Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log3(3^x+2m)=log5(3^x−m^2) có nghiệm?

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right) \) có nghiệm?

A. 3

B. 4

C. 2                                   

D. 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( {{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+2m \right)={{\log }_{5}}\left( {{3}^{x}}-{{m}^{2}} \right)=t  \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{3}^{x}}+2m={{3}^{t}} \\ & {{3}^{x}}-{{m}^{2}}={{5}^{t}} \\ \end{align} \right. \)

\( \Rightarrow 2m+{{m}^{2}}={{3}^{t}}-{{5}^{t}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m+1={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1 \) (*)

Xét hàm số  \( f(t)={{3}^{t}}-{{5}^{t}}+1,\forall t\in \mathbb{R} \).

Ta có: \({f}'(t)={{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5\)

Khi đó:  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 3-{{5}^{t}}.\ln 5=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{t}}=\frac{\ln 5}{\ln 3}\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{5}}}\left( {{\log }_{3}}5 \right)={{t}_{0}} \)

Bảng biến thiên:

Phương trình (*) có nghiệm  \( \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}\le f({{t}_{0}})\Leftrightarrow -\sqrt{f({{t}_{0}})}-1\le m\le \sqrt{f({{t}_{0}})}-1 \)

 \( \Rightarrow 2,068\le m\le 0,068 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\} \)

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm m để phương trình log2^2x−log2x^2+3=m có nghiệm x∈[1;8]

Tìm m để phương trình \( \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}{{x}^{2}}+3=m  \) có nghiệm  \( x\in \left[ 1;8 \right] \) .

A. \( 6\le m\le 9 \)

B.  \( 2\le m\le 3 \)            

C.  \( 2\le m\le 6 \)            

D.  \( 3\le m\le 6 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( \log _{2}^{2}x-{{\log }_{2}}{{x}^{2}}+3=m  \) (1)

Điều kiện: x > 0 (*)

Phương trình (1)  \( \Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}-2{{\log }_{2}}x+3=m  \)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), với  \( x\in \left[ 1;8 \right] thì t\in \left[ 0;3 \right] \).

Phương trình trở thành:  \( {{t}^{2}}-2t+3=m  \) (2)

Để phương trình (1) có nghiệm  \( x\in \left[ 1;8 \right] \)

 \( \Leftrightarrow  \)phương trình (2) có nghiệm  \( t\in \left[ 0;3 \right] \)

 \( \Leftrightarrow \underset{[0;3]}{\mathop \min f(t)}\,\le m\le \underset{[0;3]}{\mathop \max f(t)}\, \), trong đó  \( f(t)={{t}^{2}}-2t+3 \)

 \( \Leftrightarrow 2\le m\le 6 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm m để phương trình: (m−1)log21/2(x−2)^2+4(m−5)log1/21/(x−2)+4m−4=0 có nghiệm trên [5/2;4]

Tìm m để phương trình: \( \left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0 \) có nghiệm trên  \( \left[ \frac{5}{2};4 \right] \).

A. \( m\in \mathbb{R} \)

B.  \( -3\le m\le \frac{7}{3} \)             

C.  \( m\in \emptyset  \)                             

D.  \( -3<m\le \frac{7}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Điều kiện: x > 2.

Phương trình đã cho

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ {{\log }_{\frac{1}{2}}}{{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right){{\left[ -2{{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \right]}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4\left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+4m-4=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+m-1=0 \)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right) \). Vì  \( x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right] \).

Phương trình (1) trở thành  \( \left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0 \),  \( t\in \left[ -1;1 \right] \) (2)

\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=f(t),t\in \left[ -1;1 \right]\)

Ta có: \({f}'(t)=\frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2 \\ & t=-2 \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

Phương trình đã cho có nghiệm \(x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\) khi phương trình (2) có nghiệm \(t\in \left[ -1;1 \right]\).

Từ bảng biến thiên suy ra \(-3\le m\le \frac{7}{3}\).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình 4(log2√x)^2−log1/2x+m=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0;1)

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \( 4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0 \) có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  \( \left( 0;1 \right) \).

