Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM,BD=3/2BN, AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là V1, V2

Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho BC=3BM,\(BD=\frac{3}{2}BN\), AC = 2AP. Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện có thể tích là V1, V2, trong đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là V2. Tính tỉ số \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{19} \)

B.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{26}{13} \)     

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{15}{19} \)     

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{3}{19} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Áp dụng định lí Menelauyt, ta có:  \( \frac{MB}{MC}.\frac{ND}{NB}.\frac{GC}{GD}=1\Rightarrow \frac{GC}{GD}=4 \) và  \( \frac{GC}{GD}.\frac{FD}{FA}.\frac{PA}{PC}=1\Rightarrow \frac{FD}{FA}=\frac{1}{4} \)

 \( {{V}_{DCPMNF}}={{V}_{CPMF}}+{{V}_{CMNF}}+{{V}_{CNFD}} \)

 \( \frac{{{V}_{CPMF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( F,(CPM) \right)}}.{{S}_{\Delta CPM}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( D,(ABC) \right)}}.{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{4}{5}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{4}{15} \)

 \( \frac{{{V}_{CNMF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( F,(CNM) \right)}}.{{S}_{\Delta CNM}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( D,(CBD) \right)}}.{{S}_{\Delta CBD}}}=\frac{1}{5}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{45} \)

 \( \frac{{{V}_{CNDF}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(FND) \right)}}.{{S}_{\Delta FND}}}{\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(ABD) \right)}}.{{S}_{\Delta ABD}}}=\frac{1}{5}.\frac{1}{3}=\frac{1}{15} \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{2}}}{V}=\frac{4}{15}+\frac{4}{45}+\frac{1}{15}\Rightarrow \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{45-19}{19}=\frac{26}{19} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho khối tứ diện có thể tích bằng bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V′/V

(Đề Tham Khảo – 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng bằng V. Gọi V’ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số \( \frac{V’}{V} \).

A. \( \frac{V’}{V}=\frac{1}{2} \)

B.  \( \frac{V’}{V}=\frac{1}{4} \)             

C.  \( \frac{V’}{V}=\frac{2}{3} \)               

D.  \( \frac{V’}{V}=\frac{5}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1. Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a. Hình đa diện cần tính có được bằng cách cắt 4 góc của tụ điện, mỗi góc cũng là một tụ điện đều có cạnh bằng  \( \frac{a}{2} \).

Do đó, thể tích phần cắt bỏ là:   \( {V”}=4.\frac{V}{8}=\frac{V}{2} \).

(Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thì thể tích giảm  \( {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8} \))

Vậy  \( {V}’=\frac{V}{2}\Leftrightarrow \frac{{{V}’}}{V}=\frac{1}{2} \).

Cách 2. Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp lại.

Suy ra:  \( {V}’=2{{V}_{N.MEPF}}=4.{{V}_{N.MEP}} \) \( =4.{{V}_{P.MNE}}=4.\frac{1}{2}.\frac{1}{4}V=\frac{1}{2}V \)

(Do chiều cao giảm một nửa, cạnh đáy giảm một nửa nên diện tích giảm 4)

Cách 3. Ta có:  \( \frac{{{V}’}}{V}=\frac{V-{{V}_{A.QEP}}-{{V}_{B.QMF}}-{{V}_{C.MNE}}-{{V}_{D.NPF}}}{V} \)

 \( =1-\frac{{{V}_{A.QEP}}}{V}-\frac{{{V}_{B.QMF}}}{V}-\frac{{{V}_{C.MNE}}}{V}-\frac{{{V}_{D.NPF}}}{V} \) \( =1-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB=2√10, SBCˆ=900, ASCˆ=1200. Mặt phẳng (P) đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với (SAC) cắt SA tại M

Cho hình chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, \( AB=2\sqrt{10} \),  \( \widehat{SBC}={{90}^{0}} \),  \( \widehat{ASC}={{120}^{0}} \). Mặt phẳng (P) đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với (SAC) cắt SA tại M. Tính tỉ số thể tích  \( k=\frac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}} \).

