Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD.

A. \( \frac{1}{16} \)

B.  \( \frac{1}{4} \)                    

C. \( \frac{1}{8} \)              

D.  \( \frac{1}{2} \)

Đáp án C.

Ta có: \(\frac{{{V}_{S.A’B’C’}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8}\); \(\frac{{{V}_{S.A’D’C’}}}{{{V}_{S.ADC}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SD’}{SD}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8}\).

Mà:  \( {{V}_{S.ABCD}}={{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{{{V}_{S.A’B’C’}}+{{V}_{S.A’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}} \)  \( =\frac{\frac{1}{8}\left( {{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.ACD}} \right)}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8} \)

Các bài toán mới

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết C’ là trung điểm của SC. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết C’ là trung điểm của SC. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD. Tính tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{2}{3} \)

B.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{2}{9} \)          

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{4}{9} \)          

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{3} \)

Đáp án D.

Ta có:  \( {{V}_{2}}=2{{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{S.ACD}} \)

Gọi  \( O=AC\cap BD  \),  \( J=SO\cap AC’ \).

Vì C’ là trung điểm của SC nên J là trọng tâm  \( \Delta SAC  \).

Vì  \( BD\bot (SAC)\Rightarrow BD\bot SC  \) mà (P) qua A và vuông góc với SC nên (P) // BD.

Trong (SBD) qua J kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại B’, D’.

Ta có:  \( \frac{SB’}{SB}=\frac{SD’}{SD}=\frac{SJ}{SO}=\frac{2}{3} \)

Khi đó:  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{V}_{S.AB’C’}}}{2{{V}_{S.ABC}}}+\frac{{{V}_{S.AC’D’}}}{2{{V}_{S.ACD}}} \)  \( =\frac{1}{2}\left( \frac{SA}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SC’}{SC}+\frac{SA}{SA}.\frac{SD’}{SD}.\frac{SC’}{SC} \right)=\frac{1}{2}.2.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3} \)

Các bài toán mới

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABCD, gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.IJKH bằng 1

Cho hình chóp S.ABCD, gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.IJKH bằng 1.

A. 16

B. 8

C. 2                                   

D. 4

Đáp án B.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.ABC}}}{{{V}_{S.IJK}}}=\frac{SA}{SI}.\frac{SB}{SJ}.\frac{SC}{SK}=8 \) \( \Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=8{{V}_{S.IJK}} \)

 \( \frac{{{V}_{S.ACD}}}{{{V}_{S.IKH}}}=\frac{SA}{SI}.\frac{SC}{SK}.\frac{SD}{SH}=8 \) \( \Rightarrow {{V}_{S.ACD}}=8{{V}_{S.IKH}} \)

Do đó:  \( {{V}_{S.ABCD}}=8{{V}_{S.IJKH}}=8 \)

Các bài toán mới

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A’B’C’D’ và S.ABCD.

A. \( \frac{1}{16} \)

B.  \( \frac{1}{4} \)                    

C.  \( \frac{1}{8} \)          

D.  \( \frac{1}{2} \)

Đáp án C.

Ta có:  \( \frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SA’}{SA}.\frac{SB’}{SB}.\frac{SD’}{SD}=\frac{1}{8}\)  \( \Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \)

Và  \( \frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\frac{SB’}{SB}.\frac{SD’}{SD}.\frac{SC’}{SC}=\frac{1}{8} \)  \( \Rightarrow \frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16} \).

Suy ra: \(\frac{{{V}_{S.A’B’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}+\frac{{{V}_{S.B’D’C’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{1}{8}\)\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.A’B’C’D’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{1}{8}\)

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần

Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần?

A. 2 lần

B. 4 lần

C. 6 lần                             

D. 8 lần.

Đáp án D.

Gọi h, a lần lượt là chiều cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều.

Thể tích của khối chóp tứ giác là  \( V=\frac{1}{3}{{a}^{2}}h  \).

Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên 2 lần thì ta được khối chóp tứ giác đều mới có thể tích là

 \( V’=\frac{1}{3}{{(2a)}^{2}}(2h)=8.\frac{1}{3}{{a}^{2}}h=8V  \)

Vậy thể tích của khối chóp lên 8 lần.

Các bài toán mới

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!