A. \( 0<m<\frac{1}{4} \)

B. \( 0\le m<\frac{1}{4} \)                                        

C.  \( m\le \frac{1}{4} \)            

D.  \( -\frac{1}{4}<m<0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( 4{{\left( {{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}x+m=0 \) \( \Leftrightarrow {{\left( 2{{\log }_{2}}\sqrt{x} \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x+m=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( {{\log }_{2}}x \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}x=-m  \) (1)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x  \), với  \( t\in \left( -\infty ;0 \right) \).

 \( (1)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t=-m  \).

Xét  \( f(t)={{t}^{2}}+t  \)

 \( {f}'(t)=2t+1 \)

 \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2} \)

Bảng biến thiên của f(t).

Dựa vào bảng biến thiên:  \( -\frac{1}{4}<-m<0\Leftrightarrow 0<m<\frac{1}{4} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình log2+5√(2x^2−x−4m^2+2m)+log5√−2√x^2+mx−2m^2=0

Cho phương trình \({{\log }_{2+\sqrt{5}}}\left( 2{{x}^{2}}-x-4{{m}^{2}}+2m \right)+{{\log }_{\sqrt{\sqrt{5}-2}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3\)?

A. 1

B. 0

C. 3                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

 \( {{\log }_{2+\sqrt{5}}}\left( 2{{x}^{2}}-x-4{{m}^{2}}+2m \right)+{{\log }_{\sqrt{5}-2}}\left( {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt{5}+2}}\left( 2{{x}^{2}}-x-4{{m}^{2}}+2m \right)-{{\log }_{\sqrt{5}+2}}\left( {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+2mx-2{{m}^{2}}>0 \\  & 2{{x}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}}={{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+2mx-2{{m}^{2}}>0 \\ & {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2m-2{{m}^{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)\( \Leftrightarrow \begin{cases} {{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}>0 \\\left[\begin{array}{l} {{x}_{1}}=2m \\ {{x}_{2}}=1-m \end{array}\right.\end{cases} \)

Phương trình đã cho có hai nghiệm x1, xthỏa  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{(2m)}^{2}}+m(2m)-2{{m}^{2}}>0 \\ & {{\left( 1-m \right)}^{2}}+m\left( 1-m \right)-2{{m}^{2}}>0 \\ & {{\left( 2m \right)}^{2}}+{{\left( 1-m \right)}^{2}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 4{{m}^{2}}>0 \\ & 2{{m}^{2}}+m-1>0 \\ & 5{{m}^{2}}-2m-2=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& m\ne 0 \\ & -1 < m <\frac{1}{2} \\ & m=\frac{1-\sqrt{11}}{5}\vee m=\frac{1+\sqrt{11}}{5} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=\frac{1-\sqrt{11}}{5} \)

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình logmx−5(x^2−6x+12)=log√mx−5√x+2 , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m∈Z

Cho phương trình \({{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) , gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số  \( m\in \mathbb{Z} \) để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.

A. 2

B. 0                                   

C. 3                                   

D. 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align}& x+2 > 0 \\ & 0 < mx-5\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x >-2 \\ & 5 < mx \ne 6 \\ \end{align} \right. \)

Với điều kiện trên, phương trình  \( {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) (*)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{mx-5}}\left( x+2 \right) \)

\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+12=x+2\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=5 \\ \end{align} \right. \)

Với x = 2 là nghiệm phương trình (*) khi  \( 5<2m\ne 6\Leftrightarrow \frac{5}{2}<m\ne 3 \) vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& m\ge 4 \\ & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).

Với x = 5 là nghiệm phương trình (*) khi  \( 5<5m\ne 6\Leftrightarrow 1<m\ne \frac{6}{5} \) vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\ge 2 \\  & m\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).

+ Phương trình:  \( {{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2} \) có nghiệm duy nhất khi m = 2 hoặc m = 3.

