Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn)

A. \(\frac{3}{5}\)                                           

B. \(\frac{3}{4}\)                  

C. \(\frac{1}{3}\)             

D. \(\frac{4}{5}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi thể tích khối chóp S.ABCD là V, khi đó thể tích khối chóp S.ABC và S.ACD là  \( {{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V  \).

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SC}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.1=\frac{1}{4} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.MNC}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{8}V \)

 \( \frac{{{V}_{S.MCD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SC}{SC}.\frac{SD}{SD}=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.MCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{4}V \)

Từ đó, suy ra:  \( {{V}_{S.MNCD}}={{V}_{S.MNC}}+{{V}_{S.MCD}}=\frac{1}{8}V+\frac{1}{4}V=\frac{3}{8}V  \)

 \( \Rightarrow {{V}_{MNABCD}}=V-\frac{3}{8}V=\frac{5}{8}V  \)

Vậy  \( \frac{{{V}_{S.MNCD}}}{{{V}_{MNABCD}}}=\frac{\frac{3}{8}V}{\frac{5}{8}V}=\frac{3}{5} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh SC, SD sao cho SMSC=12,SNND=2, biết G là trọng tâm tam giác SAB. Tỉ số thể tích VG.MND/VS.ABCD=m/n, m, n là các số nguyên dương

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh SC, SD sao cho \( \frac{SM}{SC}=\frac{1}{2},\frac{SN}{ND}=2 \), biết G là trọng tâm tam giác SAB. Tỉ số thể tích \( \frac{{{\text{V}}_{\text{G}\text{.}MND}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{m}{n} \), m, n là các số nguyên dương. Giá trị của m + n bằng

A. 17

B. 19

C. 21                                

D. 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( {{S}_{\Delta DMN}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta SMD}}=\frac{1}{6}{{S}_{\Delta SCD}} \)

Gọi E là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow {{d}_{\left( G,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( E,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( A,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( A,(SCD) \right)}}\)

 \( \Rightarrow {{V}_{G.MND}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta DMN}}.{{d}_{\left( G,(DMN) \right)}} \) \( =\frac{1}{3}.\frac{1}{6}{{S}_{\Delta SCD}}.\frac{2}{3}d\left( A,(SCD) \right)=\frac{1}{9}{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{18}{{V}_{S.ABCD}} \)

 \( \Rightarrow \frac{VG.MND}{VS.ABCD}=\frac{1}{18}\Rightarrow m+n=19 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7/13 lần phần còn lại

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \( \frac{7}{13} \) lần phần còn lại. Tính tỉ số  \( k=\frac{IA}{IS} \)?

A. \( \frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( \frac{3}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Mặt phẳng (MNI) cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1.

Đặt  \( {{V}_{S.ABCD}}=V  \).

Ta có:  \( {{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta BMN}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}} \)  \( \Rightarrow \frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

 \( \frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{IA}{SA}=\frac{k}{k+1} \)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{I.APM}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}.\frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}V\)

Do MN // AC  \( \Rightarrow  \)IK // AC  \( \Rightarrow  \) IK // (ABCD)  \( \Rightarrow  \) d(I,(ABCD)) = d(K,(ABCD)).

Mà \({{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta NCQ}}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}={{V}_{K.NCQ}}=\frac{k}{8(k+1)}V\)

Kẻ IH // SD ( \( H\in SD  \)) như hình 2.

Ta có:

 \( \frac{IH}{SD}=\frac{AH}{AD}=\frac{AI}{AS}=\frac{k}{k+1} \)

 \( \frac{IH}{ED}=\frac{PH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{AH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{2AH}{3AD} \) \( =\frac{1}{3}+\frac{2k}{3(k+1)}=\frac{3k+1}{3(k+1)} \)

 \( \Rightarrow \frac{ED}{SD}=\frac{IH}{SD}:\frac{ID}{ED}=\frac{3k}{3k+1} \) \( \Rightarrow \frac{{{d}_{\left( E,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{ED}{SD}=\frac{3k}{3k+1} \)

 \( \frac{{{S}_{\Delta PQD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{9}{8}\Rightarrow \frac{{{V}_{E.PQD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{27k}{24k+8} \) \( \Rightarrow {{V}_{E.PQD}}=\frac{27k}{24k+8}V \)

 \( {{V}_{EIKAMNCD}}=\frac{13}{20}V\Leftrightarrow {{V}_{E.PDC}}-{{V}_{I.APM}}-{{V}_{K.NQC}}=\frac{13}{20}V  \)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{8(3k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V=\frac{13}{20}V\)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{2(3k+1)}-\frac{k}{k+1}=\frac{13}{5}\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt SM/SA=x. Giá trị x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt \( \frac{SM}{SA}=x  \). Giá trị x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là:

A. \( x=\frac{1}{2} \)

B.  \( x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)             

C.  \( x=\frac{\sqrt{5}}{3} \)                       

D.  \( x=\frac{\sqrt{5}-1}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \( \left\{ \begin{align}  & BC//(SAD) \\  & BC\subset (BMC) \\ \end{align} \right.\Rightarrow (SAD)\cap (BMC)=MN//BC \)  \( \Rightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=x  \)

