Phương trình e^x−e^√2x+1=1−x^2+2√2x+1 có nghiệm trong khoảng nào

Phương trình \( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1} \) có nghiệm trong khoảng nào?

A. \( \left( 2;\frac{5}{2} \right) \).

B.  \( \left( \frac{3}{2};2 \right) \).             

C.  \( \left( 1;\frac{3}{2} \right) \).              

D.  \( \left( \frac{1}{2};1 \right) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện:  \( x\ge -\frac{1}{2} \).

 \( {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=1-{{x}^{2}}+2\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow {{e}^{x}}-{{e}^{\sqrt{2x+1}}}=-{{(x+1)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{e}^{x}}+{{(x+1)}^{2}}={{e}^{\sqrt{2x+1}}}+{{\left( \sqrt{2x+1}+1 \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{e}^{t}}+{{(t+1)}^{2}} \) với  \( t\ge -\frac{1}{2} \).

 \( {f}'(t)={{e}^{t}}+2(t+1)>0 \) với mọi  \( t\ge -\frac{1}{2} \).

Suy ra hàm số đồng biến trên  \( \left[ -\frac{1}{2};+\infty  \right) \).

 \( (*)\Leftrightarrow f(x)=f\left( \sqrt{2x+1} \right)\Leftrightarrow x=\sqrt{2x+1}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 0 \\  & {{x}^{2}}=2x+1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 0 \\  & {{x}^{2}}-2x-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \begin{cases} x\ge 0 \\\left[\begin{array}{l} x=1-\sqrt{2} \\ x=1+\sqrt{2}\end{array}\right.\end{cases} \Leftrightarrow x=1+\sqrt{2}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tích tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình (3^x−3)^2−(4^x−4)=(3^x+4^x−7)^2 bằng

Tích tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình \( {{({{3}^{x}}-3)}^{2}}-({{4}^{x}}-4)={{({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)}^{2}} \) bằng

A. 2.

B. 1.

C. 4.                                  

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Phương trình  \( \Leftrightarrow ({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)({{3}^{x}}-{{4}^{x}}+1)={{({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow ({{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7)({{2.4}^{x}}-8)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{2.4}^{x}}=8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \\  & {{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7=0\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình (1):  \( (1)\Leftrightarrow {{4}^{x}}=4\Leftrightarrow x=1 \).

Xét phương trình (2): Xét hàm số  \( f(x)={{3}^{x}}+{{4}^{x}}-7 \) trên  \( \mathbb{R} \).

Hàm số f(x) liên tục và  \( {f}'(x)={{3}^{x}}.\ln 3+{{4}^{x}}.\ln 4>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \) nên f(x) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Khi đó,  \( (2)\Leftrightarrow f(x)=f(1)\Leftrightarrow x=1 \).

Vậy tích các nghiệm của phương trình bằng 1.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Số nghiệm của phương trình x^2−5x−2=(x^2−8x+3).8^3x−5+(3x−5).8^x^2−8x+3 là

Số nghiệm của phương trình \( {{x}^{2}}-5x-2=({{x}^{2}}-8x+3){{.8}^{3x-5}}+(3x-5){{.8}^{{{x}^{2}}-8x+3}} \) là:

A. 4.

B. 3.

C. 1.                                  

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u={{x}^{2}}-8x+3 \\  & v=3x-5 \\ \end{align} \right. \), phương trình đã cho trở thành:

 \( u+v=u{{.8}^{v}}+v{{.8}^{u}}\Leftrightarrow u(1-{{8}^{v}})=v({{8}^{u}}-1)\,\,\,\,\,\,(*) \)

+Ta thấy  \( u=0\vee v=0 \) thỏa mãn phương trình (*).

+ Với  \( \left\{ \begin{align}  & u\ne 0 \\  & v\ne 0 \\ \end{align} \right. \) ta có  \( (*)\Leftrightarrow \frac{1-{{8}^{v}}}{v}=\frac{{{8}^{u}}-1}{u}\,\,\,\,\,(**) \)

Ta thấy:

– Nếu  \( u>0 \) thì  \( \frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0 \) và nếu  \( u<0 \) thì  \( \frac{{{8}^{u}}-1}{u}>0 \). Do đó  \( VP(**)>0,\,\,\forall u\ne 0 \).

– Nếu  \( v>0 \) thì \(\frac{1-{{8}^{v}}}{v}<0\) và nếu \(v<0\) thì \(\frac{1-{{8}^{v}}}{v}<0\). Do đó \(VT(**)<0,\,\,\forall v\ne 0\).

