Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, tam giác A’BC có diện tích bằng 1 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng 2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, tam giác A’BC có diện tích bằng 1 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng 2. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A. 6

B. 3

C. 2                                   

D. 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) suy ra A’H là chiều cao của lăng trụ. Xét khối chóp A.A’BC có diện tích đáy  \( B={{S}_{\Delta A’BC}}=1 \), chiều cao  \( h={{d}_{\left( A,(A’BC) \right)}}=2 \)

Suy ra thể tích của khối chóp A.A’BC là:  \( {{V}_{A.A’BC}}=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}.1.2=\frac{2}{3} \)

Mặt khác:  \( \left\{ \begin{align}  & {{V}_{A.A’BC}}={{V}_{A’ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.A’H=\frac{2}{3} \\  & {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=3{{V}_{A.A’BC}}=3.\frac{2}{3}=2 \)

Cách khác:

Ta thấy lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia thành ba khối chóp có thể tích bằng nhau là: A’.ABC, A’.BCB’, A’.B’C’C.

Mà  \( {{V}_{A’.ABC}}={{V}_{A.A’BC}}=\frac{1}{3}.1.2=\frac{2}{3} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.A’B’C’}}=3{{V}_{A.A’BC}}=3.\frac{2}{3}=2 \)

 

Các bài toán liên quan

 

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có diện tích mặt bên (ABB1A1) bằng 4, khoảng cách giữa cạnh CC1 đến mặt phẳng (ABB1A1) bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1

Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có diện tích mặt bên (ABB1A1) bằng 4, khoảng cách giữa cạnh CC1 đến mặt phẳng (ABB1A1) bằng 6. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1.

A. 12

B. 18                                 

C. 24                                

D. 9

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {{V}_{C.AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}=\frac{1}{3}{{d}_{\left( C,(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}) \right)}}.{{S}_{AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}=\frac{1}{3}.4.6=8 \)

 \( {{V}_{C.AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}={{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}-{{V}_{C.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}} \)  \( ={{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}-\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{ABC.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\frac{3}{2}{{V}_{C.AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}}}=\frac{3}{2}.8=12 \)

 

Các bài toán liên quan

 

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 60O

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng đáy bằng 60O. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

A.  \( \frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{4} \)

B.  \( \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4} \)

C.  \( \frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{8} \)              

D.  \( \frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC).

Ta có: \( A’H\bot (ABC) \) \( \Rightarrow \)  HC là hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt phẳng (ABC).

 \( \Rightarrow \widehat{\left( A’C,(ABC) \right)}=\widehat{\left( A’C,HC \right)}=\widehat{A’CH}={{60}^{0}} \)

 \( CH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Xét tam giác vuông A’HC, ta có:  \( A’H=CH.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3a}{2}, {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \).

Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{3a}{2}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB’, CC’ lần lượt bằng 2a và 4a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ACC’A’) bằng 60O

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB’, CC’ lần lượt bằng 2a và 4a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ACC’A’) bằng 60O. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( \frac{16\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}} \)

B.  \( 8\sqrt{3}{{a}^{3}} \)

C.  \( 24\sqrt{3}{{a}^{3}} \)  

D.  \( 16\sqrt{3}{{a}^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB’, CC’.

Ta có:  \( HA\bot BB’ \),  \( KA\bot CC’ \) \( \Rightarrow A’A\bot \left( AHK \right) \) do đó:  \( \widehat{AHK}={{60}^{0}} \).

Khi đó:  \( H{{K}^{2}}=A{{K}^{2}}+A{{H}^{2}}-2AK.AH.\cos {{60}^{0}}=12{{a}^{2}} \)

 \( \Rightarrow A{{K}^{2}}=H{{K}^{2}}+A{{H}^{2}} \)

Suy ra tam giác AHK vuông tại H.

Gọi H’, K’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A’ trên BB’, CC’.

Ta có: VA.BCHK = VA.B’C’K’H’

Khi đó \({{V}_{ABC.A’B’C’}}={{V}_{AHK.A’H’K’}}=AA’.{{S}_{\Delta AHK}}=16\sqrt{3}{{a}^{3}}\)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC=2√2. Biết AC’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60O và AC’ = 4. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’

(Đề thử nghiệm – 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(AC=2\sqrt{2}\). Biết AC’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60O và AC’ = 4. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’.

A. \( V=\frac{8}{3} \)

B.  \( V=\frac{16}{3} \)   

C.  \( V=\frac{8\sqrt{3}}{3} \) 

D.  \( V=\frac{16\sqrt{3}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phân tích: Tính thể tích của khối đa diện ABCB’C’ bằng thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ trừ đi thể tích của khối chóp A.A’B’C’.

Giả sử đường cao của lăng trụ là C’H. Khi đó góc giữa AC’ mặt phẳng (ABC) là góc  \( \widehat{C’AH}={{60}^{0}} \).

Ta có: \(\sin {{60}^{0}}=\frac{C’H}{AC’}\Rightarrow C’H=2\sqrt{3}\); \({{S}_{\Delta ABC}}=4\)

\({{V}_{ABC.A’B’C’}}=C’H.{{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{3}.\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=8\sqrt{3}\)

 \( {{V}_{A.A’B’C’}}=\frac{1}{3}C’H.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{8\sqrt{3}}{3} \)

 \( {{V}_{ABB’C’C}}={{V}_{ABC.A’B’C’}}-{{V}_{A.A’B’C’}}=8\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3} \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc với đáy và B′BCˆ=300. Thể tích khối chóp A.CC’B’ là

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc với đáy và \( \widehat{B’BC}={{30}^{0}} \). Thể tích khối chóp A.CC’B’ là

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}\)                             

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.