 \( \frac{{{V}_{S.MBC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{2{{V}_{S.MBC}}}{V}=\frac{SM}{SA}=x  \)

 \( \frac{{{V}_{S.MCN}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{2{{V}_{S.MCN}}}{V}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}={{x}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \frac{2\left( {{V}_{S.MCN}}+{{V}_{S.MBC}} \right)}{V}=x+{{x}^{2}} \)  \( \Leftrightarrow \frac{2V{{S}_{.MBCN}}}{V}=x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{V}_{S.MBCN}}}{V}=\frac{x+{{x}^{2}}}{2} \) (1)

Mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau nên \(\frac{{{V}_{S.MBCN}}}{V}=\frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( 1=x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan


Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, (α) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM. Mặt phẳng (α) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, \( \left( \alpha  \right) \) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM. Mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).

A. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{25}\)

B. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{11}\)

C. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{17}\)      

D. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{9}{23}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD; I, H lần lượt là trung điểm SC, SM.

Do  \( (\alpha ) \) // (ACM) nên  \( (\alpha ) \) cắt (SAD), (SBD), (SCD) lần lượt tại KL, HP, IJ cùng song song với OM.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{B.HQP}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\frac{BH}{BS}.\frac{BQ}{BA}.\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}=\frac{27}{16} \)

Suy ra:  \( {{V}_{B.HQP}}=\frac{27}{16}{{V}_{B.SAC}}=\frac{27}{16}.\frac{1}{2}V=\frac{27}{32}V  \)

 \( \frac{{{V}_{A.KQL}}}{{{V}_{A.SBD}}}=\frac{AK}{AS}.\frac{AQ}{AB}.\frac{AL}{AD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)  \( \Rightarrow {{V}_{A.KQL}}=\frac{1}{8}{{V}_{A.SBD}}=\frac{1}{8}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{16} \)

Tương tự:  \( \Rightarrow {{V}_{C.IPJ}}=\frac{1}{16}V  \)

Do đó:  \( {{V}_{2}}=\left( \frac{27}{32}-\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \right)V=\frac{23}{32}V \Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{9}{32}V  \)

Vậy  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{9}{23} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan


Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA. SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P. VS.BMPN/VS.ABCD bằng

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA. SC. Mặt phẳng (BMN) cắt SD tại P.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}} \) bằng

A. \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \)

B.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{6} \)                            

C.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{12} \)                          

D.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: M, N là trung điểm của SA, SC nên  \( \frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2} \)

Cách 1. Áp dụng định lý Menelaus cho  \( \Delta SOD  \), ta có:

\(\frac{PS}{PD}.\frac{BD}{BO}.\frac{IO}{IS}=1\Rightarrow \frac{PS}{PD}.2.1=1\)\(\Rightarrow \frac{PS}{PD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{SP}{SD}=\frac{1}{3}\)

Cách 2. Kẻ OH // BP, ta có O là trung điểm của BD nên H là trung điểm của PD. Ta có: OH // IP mà I là trung điểm của SO nên P là trung điểm của SH.

Suy ra \(SP=PH=HD\Rightarrow \frac{SP}{SD}=\frac{1}{3}\)

Theo công thức tỉ số thể tích ta có:  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{2{{V}_{S.BMP}}}{2{{V}_{S.BAD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SP}{SD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{6} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm các cạnh SA, SC, mặt phẳng (BMN) cắt cạnh SD tại P

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N là trung điểm các cạnh SA, SC, mặt phẳng (BMN) cắt cạnh SD tại P. Tỉ số \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}} \) bằng

A. \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \)

B.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{6} \)                            

C.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{12} \)                          

D.  \( \frac{{{V}_{S.BMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Dựng  \( SO\cap MN=I  \),  \( SI\cap SD=P \) , OE // BP

Khi đó: I là trung điểm của MN, SO nên  \( \frac{SP}{SE}=\frac{SI}{SO}=\frac{1}{2} \),  \( \frac{DE}{DP}=\frac{DO}{DP}=\frac{1}{2} \)

Vậy  \( SP=PE=ED\Rightarrow \frac{SP}{SD}=\frac{1}{3} \)

 \( \frac{{{V}_{SMPB}}}{{{V}_{SADB}}}=\frac{SP}{SD}.\frac{SM}{SA}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6} \)  \(\Rightarrow \frac{{{V}_{SMPB}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{12} \)

\(\frac{{{V}_{SNPB}}}{{{V}_{SCDB}}}=\frac{SP}{SD}.\frac{SN}{SC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)\(\Rightarrow \frac{{{V}_{SNPB}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{12}\)

 \( {{V}_{SBMPN}}={{V}_{SBMP}}+{{V}_{SBPN}} \) \( \Rightarrow \frac{{{V}_{SMPNB}}}{{{V}_{SABCD}}}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6} \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan


Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist