệm của phương trình thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm. Vì phương trình có nghiệm duy nhất nên xO = 1.

Thay vào phương trình ta có: $m=-4$

Điều kiện đủ:

Với $m=-4$, ta có: \({{4}^{x}}+{{4.2}^{x}}.\cos (\pi x)+4=0\)\(\Leftrightarrow {{\left[ {{2}^{x}}+2\cos (\pi x) \right]}^{2}}+4{{\sin }^{2}}(\pi x)=0\)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{2}^{x}}=-2\cos (\pi x) \\& \sin (\pi x)=0 \\\end{align} \right.$ \( \Leftrightarrow \begin{cases} {{2}^{x}}=-2\cos (\pi x) \\\left[\begin{array}{l} \cos (\pi x)=1 \\ \cos (\pi x)=-1 \end{array}\right.\end{cases} \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{2}^{x}}=2 \\& \cos (\pi x)=-1 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=1\)

Vậy $m=-4$ thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Phương trình 4^x+1=2^x.m.cos(πx) có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số m thỏa mãn

Phương trình ${{4}^{x}}+1={{2}^{x}}.m.\cos \left( \pi x \right)$ có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số m thỏa mãn là

A. vô số

B. 1

C. 2                                   

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: ${{4}^{x}}+1={{2}^{x}}.m.\cos \left( \pi x \right)$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=m\cos \left( \pi x \right)$

Ta thấy nếu $x={{x}_{O}}$ là một nghiệm của phương trình thì $x=-{{x}_{O}}$ cũng là nghiệm của phương trình nên để phương trình có nghiệm duy nhất thì xO = 0.

Với xO = 0 là nghiệm của phương trình thì m = 2.

Thử lại: Với m = 2 ta được phương trình: ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=m\cos \left( \pi x \right)$ (*)

$VT\ge 2;VP\le 2$ nên (*)$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{2}^{x}}+{{2}^{-2}}=2 \\ & 2\cos \left( \pi x \right)=2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=0$ thỏa mãn.

Vậy m = 2

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình (m+1).16^x-2(2m-3).4^x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: $(m+1){{.16}^{x}}-2(2m-3){{.4}^{x}}+6m+5=0$ có hai nghiệm trái dấu là

A. 4

B. 8

C. 1                                   

D. 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt $t={{4}^{x}},t>0$, phương trình đã cho trở thành: $(m+1){{t}^{2}}-2(2m-3)t+6m+5=0$

Cách 1:

$\Leftrightarrow m=-\frac{{{t}^{2}}+6t+5}{{{t}^{2}}-4t+6}$ (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn: $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.

Đặt $f(t)=-\frac{{{t}^{2}}+6t+5}{{{t}^{2}}-4t+6}$ $\Rightarrow {f}'(t)=\frac{10{{t}^{2}}-2t-56}{{{\left( {{t}^{2}}-4t+6 \right)}^{2}}}$

${f}'(t)=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{561}}{10}$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$ khi $-4<m<-1$

Cách 2:

Đặt $f(x)=(m+1){{t}^{2}}-2(2m-3)t+6m+5$

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.

Điều đó xảy ra khi: $\left\{ \begin{align}& (m+1)f(1)<0 \\ & (m+1)f(0)>0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& (m+1)(3m+12)<0 \\& (m+1)(6m+5)>0 \\\end{align} \right.$

 \( \Leftrightarrow \begin{cases} -4< m <-1 \\\left[\begin{array}{l} m<-1 \\ m>-\frac{5}{6} \end{array}\right.\end{cases} \)$\Leftrightarrow -4<m<-1$

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán là $m=-3$ và $m=-2$.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Phương trình (1/9)^x-m(1/3)^x+2m+1=0 có nghiệm khi m nhận giá trị

Phương trình \({{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}-m.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+2m+1=0\) có nghiệm khi m nhận giá trị:

A. $m<-\frac{1}{2}$

B. $-\frac{1}{2}<m<4-2\sqrt{5}$

C. $m\ge 4+2\sqrt{5}$        

D. $m<-\frac{1}{2}\vee m\ge 4+2\sqrt{5}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có phương trình \({{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}-m.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}}+2m+1=0\).

Đặt $t={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{x}},t>0$ phương trình trở thành: ${{t}^{2}}-m.t+2m+1=0$.

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow $ phương trình có nghiệm dương.

Do t = 2 không là nghiệm của phươ