Thử lại 

 \( m=2 \):  \( {{\log }_{2x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{2x-5}}}\sqrt{x+2} \)\(\Leftrightarrow {{\log }_{2x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{2x-5}}\left( x+2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\ & x+2>0 \\ & 0<2x-5\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5 \) \( m=3: {{\log }_{3x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{3x-5}}}\sqrt{x+2} \) \(\Leftrightarrow {{\log }_{3x-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{3x-5}}\left( x+2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-6x+12=x+2 \\ & x+2>0 \\  & 0<3x-5\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5 \)

Vậy có hai giá trị  \( m\in \mathbb{Z} \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình log9x2−4log3(4x−1)=−log3m (m là tham số thực)

(THPTQG – 2019 – 104) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-4{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 5

B. 3                                   

C. Vô số                            

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Điều kiện:  \( x>\frac{1}{4} \).

Phương trình đã cho  \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-4{{\log }_{3}}\left( 4x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}={{\log }_{3}}\frac{1}{m} \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{x}{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}={{\log }_{3}}\frac{1}{m}\Leftrightarrow m=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x}=f(x) \)

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{4}}}{x} \) có  \( {f}'(x)=\frac{{{\left( 4x-1 \right)}^{3}}\left( 12x+1 \right)}{{{x}^{2}}}>0,\forall x>\frac{1}{4} \).

Bảng biến thiên của f(x):

Do đó phương trình có nghiệm khi m > 0.

Vậy có vô số giá trị nguyên của m.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình log9x2−log3(3x−1)=−log3m (m là tham số thực)

(THPTQG – 2019 – 101) Cho phương trình \({{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 2

B. 4

C. 3                                   

D. Vô số

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}& x>\frac{1}{3} \\ & m>0 \\ \end{align} \right. \)

Phương trình đã cho tương đương:  \( {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 3x-1 \right)={{\log }_{3}}\frac{1}{m}\Leftrightarrow \frac{x}{3x-1}=\frac{1}{m} \)

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{x}{3x-1} \)  \( với x>\frac{1}{3} \)

Có  \( {f}'(x)=-\frac{1}{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}<0,\forall x>\frac{1}{3} \)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi  \( \frac{1}{m}>\frac{1}{3}\Leftrightarrow 0<m<3 \)

Do  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình log9x2−log3(5x−1)=−log3m (m là tham số thực)

(THPTQG – 2019 – 103) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 4

B. 6                                   

C. Vô số                            

D. 5

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align} & x>\frac{1}{5} \\  & m>0 \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình:  \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (1)

 (1 \( )\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}\left( 5x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \)   \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{5x-1}{x}={{\log }_{3}}m\Leftrightarrow \frac{5x-1}{x}=m  \)

Cách 1:

 \( \Leftrightarrow m=5-\frac{1}{x} \) (2)

Xét  \( f(x)=5-\frac{1}{x} \) trên khoảng  \( \left( \frac{1}{5};+\infty  \right) \).

Có  \( {f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \frac{1}{5};+\infty  \right) \)

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x):

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ phương trình (2) có nghiệm  \( x>\frac{1}{5} \).

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi  \( 0<m<5 \).

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( m>0 \) nên  \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \).

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Cách 2:

 \( \Leftrightarrow \left( 5-m \right)x=1 \) (2)

Với m = 5, phương trình (2) thành 0.x = 1 (vô nghiệm)

Với  \( m\ne 5 \), (2) \( \Leftrightarrow x=\frac{1}{5-m} \)

Xét  \( x>\frac{1}{5}\Leftrightarrow ~\frac{1}{5-m}>\frac{1}{5} \) \( \Leftrightarrow \frac{m}{5(5-m)}>0\Leftrightarrow 0<m<5 \)

Mà  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\} \)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình log9x2−log3(6x−1)=−log3m (m là tham số thực)

(THPTQG – 2019 – 102) Cho phương trình \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 7

B. 6

C. 5                                   

D. Vô số

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Xét phương trình  \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m  \)

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align}& x>\frac{1}{6} \\ & m>0 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó:  \( {{\log }_{9}}{{x}^{2}}-{{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right)=-{{\log }_{3}}m \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}m={{\log }_{3}}\left( 6x-1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow mx=6x-1\Leftrightarrow x\left( 6-m \right)=1 \) (1)

