Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Góc tạo bởi cạnh bên A’A với đáy bằng 45O (hình vẽ bên)

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Góc tạo bởi cạnh bên A’A với đáy bằng 45O (hình vẽ bên). Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( V=\frac{\sqrt{6}}{24} \)

B.  \( V=1 \)                     

C.  \( V=\frac{\sqrt{6}}{8} \)   

D.  \( V=3 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H  \)

Ta có:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} \)

 \( \left\{ \begin{align} & AH=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \\  & \tan {{45}^{0}}=\frac{A’H}{AH}\Rightarrow A’H=AH=\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{\Delta ABC}}.A’H=\sqrt{3}.\sqrt{3}=3 \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3, cạnh bên bằng 2√3 tạo với mặt phẳng đáy một góc 30O. Khi đó thể tích khối lăng trụ là

Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3, cạnh bên bằng \( 2\sqrt{3} \) tạo với mặt phẳng đáy một góc 30O. Khi đó thể tích khối lăng trụ là:

A. \( \frac{9}{4} \)

B.  \( \frac{27}{4} \)                 

C.  \( \frac{27\sqrt{3}}{4} \)                                      

D.  \( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi H là hình chiếu của A’ lên mặt đáy.

Suy ra góc  \( \widehat{A’AH}={{30}^{0}} \)

 \( \sin {{30}^{0}}=\frac{A’H}{A’A} \) \( \Rightarrow A’H=A’A.\sin {{30}^{0}}=2\sqrt{3}.\frac{1}{2}=\sqrt{3} \)

Khi đó:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{3}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4}.\sqrt{3}=\frac{27}{4} \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30O. Hình chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm I của BC

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30O. Hình chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm I của BC. Tính thể tích khối lăng trụ

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{12} \)                            

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)           

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( A’I\bot (ABC) \)  \( \Rightarrow AI  \) là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC)

Nên  \( \widehat{\left( AA’,(ABC) \right)}=\widehat{\left( AA’,AI \right)}=\widehat{A’AI}={{30}^{O}} \)

Ta có:  \( AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A’I=AI\tan {{30}^{0}}=\frac{a}{2} \)

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \)

Vậy  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC=2√2, biết góc giữa AC’ và (ABC) bằng 60O và AC’ = 4. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,  \( AC=2\sqrt{2} \), biết góc giữa AC’ và (ABC) bằng 60O và AC’ = 4. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( V=\frac{8}{3} \)

B.  \( V=\frac{16}{3} \)   

C.  \( V=\frac{8\sqrt{3}}{3} \) 

D.  \( V=8\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 

Gọi H là hình chiếu của C’ lên mặt phẳng (ABC), khi đó C’H là đường cao

\(\Rightarrow \widehat{\left( AC’,(ABC) \right)}=\widehat{C’AH}={{60}^{O}}\)

Xét tam giác vuông AC’H, ta có:  \( C’H=C’A.\sin {{60}^{O}}=2\sqrt{3} \)

Khi đó:  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}={{S}_{d}}.C’H=\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}.2\sqrt{3}=8\sqrt{3} \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết A’A = A’B = A’C = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết A’A = A’B = A’C = a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’?

A. \( \frac{3{{a}^{3}}}{4} \)

B.  \( \frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{4} \)                                 

C.  \( \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4} \)           

D.  \( \frac{{{a}^{3}}}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC.

Theo giả thiết ta có ABC là tam giác đều cạnh bằng a và A’A = A’B = A’C = a nên A’.ABC là tứ diện đều cạnh a  \( \Rightarrow A’H\bot (ABC) \) hay A’H là đường cao của khối chóp A’.ABC.

Xét tam giác vuông A’HA, ta có:  \( A’H=\sqrt{A'{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3} \)

Diện tích tam giác ABC là  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}a.a.\sin {{60}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \)

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là  \( {{V}_{ABC.A’B’C’}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4} \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy góc 60^O. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy góc 60O. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24} \)

B.  \( \frac{3{{a}^{3}}}{8} \) 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)                        

D.  \( \frac{{{a}^{3}}}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.