Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng (MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn)

A. \(\frac{3}{5}\)                                           

B. \(\frac{3}{4}\)                  

C. \(\frac{1}{3}\)             

D. \(\frac{4}{5}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi thể tích khối chóp S.ABCD là V, khi đó thể tích khối chóp S.ABC và S.ACD là  \( {{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}V  \).

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.MNC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SC}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.1=\frac{1}{4} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.MNC}}=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{8}V \)

 \( \frac{{{V}_{S.MCD}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SC}{SC}.\frac{SD}{SD}=\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2} \) \( \Rightarrow {{V}_{S.MCD}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{4}V \)

Từ đó, suy ra:  \( {{V}_{S.MNCD}}={{V}_{S.MNC}}+{{V}_{S.MCD}}=\frac{1}{8}V+\frac{1}{4}V=\frac{3}{8}V  \)

 \( \Rightarrow {{V}_{MNABCD}}=V-\frac{3}{8}V=\frac{5}{8}V  \)

Vậy  \( \frac{{{V}_{S.MNCD}}}{{{V}_{MNABCD}}}=\frac{\frac{3}{8}V}{\frac{5}{8}V}=\frac{3}{5} \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh SC, SD sao cho SMSC=12,SNND=2, biết G là trọng tâm tam giác SAB. Tỉ số thể tích VG.MND/VS.ABCD=m/n, m, n là các số nguyên dương

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là hai điểm nằm trên hai cạnh SC, SD sao cho \( \frac{SM}{SC}=\frac{1}{2},\frac{SN}{ND}=2 \), biết G là trọng tâm tam giác SAB. Tỉ số thể tích \( \frac{{{\text{V}}_{\text{G}\text{.}MND}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{m}{n} \), m, n là các số nguyên dương. Giá trị của m + n bằng

A. 17

B. 19

C. 21                                

D. 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( {{S}_{\Delta DMN}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta SMD}}=\frac{1}{6}{{S}_{\Delta SCD}} \)

Gọi E là trung điểm của AB.

\(\Rightarrow {{d}_{\left( G,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( E,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( A,(DMN) \right)}}=\frac{2}{3}{{d}_{\left( A,(SCD) \right)}}\)

 \( \Rightarrow {{V}_{G.MND}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta DMN}}.{{d}_{\left( G,(DMN) \right)}} \) \( =\frac{1}{3}.\frac{1}{6}{{S}_{\Delta SCD}}.\frac{2}{3}d\left( A,(SCD) \right)=\frac{1}{9}{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{18}{{V}_{S.ABCD}} \)

 \( \Rightarrow \frac{VG.MND}{VS.ABCD}=\frac{1}{18}\Rightarrow m+n=19 \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7/13 lần phần còn lại

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng \( \frac{7}{13} \) lần phần còn lại. Tính tỉ số  \( k=\frac{IA}{IS} \)?

A. \( \frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( \frac{3}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Mặt phẳng (MNI) cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1.

Đặt  \( {{V}_{S.ABCD}}=V  \).

Ta có:  \( {{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta BMN}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{8}{{S}_{ABCD}} \)  \( \Rightarrow \frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

 \( \frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{IA}{SA}=\frac{k}{k+1} \)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{I.APM}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{S}_{\Delta APM}}}{{{S}_{ABCD}}}.\frac{{{d}_{\left( I,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}=\frac{k}{8\left( k+1 \right)}V\)

Do MN // AC  \( \Rightarrow  \)IK // AC  \( \Rightarrow  \) IK // (ABCD)  \( \Rightarrow  \) d(I,(ABCD)) = d(K,(ABCD)).

Mà \({{S}_{\Delta APM}}={{S}_{\Delta NCQ}}\)\(\Rightarrow {{V}_{I.APM}}={{V}_{K.NCQ}}=\frac{k}{8(k+1)}V\)

Kẻ IH // SD ( \( H\in SD  \)) như hình 2.