+ Với m = 6, phương trình (1) trở thành 0 = 1 (vô lý)

+ Với  \( m\ne 6 \), phương trình (1) có nghiệm  \( x=\frac{1}{6-m} \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{6-m}>\frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{1}{6-m}-\frac{1}{6}>0\) \( \Leftrightarrow \frac{m}{6-m}>0\Leftrightarrow 0<m<6  \)

Do đó: \(0<m<6\) mà \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m với m < 64 để phương trình log15(x+m)+log5(2−x)=0 có nghiệm

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m với m < 64 để phương trình \( {{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+m \right)+{{\log }_{5}}\left( 2-x \right)=0 \) có nghiệm. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 2018

B. 2016

C. 2015                            

D. 2013

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:

 \( {{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+m \right)+{{\log }_{5}}\left( 2-x \right)=0 \) \( \Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+m \right)={{\log }_{5}}\left( 2-x \right) \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x<2 \\ & x=\frac{2-m}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \frac{2-m}{2}<2\Leftrightarrow m>-2 \)

Kết hợp với m < 64.

Khi đó  \( -2<m<64 \)

Vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1;0;1;…;63 \right\} \) có 65 giá trị.

Vậy tổng S các giá trị của m để phương trình có nghiệm là:  \( S=\frac{\left( -1+63 \right).65}{2}=2015 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình 3log27[2×2−(m+3)x+1−m]+log13(x2−x+1−3m)=0. Số các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho

Cho phương trình \( 3{{\log }_{27}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)=0 \). Số các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn  \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<15 \) là:

A. 14

B. 11

C. 12                                

D. 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 Ta có:  \( 3{{\log }_{27}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]+{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m \right]={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+1-3m \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-x+1-3m>0 \\ & 2{{x}^{2}}-(m+3)x+1-m={{x}^{2}}-x+1-3m \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-x+1-3m>0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(*) \\ & {{x}^{2}}-(m+2)x+2m=0\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ \end{align} \right.  \) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} {{x}^{2}}-x+1-3m>0 \\ \left [ \begin{matrix}x=m \\ x=2 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right. \)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \( (*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{m}^{2}}-m+1-3m>0 \\ & {{2}^{2}}-1+1-3m>0 \\ & m\ne 2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-4m+1>0 \\ & 4-3m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<2-\sqrt{3} \).

Theo giả thiết:  \( \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<15\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}<225 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-221<0\Leftrightarrow -13<m<17 \)

Do đó:  \( -13<m<2-\sqrt{3} \)

Vậy số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 13.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho phương trình log22(2x)−(m+2)log2x+m−2=0 (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình

(Đề minh họa – 2020 – Lần 1) Cho phương trình \(\log _{2}^{2}(2x)-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\) (m là tham số thực). Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) là

A. \(\left( 1;2 \right)\)

B. \(\left[ 1;2 \right]\)

C. \(\left[ 1;2 \right)\)      

D. \(\left[ 2;+\infty  \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

\(\log _{2}^{2}(2x)-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\)\(\Leftrightarrow {{\left[ 1+{{\log }_{2}}x \right]}^{2}}-(m+2){{\log }_{2}}x+m-2=0\) (*)

Đặt  \( t={{\log }_{2}}x=g(x)\Rightarrow 0\le t\le 1  \) và mỗi giá trị của x sẽ cho một giá trị của t

(*) trở thành  \( {{\left( 1+t \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)t+m-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1-mt-2t+m-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=m(t-1)\Leftrightarrow (t-1)(t+1-m)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=m-1\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(1) \\ & t=1\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(2) \\ \end{align} \right. \)

Với t = 1 thì phương trình có một nghiệm x = 2.

Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có một nghiệm  \( t\ne 1 \)

 \( \Leftrightarrow 0\le m-1<1\Leftrightarrow 1\le m<2 \)

Vậy  \( m\in \left[ 1;2 \right) \) để thỏa yêu cầu bài toán.

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.