Từ đó suy ra (**) vô nghiệm.

Như vậy, phương trình đã cho tương đương với:

 \( \left[ \begin{align}  & u=0 \\  & v=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}-8x+3=0 \\  & 3x-5=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4+\sqrt{13} \\  & x=4-\sqrt{13} \\  & x=\frac{5}{3} \\ \end{align} \right. \).

Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho các số thực x, y với x≥0 thỏa mãn e^x+3y+e^xy+1+x(y+1)+1=e^−xy−1+1/e^x+3y−3y. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x+2y+1

Cho các số thực x, y với \( x\ge 0 \) thỏa mãn  \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \). Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( T=x+2y+1 \). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( m\in (2;3) \).

B.  \( m\in (-1;0) \).          

C.  \( m\in (0;1) \).           

D.  \( m\in (1;2) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Từ giả thiết  \( {{e}^{x+3y}}+{{e}^{xy+1}}+x(y+1)+1={{e}^{-xy-1}}+\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}-3y \)

 \( \Leftrightarrow {{e}^{x+3y}}-\frac{1}{{{e}^{x+3y}}}+(x+3y)={{e}^{-xy-1}}-\frac{1}{{{e}^{-xy-1}}}+(-xy-1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{e}^{t}}-\frac{1}{{{e}^{t}}}+t \) với  \( t\in \mathbb{R} \) ta có  \( {f}'(t)={{e}^{t}}+\frac{1}{{{e}^{t}}}+1>0,\,\,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f(t) \) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Phương trình (1) có dạng  \( f(x+3y)=f(-xy-1)\Rightarrow x+3y=-xy-1\Rightarrow y=\frac{-x-1}{x+3}\,\,(x\ge 0) \).

Khi đó  \( T=x+2y+1=x-\frac{2x+2}{x+3}+1\Rightarrow T’=1-\frac{4}{{{(x+3)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+6x+5}{{{(x+3)}^{2}}}>0,\,\,\forall x\ge 0 \).

 \( \Rightarrow {{T}_{\min }}=0-\frac{2.0+2}{0+3}+1=\frac{1}{3}=m \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Số nghiệm của phương trình 3^log7(x+4)=x là

Số nghiệm của phương trình \( {{3}^{{{\log }_{7}}(x+4)}}=x \) là:

A.1.

B. 0.                                  

C. 2.                                  

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Điều kiện của phương trình:  \( x>-4 \).

Với  \( x>0 \) phương trình đã cho tương dương với phương trình  \( {{\log }_{7}}(x+4)={{\log }_{3}}x \).

Đặt  \( {{\log }_{7}}(x+4)={{\log }_{3}}x=t \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & x+4={{7}^{t}} \\  & x={{3}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{7}^{t}}={{3}^{t}}+4\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1=0\,\,\,\,\,(1) \)

Xét hàm số  \( f(t)={{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}-1,\,\,\forall t\in \mathbb{R} \).

Ta có:  \( {f}'(t)={{\left( \frac{3}{7} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{3}{7} \right)+4{{\left( \frac{1}{7} \right)}^{t}}\ln \left( \frac{1}{7} \right)<0,\,\,\forall t\in \mathbb{R} \)

Nên f(t) nghịch biến trên tập  \( \mathbb{R} \).

Mà  \( f(1)=0 \) nên phương trình có nghiệm duy nhất  \( t=1\Leftrightarrow x=3 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Phương trình 2019^sinx=sinx+√2−cos^2x có bao nhiêu nghiệm thực trên [−5π;2019π]

Phương trình \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x} \) có bao nhiêu nghiệm thực trên  \( \left[ -5\pi ;2019\pi  \right] \)?

A. 2025.

B. 2017.

C. 2022.                           

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét  \( {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{2-{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow {{2019}^{\sin x}}=\sin x+\sqrt{1+{{\sin }^{2}}x}\,\,\,\,\,(1) \)

Đặt  \( t=\sin x,\,\,t\in [-1;1] \).

Khi đó (1) trở thành  \( {{2019}^{t}}=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow {{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)=-1\,\,\,\,\,\,\,(2) \).

Xét hàm số:  \( f(t)={{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right),\,\,\forall t\in [-1;1] \)

 \( \Rightarrow {f}'(t)=\frac{{{2019}^{t}}\left( t-\sqrt{1+{{t}^{2}}} \right)\left( \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1 \right)}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}} \).

Cho  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t-\sqrt{1+{{t}^{2}}}=0 \\  & \sqrt{1+{{t}^{2}}}\ln 2019-1=0 \\ \end{align} \right. \) vô nghiệm  \( \Rightarrow {f}'(t)<0,\,\,\forall t\in [-1;1] \).

 \( \Rightarrow (2) \) có nghiệm duy nhất  \( t=0\Rightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Mà  \( x\in [-5\pi ;2019\pi ]\Rightarrow -5\pi \le k\pi \le 2019\pi \Leftrightarrow -5\le k\le 2019\Rightarrow k\in [-5;2019] \).

Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên  \( [-5\pi ;2019\pi ] \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hỏi phương trình 3.2^x+4.3^x+5.4^x=6.5^x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực

Hỏi phương trình \( {{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}} \) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

A. 0.

B. 1.

C. 3.                                  

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:  \( {{3.2}^{x}}+{{4.3}^{x}}+{{5.4}^{x}}={{6.5}^{x}}\Leftrightarrow 3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6=0 \).

Xét hàm số  \( f(x)=3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}-6,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \).

Có  \( {f}'(x)=3{{\left( \frac{2}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{2}{5}+4{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{3}{5}+5{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{x}}\ln \frac{4}{5}<0,\,\,\forall x\in \mathbb{R} \) nên hàm số f(x) nghịch biến trên  \( \mathbb{R} \) suy ra phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm (1).

Mặt khác:  \( f(1).f(2)=\frac{8}{5}.\left( -\frac{22}{25} \right)=-\frac{176}{125}<0 \) nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1;2)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tính số nghiệm của phương trình cotx=2x trong khoảng (11π/12;2019π)

Tính số nghiệm của phương trình \( \cot x={{2}^{x}} \) trong khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right) \).

A. 2019.

B. 2018.

C. 1.                                  

D. 2020.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét phương trình  \( \cot x={{2}^{x}}\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \).

Điều kiện:  \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \).

Xét hàm số  \( f(x)={{2}^{x}}-\cot x,\,\,x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} với k\in \mathbb{Z} \).

 \( \Rightarrow {f}'(x)={{2}^{x}}.\ln 2+1+{{\cot }^{2}}x>0,\,\,\forall x\in \left( \frac{11\pi }{12};2019\pi  \right)\backslash \{k\pi \} \) với  \( k\in \mathbb{Z} \).

Suy ra hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên mỗi khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right);\,\,(\pi ;2\pi );…;(2018\pi ;2019\pi ) \).

+ Trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \) ta có bảng biến thiên:

Ta có:  \( f\left( \frac{11\pi }{12} \right)={{2}^{\frac{11\pi }{12}}}-\cot \left( \frac{11\pi }{12} \right)\approx 11,0925>0 \). Do đó phương trình  \( f(x)=0 \) vô nghiệm trên khoảng  \( \left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right) \).

+ Trên mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) ta có bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy mỗi khoảng  \( \left( k\pi ;(k+1)\pi  \right),\,\,k\in \{1;2;…;2018\} \) phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 1 nghiệm. Mà có 2018 khoảng nên phương trình  \( f(x)=0 \) có đúng 2018 nghiệm.

Vậy phương trình  \( f(x)=0 \) có 2018 nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm số nghiệm của phương trình (|x|−1)2e|x|−1−log2=0

Tìm số nghiệm của phương trình \( {{\left( \left| x \right|-1 \right)}^{2}}{{e}^{\left| x \right|-1}}-\log 2=0 \).

A. 4.

B. 3.                                  

C. 2.                                  

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đặt  \( t=\left| x \right|-1\ge -1 \), với  \( t\ge -1\Rightarrow \left| x \right|=t+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=t+1 \\  & x=-t-1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó phương trình trở thành  \( {{t}^{2}}{{e}^{t}}-\log 2=0\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)

Số nghiệm của phương trình (1) là số điểm chung của đồ thị hàm số  \( y=f(t)={{t}^{2}}{{e}^{t}}-\log 2 \) và đường thẳng  \( y=0 \).

Ta có:  \( {f}'(t)={{e}^{t}}({{t}^{2}}+2t)\Rightarrow {f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\,\,(n) \\  & t=-2\,\,(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Ta có:  \( -\log 2<0<\frac{1}{e}-\log 2 \), dựa vào bảng biến thiên ta được phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  \( {{t}_{1}},{{t}_{2}} \) thỏa mãn  \( -1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}} \) hay phương trình đã cho có 4 nghiệm x phân biệt.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Phương trình x(2^x−1+4)=2^x+1+x^2 có tổng các nghiệm bằng

Phương trình \( x\left( {{2}^{x-1}}+4 \right)={{2}^{x+1}}+{{x}^{2}} \) có tổng các nghiệm bằng

A. 7.

B. 3.                                  

C. 5.                                  

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( x\left( {{2}^{x-1}}+4 \right)={{2}^{x+1}}+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x{{.2}^{x-1}}-{{4.2}^{x-1}}+4x-{{x}^{2}}=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{2}^{x-1}}(x-4)-x(x-4)=0\Leftrightarrow (x-4)({{2}^{x-1}}-x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=4 \\  & {{2}^{x}}=2x\,\,\,\,\,\,(*) \\ \end{align} \right. \).

Giải phương trình (*):

Xét hàm số  \( f(x)={{2}^{x}}-2x có {f}'(x)={{2}^{x}}\ln 2-2;\,\,{f}”(x)={{2}^{x}}{{\ln }^{2}}2>0 \).

Suy ra phương trình  \( {f}'(x)=0 \) có duy nhất một nghiệm, suy ra phương trình  \( f(x)=0 \) có nhiều nhất là hai nghiệm. Mà ta thấy  \( f(1)=f(2)=0 \) nên phương trình (*) có 2 nghiệm  \( x=1;\,\,x=2 \).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 7.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Biết x1,x2 là hai nghiệm của phương trình log7(4×2−4x+1/2x)+4x^2+1=6x và x1+2×2=1/4(a+√b) với a, b là hai số nguyên dương

Biết \( {{x}_{1}},\,{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình  \( {{\log }_{7}}\left( \frac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x \) và  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{1}{4}\left( a+\sqrt{b} \right) \) với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b.

A. \( a+b=13 \).

B.  \( a+b=11 \).              

C.  \( a+b=16 \).              

D.  \( a+b=14 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện:  \( x>0;\,\,x\ne \frac{1}{2} \).

Ta có:  \( {{\log }_{7}}\left( \frac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x\Leftrightarrow {{\log }_{7}}(4{{x}^{2}}-4x+1)+4{{x}^{2}}-4x+1={{\log }_{7}}(2x)+2x \).

Xét  hàm số  \( f(t)={{\log }_{7}}t+t\) có  \( {f}'(t)=\frac{1}{t\ln 7}+1>0,\,\,\forall t>0 \)  nên là hàm số đồng biến trên  \( (0;+\infty ) \).

Do đó, ta có  \( 4{{x}^{2}}-4x+1=2x\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-6x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{4} \).

Khi đó:  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{4}+2.\frac{3+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{4}\left( 9+\sqrt{5} \right)\) hoặc  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}+2.\frac{3-\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{4}\left( 9-\sqrt{5} \right) \) .

Vậy  \( {{x}_{1}}=\frac{3-\sqrt{5}}{4};\,\,{{x}_{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4} \).

Do đó:  \( a=9;\,\,b=5 \) và  \( a+b=9+5=14 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho số thực α sao cho phương trình 2x−2−x=2cos(αx) có đúng 2019 nghiệm thực

Cho số thực \( \alpha  \) sao cho phương trình  \( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}}=2\cos (\alpha x) \) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x) \) là:

A. 2019.
B. 2018.

C. 4037.                           

D. 4038.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x)\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}} \right)}^{2}}=2.2{{\cos }^{2}}\left( \alpha .\frac{x}{2} \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}}=2\cos \left( \alpha .\frac{x}{2} \right)\,\,\,\,\,(1) \\  & {{2}^{\frac{x}{2}}}-{{2}^{-\frac{x}{2}}}=-2\cos \left( \alpha .\frac{x}{2} \right)\,\,\,\,\,(2) \\ \end{align} \right. \).

Ta thấy, nếu phương trình  \( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}}=2\cos (\alpha x) \) có 2019 nghiệm thực thì phương trình (1) cũng có 2019 nghiệm thực.

Nhận xét:

+  \( {{x}_{0}} \) là nghiệm của phương trình (1)  \( \Leftrightarrow {{x}_{0}} \) là nghiệm của phương trình (2).