A. \( k=\frac{2}{5} \)

B.  \( k=\frac{1}{4} \)      

C.  \( k=\frac{1}{6} \)               

D.  \( k=\frac{2}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:

 \( S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}={{6}^{2}}+{{2}^{2}}=40=A{{B}^{2}} \) \( \Rightarrow \widehat{ASB}={{90}^{0}} \)

 \( \Delta SBC  \) vuông tại B  \( \Rightarrow BN=\frac{1}{2}SC=2 \)

 \( \Rightarrow SN=NB=SB=2\Rightarrow \Delta SNB  \) đều.

Gọi D là điểm thuộc cạnh SA sao cho SD = 2, ta có:

 \( D{{B}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}=8 \)

 \( D{{N}^{2}}={{2}^{2}}+{{2}^{2}}-2.2.2.\cos {{120}^{0}}=12 \)

 \( N{{B}^{2}}=4 \)

 \( \Rightarrow D{{B}^{2}}+N{{B}^{2}}=D{{N}^{2}} \) \( \Rightarrow \Delta DNB \)  vuông tại B.

Gọi H, E lần lượt là trung điểm của DN, NB ta có:

+  \( \left\{ \begin{align}& NB\bot SE \\ & NB\bot HE \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow NB\bot (SHE)\Rightarrow NB\bot SH \)

+ \(\left\{ \begin{align}& SH\bot DN \\ & SH\bot NB \\ \end{align} \right.\Rightarrow SH\bot (DNB)\)\(\Rightarrow (SDN)\bot (DNB)\Rightarrow D\equiv M\Rightarrow SM=2\)

 \( \Rightarrow k=\frac{{{V}_{S.BMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}=\frac{2}{6}.\frac{2}{4}=\frac{1}{6} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho tứ diện ABCD. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó tỉ số thể tích của khối đa diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD

Cho tứ diện ABCD. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó tỉ số thể tích của khối đa diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD bằng

A. \( \frac{1}{2} \)                                                                                     

B.  \( \frac{1}{4} \)                    

C.  \( \frac{1}{6} \)          

D.  \( \frac{1}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:

\(\frac{{{V}_{AB’C’D}}}{{{V}_{ABCD}}}=\frac{{{V}_{B’AC’D}}}{{{V}_{BACD}}}=\frac{\frac{1}{3}{{S}_{\Delta DC’A}}.{{d}_{\left( B’,(DC’A) \right)}}}{\frac{1}{3}{{S}_{\Delta DCA}}.{{d}_{\left( B’,(DCA) \right)}}}\)\(=\frac{\frac{1}{2}DC’.DA.\sin \widehat{ADC’}}{\frac{1}{2}DC.DA.\sin \widehat{ADC}}.\frac{{{d}_{\left( B’,(DC’A) \right)}}}{{{d}_{\left( B’,(DCA) \right)}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích của MNBC và MNDA

Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Gọi V1, Vlần lượt là thể tích của MNBC và MNDA. Tính tỉ lệ \( \frac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{V} \)

A. 1

B. \( \frac{1}{2} \)           

C.  \( \frac{1}{3} \)          

D.  \( \frac{2}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Vì M, N lần lượt là trung điểm AB, CD nên ta có:

d(A,(MCD))=d(B,(MCD)); d(C,(NAB)) = d(D,(NAB)), do đó:

 \( {{V}_{A.MCD}}={{V}_{B.MCD}}=\frac{1}{2}V  \);  \( {{V}_{1}}={{V}_{MNBC}}={{V}_{C.MNB}}={{V}_{D.MNB}}=\frac{{{V}_{B.MCD}}}{2}=\frac{1}{4}V  \)

 \( {{V}_{2}}={{V}_{MNAD}}={{V}_{D.MNA}}={{V}_{C.MNA}}=\frac{{{V}_{A.MCD}}}{2}=\frac{1}{4}V  \)

 \( \Rightarrow \frac{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}}{V}=\frac{\frac{1}{4}V+\frac{1}{4}V}{V}=\frac{1}{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!