Ta có:

 \( \frac{IH}{SD}=\frac{AH}{AD}=\frac{AI}{AS}=\frac{k}{k+1} \)

 \( \frac{IH}{ED}=\frac{PH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{AH}{PD}=\frac{PA}{PD}+\frac{2AH}{3AD} \) \( =\frac{1}{3}+\frac{2k}{3(k+1)}=\frac{3k+1}{3(k+1)} \)

 \( \Rightarrow \frac{ED}{SD}=\frac{IH}{SD}:\frac{ID}{ED}=\frac{3k}{3k+1} \) \( \Rightarrow \frac{{{d}_{\left( E,(ABCD) \right)}}}{{{d}_{\left( S,(ABCD) \right)}}}=\frac{ED}{SD}=\frac{3k}{3k+1} \)

 \( \frac{{{S}_{\Delta PQD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{9}{8}\Rightarrow \frac{{{V}_{E.PQD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{27k}{24k+8} \) \( \Rightarrow {{V}_{E.PQD}}=\frac{27k}{24k+8}V \)

 \( {{V}_{EIKAMNCD}}=\frac{13}{20}V\Leftrightarrow {{V}_{E.PDC}}-{{V}_{I.APM}}-{{V}_{K.NQC}}=\frac{13}{20}V  \)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{8(3k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V-\frac{k}{8(k+1)}V=\frac{13}{20}V\)

\(\Leftrightarrow \frac{27k}{2(3k+1)}-\frac{k}{k+1}=\frac{13}{5}\Leftrightarrow k=\frac{2}{3}\)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt SM/SA=x. Giá trị x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt \( \frac{SM}{SA}=x  \). Giá trị x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau là:

A. \( x=\frac{1}{2} \)

B.  \( x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)             

C.  \( x=\frac{\sqrt{5}}{3} \)                       

D.  \( x=\frac{\sqrt{5}-1}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \( \left\{ \begin{align}  & BC//(SAD) \\  & BC\subset (BMC) \\ \end{align} \right.\Rightarrow (SAD)\cap (BMC)=MN//BC \)  \( \Rightarrow \frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SD}=x  \)

 \( \frac{{{V}_{S.MBC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{2{{V}_{S.MBC}}}{V}=\frac{SM}{SA}=x  \)

 \( \frac{{{V}_{S.MCN}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{2{{V}_{S.MCN}}}{V}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}={{x}^{2}} \)

 \( \Rightarrow \frac{2\left( {{V}_{S.MCN}}+{{V}_{S.MBC}} \right)}{V}=x+{{x}^{2}} \)  \( \Leftrightarrow \frac{2V{{S}_{.MBCN}}}{V}=x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow \frac{{{V}_{S.MBCN}}}{V}=\frac{x+{{x}^{2}}}{2} \) (1)

Mặt phẳng (MBC) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau nên \(\frac{{{V}_{S.MBCN}}}{V}=\frac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( 1=x+{{x}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)

 

Các bài toán liên quan


Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, (α) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM. Mặt phẳng (α) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, \( \left( \alpha  \right) \) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM. Mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\).

A. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{25}\)

B. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{11}\)

C. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{17}\)      

D. \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{9}{23}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD; I, H lần lượt là trung điểm SC, SM.

Do  \( (\alpha ) \) // (ACM) nên  \( (\alpha ) \) cắt (SAD), (SBD), (SCD) lần lượt tại KL, HP, IJ cùng song song với OM.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{B.HQP}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\frac{BH}{BS}.\frac{BQ}{BA}.\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}=\frac{27}{16} \)

Suy ra:  \( {{V}_{B.HQP}}=\frac{27}{16}{{V}_{B.SAC}}=\frac{27}{16}.\frac{1}{2}V=\frac{27}{32}V  \)

 \( \frac{{{V}_{A.KQL}}}{{{V}_{A.SBD}}}=\frac{AK}{AS}.\frac{AQ}{AB}.\frac{AL}{AD}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)  \( \Rightarrow {{V}_{A.KQL}}=\frac{1}{8}{{V}_{A.SBD}}=\frac{1}{8}.\frac{1}{2}V=\frac{1}{16} \)

Tương tự:  \( \Rightarrow {{V}_{C.IPJ}}=\frac{1}{16}V  \)

Do đó:  \( {{V}_{2}}=\left( \frac{27}{32}-\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \right)V=\frac{23}{32}V \Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{9}{32}V  \)

Vậy  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{9}{23} \).

 

Các bài toán liên quan


Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!