+  \( {{x}_{0}}=0 \) không là nghiệm của hai phương trình (1), (2).

Do đó, tổng số nghiệm của cả hai phương trình (1), (2) là 4038.

Vậy phương trình  \( {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=4+2\cos (\alpha x) \) có 4038 nghiệm thực.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 15x.5^x=5^x+1+27x+23 bằng

Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \( 15x{{.5}^{x}}={{5}^{x+1}}+27x+23 \) bằng

A. -1.

B. 2.

C. 1.                                  

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( 15x{{.5}^{x}}={{5}^{x+1}}+27x+23\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}(3x-1)=27x+23\,\,\,(1) \)

Dễ thấy  \( x=\frac{1}{3} \) không thỏa mãn phương trình trên nên ta có:

 \( {{5}^{x+1}}(3x-1)=27x+23\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}=\frac{27x+23}{3x-1}\,\,\,(2) \)

Hàm số  \( y=f(x)={{5}^{x+1}}={{5.5}^{x}} \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \).

Hàm số  \( y=g(x)=\frac{27x+23}{3x-1} \), có đạo hàm  \( {g}'(x)=-\frac{96}{{{(3x-1)}^{2}}}<0 \), nên nghịch biến trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \).

Do đó trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \), phương trình (2) có nhiều nhất một nghiệm.

Ta thấy  \( x=-1 \) và  \( x=1 \) là các nghiệm lần lượt thuộc các khoảng  \( \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right) \) và  \( \left( \frac{1}{3};+\infty  \right) \).

Do đó (2) và (1) có hai nghiệm  \( x=-1 \) và  \( x=1 \).

Tổng hai nghiệm này bằng 0.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Phương trình 3^x^2.4^x+1−13x=0 có hai nghiệm x1,x2. Tính T=x1.x2+x1+x2

Phương trình \( {{3}^{{{x}^{2}}}}{{.4}^{x+1}}-\frac{1}{{{3}^{x}}}=0 \) có hai nghiệm  \( {{x}_{1}},\,{{x}_{2}} \). Tính  \( T={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}} \).

A. \( T=-{{\log }_{3}}4 \).

B.  \( T={{\log }_{3}}4 \).   

C.  \( T=-1 \).

D.  \( T=1 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: \( {{3}^{{{x}^{2}}}}{{.4}^{x+1}}-\frac{1}{{{3}^{x}}}=0\Leftrightarrow {{3}^{x(x+1)}}{{.4}^{x+1}}=1\Leftrightarrow \log \left( {{3}^{x(x+1)}}{{.4}^{x+1}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \log {{3}^{x(x+1)}}+\log {{4}^{x+1}}=0\Leftrightarrow x(x+1)\log 3+(x+1)\log 4=0 \)

 \( \Leftrightarrow (x+1)\left( x\log 3+\log 4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=-{{\log }_{3}}4 \\ \end{align} \right. \).

Do đó,  \( T={{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{\log }_{3}}4-(1+{{\log }_{3}}4)=-1 \).

 

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log4a=log6b=log9(4a−5b)−1. Đặt T=b/a

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \( {{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}\left( 4a-5b \right)-1 \). Đặt  \( T=\frac{b}{a} \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \( 1<T<2 \)

B.  \( \frac{1}{2}<T<\frac{2}{3} \)                          

C.  \( -2<T<0 \)

D.  \( 0<T<\frac{1}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Giả sử: \({{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}(4a-5b)-1=t\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a={{4}^{t}} \\  & b={{6}^{t}} \\  & 4a-5b={{9}^{t+1}} \\ \end{align} \right.\)

Khi đó:  \( {{4.4}^{t}}-{{5.6}^{t}}={{9.9}^{t}}\Leftrightarrow 4{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{t}}-5{{\left( \frac{6}{9} \right)}^{t}}=9 \)

 \( \Leftrightarrow 4{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2t}}-5{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}=\frac{9}{4}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-2}} \\  & {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{t}}=-1\text{(lo }\!\!{}^\text{1}\!\!\text{ i)} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow t=-2\Rightarrow T=\frac{b}{a}={{\left( \frac{6}{4} \right)}^{t}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2}}=\frac{4}{9}\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Gọi x, y các số thực dương thỏa mãn điều kiện log9x=log6y=log4(x+y) và xy=−a+√b/2, với a, b là hai số nguyên dương. Tính T=a2+b2

Gọi x, y các số thực dương thỏa mãn điều kiện \( {{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}(x+y) \) và  \( \frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2} \), với a, b là hai số nguyên dương. Tính  \( T={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \).

A. T = 26

T = 29

C. T = 20                         

D. T = 25

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( t={{\log }_{9}}x={{\log }_{6}}y={{\log }_{4}}(x+y) \), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & x={{9}^{t}} \\  & y={{6}^{t}} \\  & x+y={{4}^{t}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{9}^{t}}+{{6}^{t}}={{4}^{t}} \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2t}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}-1=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{(lo }\!\!{}^\text{1}\!\!\text{ i)} \\  & {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \)

Suy ra:  \( \frac{x}{y}={{\left( \frac{9}{6} \right)}^{t}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2} \)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & b=5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{1}^{2}}+{{5}^{2}}=26 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2^x=3^y=6^−z. Giá trị của biểu thức M=xy+yz+xz là

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \( {{2}^{x}}={{3}^{y}}={{6}^{-z}} \). Giá trị của biểu thức  \( M=xy+yz+xz \) là

A. 0.

B. 6.                                  

C. 3.                                  

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( {{2}^{x}}={{3}^{y}}={{6}^{-z}}=t \) với  \( t>0 \).

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{2}^{x}}=t \\  & {{3}^{y}}=t \\  & {{6}^{-z}}=t \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x={{\log }_{2}}t \\  & y={{\log }_{3}}t \\  & z=-{{\log }_{6}}t \\ \end{align} \right. \).

Mặt khác:  \( {{\log }_{6}}t=\frac{1}{{{\log }_{t}}6}=\frac{1}{{{\log }_{t}}3+{{\log }_{t}}2}=\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{3}}t}+\frac{1}{{{\log }_{2}}t}}=\frac{{{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t}{{{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t} \).

 \( M=xy+yz+xz={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-{{\log }_{3}}t.{{\log }_{6}}t-{{\log }_{6}}t.{{\log }_{2}}t \)

 \( ={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-({{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t).{{\log }_{6}}t={{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t-({{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t).\frac{{{\log }_{3}}t.{{\log }_{2}}t}{{{\log }_{3}}t+{{\log }_{2}}t}=0 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hai số thực a>1,b>1. Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình a^x.b^x^2−1=1. Trong trường hợp biểu thức S=(x1.x2/x1+x2)2−4×1−4×2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng

Cho hai số thực \( a>1,\,\,b>1 \). Gọi  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \) là hai nghiệm của phương trình  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1 \). Trong trường hợp biểu thức  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}} \) đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \( a\ge b \).

B.  \( a.b=4 \).                  

C.  \( a.b=2 \). 

D.  \( a<b \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{a}^{x}}.{{b}^{{{x}^{2}}-1}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x{{\log }_{a}}b-1=0 \). Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Theo định lí Viet, ta có:  \( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-{{\log }_{b}}a;\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \).

Khi đó:  \( S={{\left( \frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=\log _{a}^{2}b+\frac{4}{{{\log }_{a}}b} \).

Đặt  \( {{\log }_{a}}b=t,\,\,t>0 \) (Vì  \( a>1,\,\,b>1 \)), khi đó:

 \( S={{t}^{2}}+\frac{4}{t};\,\,{S}’=2t-\frac{4}{{{t}^{2}}}=\frac{2{{t}^{3}}-4}{{{t}^{2}}};\,\,{S}’=0\Leftrightarrow t=\sqrt[3]{2} \).

Suy ra biểu thức S đạt giá trị nhỏ nhất tại \( t=\sqrt[3]{2} \) hay \( {{\log }_{a}}b=\sqrt[3]{2}>1\Rightarrow a<b \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tính tích các nghiệm thực của phương trình 2^x^2−1=3^2x+3

Tính tích các nghiệm thực của phương trình \( {{2}^{{{x}^{2}}-1}}={{3}^{2x+3}} \).

A. \( -3{{\log }_{2}}3 \).

B.  \( -{{\log }_{2}}54 \). 

C. – 1.                               

D.  \( 1-{{\log }_{2}}3 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Phương trình tương đương:  \( {{\log }_{2}}{{2}^{{{x}^{2}}-1}}={{\log }_{2}}{{3}^{2x+3}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=(2x+3){{\log }_{2}}3 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x.{{\log }_{2}}3-1-3{{\log }_{2}}3=0 \).

Do  \( a.c=1.(-1-3{{\log }_{2}}3)<0 \) nên phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt  \( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \).

Theo định lí Viet ta có:  \( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1-3{{\log }_{2}}3=-{{\log }_{2}}2-{{\log }_{2}}27=-{{\log }_{2}}54 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình x.2^x=x(x-m+1)+m(2^x-1) có hai phần tử

Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình \(x{{.2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\) có hai phần tử. Số phần tử của A bằng

A. 2

B. 3                                   

C. 1                                   

D. Vô số

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình: \(x{{.2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\) (1)

$\Leftrightarrow {{2}^{x}}.\left( x-m \right)=\left( x-m \right)\left( x-1 \right)$

$\Leftrightarrow \left( x-m \right)\left( {{2}^{x}}-x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=m \\& {{2}^{x}}-x-1=0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(2) \\\end{align} \right.$

Đặt $f(x)={{2}^{x}}-x-1\Rightarrow {f}'(x)={{2}^{x}}\ln 2-1$

$\Rightarrow {f}'(x)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\left( \frac{1}{\ln 2} \right)$

Bảng biến thiên của hàm số f(x):

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f(x) = 0 (2) có nhiều nhất 2 nghiệm

Mà f(0) = f(1) = 0.

$\Rightarrow $ phương trình (2) có đúng 2 nghiệm x = 0; x = 1.

$\Rightarrow $  phương trình (1) có các nghiệm là x = 0; x = 1; x = m.

Để tập nghiệm của phương trình (1) có hai phần tử $\Rightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=1 \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow $ Số phần tử của A bằng 2.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình e^3m+e^m=2(x+√(1-x^2))(1+x√(1-x^2)) có nghiệm

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)\left( 1+x\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)$ có nghiệm.

A. $\left( 0;\frac{1}{2}\ln 2 \right)$

B. $\left( -\infty ;\frac{1}{2}\ln 2 \right]$

C. $\left( 0;\frac{1}{e} \right)$                   

D. $\left[ \frac{1}{2}\ln 2;+\infty  \right)$

Hướng dẫn giải:

Đặt $t=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}=1+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ \( \Rightarrow x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \)

Ta có: ${t}’=\frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}};{t}’=0\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $t\in \left[ -1;\sqrt{2} \right]$.

Phương trình trở thành ${{e}^{3m}}+{{e}^{m}}=2t\left( 1+\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)$

$\Leftrightarrow {{e}^{3m}}+{{e}^{m}}={{t}^{3}}+t\Leftrightarrow {{e}^{m}}=t$ (Sử dụng hàm đặc trưng)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le {{e}^{m}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow m\le \ln \sqrt{2}\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\frac{1}{2}\ln 2 \right]\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 8^x+3x.4^x+(3x^2+1).2^x=(m^3-1)x^3+(m-1)x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc (0;10)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc $\left( 0;10 \right)$.

A. 101

B. 100                              

C. 102                              

D. 103

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

${{8}^{x}}+3x{{.4}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.2}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x$ (1)

$\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{x}}+x \right)}^{3}}+\left( {{2}^{x}}+x \right)={{\left( mx \right)}^{3}}+mx$ (2)

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t$

Ta có: $t={{2}^{x}}+x$ mà $0< x <10\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 1<{{2}^{x}}<1024 \\& 0< x < 10 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow 1<{{2}^{x}}+x<1034\Rightarrow 1<t<1034$

Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+t,t\in \left( 1;1034 \right)$

\({f}'(t)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \left( 1;1034 \right)\) hay $f(t)={{t}^{3}}+t$ đồng biến trên $t\in \left( 1;1034 \right)$.

Suy ra (2)$\Leftrightarrow {{2}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\frac{{{2}^{x}}+x}{x}=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1$

Xét hàm số $g(x)=\frac{{{2}^{x}}}{x}+1,t\in \left( 0;10 \right)$

$\Rightarrow {g}'(x)=\frac{x{{.2}^{x}}\ln 2-{{2}^{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{{{2}^{x}}\left( x.\ln 2-1 \right)}{{{x}^{2}}}$

${g}'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{\ln 2}={{\log }_{2}}e$

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow e\ln 2+1<m<104,4$

Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 3;4;……;104 \right\}$

Có tất cả 102 số nguyên m thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình 2^x=√(m.2^x.cos(πx)-4), với m là tham số. Gọi mO là giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực

Cho phương trình ${{2}^{x}}=\sqrt{m{{.2}^{x}}.\cos (\pi x)-4}$, với m là tham số. Gọi mO là giá trị của m sao cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ${{m}_{0}}\in \left[ -5;-1 \right)$

B. ${{m}_{0}}<-5$

C. ${{m}_{0}}\in \left[ -1;0 \right)$                              

D. ${{m}_{0}}>0$

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình tương đương ${{4}^{x}}=m{{.2}^{x}}.\cos (\pi x)-4$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{2-x}}=m.\cos (\pi x)$

Điều kiện cần: nếu xO là một nghiệm của phương trình thì $2-{{x}_{0}}$ cũng là nghiệm. Vì phương trình có nghiệm duy nhất nên xO = 1.

Thay vào phương trình ta có: $m=-4$

Điều kiện đủ:

Với $m=-4$, ta có: \({{4}^{x}}+{{4.2}^{x}}.\cos (\pi x)+4=0\)\(\Leftrightarrow {{\left[ {{2}^{x}}+2\cos (\pi x) \right]}^{2}}+4{{\sin }^{2}}(\pi x)=0\)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{2}^{x}}=-2\cos (\pi x) \\& \sin (\pi x)=0 \\\end{align} \right.$ \( \Leftrightarrow \begin{cases} {{2}^{x}}=-2\cos (\pi x) \\\left[\begin{array}{l} \cos (\pi x)=1 \\ \cos (\pi x)=-1 \end{array}\right.\end{cases} \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{2}^{x}}=2 \\& \cos (\pi x)=-1 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=1\)

Vậy $m=-4$ thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Phương trình 4^x+1=2^x.m.cos(πx) có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số m thỏa mãn

Phương trình ${{4}^{x}}+1={{2}^{x}}.m.\cos \left( \pi x \right)$ có nghiệm duy nhất. Số giá trị của tham số m thỏa mãn là

A. vô số

B. 1

C. 2                                   

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: ${{4}^{x}}+1={{2}^{x}}.m.\cos \left( \pi x \right)$ $\Leftrightarrow {{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=m\cos \left( \pi x \right)$

Ta thấy nếu $x={{x}_{O}}$ là một nghiệm của phương trình thì $x=-{{x}_{O}}$ cũng là nghiệm của phương trình nên để phương trình có nghiệm duy nhất thì xO = 0.

Với xO = 0 là nghiệm của phương trình thì m = 2.

Thử lại: Với m = 2 ta được phương trình: ${{2}^{x}}+{{2}^{-x}}=m\cos \left( \pi x \right)$ (*)

$VT\ge 2;VP\le 2$ nên (*)$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{2}^{x}}+{{2}^{-2}}=2 \\ & 2\cos \left( \pi x \right)=2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=0$ thỏa mãn.

Vậy m = 2

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình (m+1).16^x-2(2m-3).4^x+6m+5=0 có hai nghiệm trái dấu

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình: $(m+1){{.16}^{x}}-2(2m-3){{.4}^{x}}+6m+5=0$ có hai nghiệm trái dấu là

A. 4

B. 8

C. 1                                   

D. 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đặt $t={{4}^{x}},t>0$, phương trình đã cho trở thành: $(m+1){{t}^{2}}-2(2m-3)t+6m+5=0$

Cách 1:

$\Leftrightarrow m=-\frac{{{t}^{2}}+6t+5}{{{t}^{2}}-4t+6}$ (*)

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn: $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.

Đặt $f(t)=-\frac{{{t}^{2}}+6t+5}{{{t}^{2}}-4t+6}$ $\Rightarrow {f}'(t)=\frac{10{{t}^{2}}-2t-56}{{{\left( {{t}^{2}}-4t+6 \right)}^{2}}}$

${f}'(t)=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{561}}{10}$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$ khi $-4<m<-1$

Cách 2:

Đặt $f(x)=(m+1){{t}^{2}}-2(2m-3)t+6m+5$

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 trái dấu khi phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn $0<{{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$.

Điều đó xảy ra khi: $\left\{ \begin{align}& (m+1)f(1)<0 \\ & (m+1)f(0)>0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& (m+1)(3m+12)<0 \\& (m+1)(6m+5)>0 \\\end{align} \right.$

 \( \Leftrightarrow \begin{cases} -4< m <-1 \\\left[\begin{array}{l} m<-1 \\ m>-\frac{5}{6} \end{array}\right.\end{cases} \)$\Leftrightarrow -4<m<-1$

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán là $m=-3$ và $m=-2$.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...