Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a√3, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3a. Thể tích khối chóp đã cho bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \( 2a\sqrt{3} \), khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3a. Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. \( {{a}^{3}}\sqrt{3} \)

B.  \( 6\sqrt{3}{{a}^{3}} \)     

C.  \( 12{{a}^{3}} \)      

D.  \( \frac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi    \( O=AC\cap BD  \)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  & CD//AB \\  & AB\subset (SAB) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( CD,SA \right)}}={{d}_{\left( CD,(SAB) \right)}}={{d}_{\left( D,(SAB) \right)}}=2{{d}_{\left( O,(SAB) \right)}} \)

Kẻ  \( \left\{ \begin{align}  & OK\bot AB \\  & OH\bot SK \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (SAB) \)

 \( \Rightarrow OH={{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=\frac{3a}{2} \)

Xét  \( \Delta SOK  \):  \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{K}^{2}}}\Leftrightarrow SO=3a  \)

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD:  \( V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=12{{a}^{3}} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD độ dài cạnh đáy là a. Biết rằng mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt cạnh SB tại B’ với SB′/SB=2/3

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD độ dài cạnh đáy là a. Biết rằng mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt cạnh SB tại B’ với \( \frac{SB’}{SB}=\frac{2}{3} \). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2} \)           

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \left. \begin{align}  & BD\bot AC \\  & BD\bot SO \\ \end{align} \right\}\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC \)

Mà  \( \left( P \right)\bot SC\Rightarrow \left( P \right)//BD  \)

Trong (SAC), gọi  \( G=A’C\cap SO\Rightarrow GB’//BD  \) \( \Rightarrow \frac{SG}{SO}=\frac{SB’}{SB}=\frac{2}{3} \)

Suy ra G là trọng tâm  \( \Delta SAC  \)  \( \Rightarrow C’ \) là trung điểm SC.

Nên  \( \Delta SAC  \) là tam giác đều cạnh  \( AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SO=a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\frac{1}{3}{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE

Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BD vuông góc với AE.

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{7}}{27}\)                             

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{27}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi F là trung điểm SE  \( \Rightarrow BD\bot DF  \)

Gọi AB = x.

Ta có:  \( B{{E}^{2}}=B{{D}^{2}}=A{{E}^{2}}=\frac{2A{{S}^{2}}+2A{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}{4}\) \( =\frac{2{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{4} \)

 \( B{{F}^{2}}=\frac{2B{{S}^{2}}+2B{{E}^{2}}-S{{E}^{2}}}{4} \) \( =\frac{2{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{2}-\frac{1}{4}{{a}^{2}}}{4}=\frac{9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{16} \)

 \( B{{F}^{2}}=B{{D}^{2}}+D{{F}^{2}}\Leftrightarrow B{{F}^{2}}=\frac{5B{{D}^{2}}}{4} \) \( \Leftrightarrow \frac{9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}{16}=\frac{5}{4}.\frac{{{a}^{2}}+2{{x}^{2}}}{4} \)

 \( \Leftrightarrow 9{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}=5{{a}^{2}}+10{{x}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=6{{x}^{2}} \) \( \Rightarrow x=a\sqrt{\frac{2}{3}} \)

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp  \( \Delta ABC  \)

 \( \Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{x\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{3} \)

Tam giác ABC đều có cạnh là x \( \Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6} \)

Vậy  \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}} \) \( =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54} \)

Hoặc sử dụng công thức tính thể tích chóp tam giác ABC đều có cạnh bên bằng a, cạnh đáy bằng x.

 \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{12}=\frac{\frac{2{{a}^{2}}}{3}\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{2{{a}^{2}}}{3}}}{12}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{54} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Nếu một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và có diện tích xung quanh bằng 4√3 thì có thể tích bằng

Nếu một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và có diện tích xung quanh bằng \( 4\sqrt{3} \) thì có thể tích bằng

A. \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\)

B. \(4\sqrt{3}\)                      

C. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

D. \(4\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét hình chóp đều S.ABCD như hình vẽ

Kẻ  \( OE\bot BC  \) \( \Rightarrow \)  E là trung điểm BC và BC  \( \bot  \) (SOE)

Do đó:  \( BC\bot SE  \)

Xét \(\Delta SOE\) vuông tại O, ta có:

\(S{{E}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{E}^{2}}\Rightarrow SE=\sqrt{S{{O}^{2}}+1}\)

Mặt khác:  \( {{S}_{xq}}=4{{S}_{\Delta SBC}}\Leftrightarrow 4\sqrt{3}=4.\frac{1}{2}.SE.BC  \)

 \( \Leftrightarrow 4\sqrt{3}=2\sqrt{S{{O}^{2}}+1}.2\Leftrightarrow SO=\sqrt{2}\text{ }\left( x>0 \right) \)

 \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\sqrt{2}{{.2}^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60O

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm của đáy là O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60O. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{2} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{6} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi H là trung điểm AO. Khi đó góc giữa MN và (ABCD) là  \( \widehat{MNH} \).

Ta có:  \( HN=\sqrt{C{{N}^{2}}+C{{H}^{2}}-2CN.CH.\cos {{45}^{0}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4} \)

Suy ra:  \( MH=HN.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{30}}{4} \)

Do đó:  \( SO=2MH=\frac{a\sqrt{30}}{2} \)

 \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{30}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{30}}{6} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABC có AB = a, BC=a√3, ABCˆ=600. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là 45O

Cho hình chóp S.ABC có AB = a, \( BC=a\sqrt{3} \),  \( \widehat{ABC}={{60}^{0}} \). Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là một điểm thuộc cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là 45O. Giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC),  \( H\in BC  \).

 \( \widehat{\left( SA,(ABC) \right)}=\widehat{SAH}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta SHA  \) vuông cân  \( \Rightarrow SH=HA  \).

 \( {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\frac{1}{3}.AH.\frac{1}{2}.AB.BC.\sin \widehat{ABC} \) \( =\frac{1}{6}.AH.a.a\sqrt{3}.\sin {{60}^{0}}=AH.\frac{{{a}^{2}}}{4} \)

 \( {{V}_{\min }}\Leftrightarrow A{{H}_{\min }}\Leftrightarrow AH\bot BC  \) tại H.

 \( \sin \widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AH=a.\sin {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \)

 \( \Rightarrow {{V}_{\min }}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8} \)

.

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho AH=2/3AC; mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60O

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho \( AH=\frac{2}{3}AC  \); mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60O. Thể tích khối chóp S.ABC là

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{36} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi M là trung điểm của BC.

 \( N\in CM:\frac{CN}{CM}=\frac{CH}{CA}=\frac{1}{3} \) \( \Rightarrow \text{H}N//AM \) .

Mà  \( \Delta ABC  \) đều nên  \( AM\bot BC\Rightarrow HN\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SHN \right) \)

Nên  \( \widehat{\left( (SBC),(ABC) \right)}=\widehat{\left( SN,HN \right)}=\widehat{SNH}={{60}^{0}} \).

Do  \( \Delta ABC  \) đều nên  \( AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HN=\frac{1}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{6} \)

 \( \Delta SHN  \) vuông tại H có  \( SH=HN.\sin \widehat{SNH}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sin {{60}^{0}}=\frac{a}{4} \).

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48}\)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD; gọi M là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60O

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD; gọi M là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60O. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABM.

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6} \)                               

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4} \)                               

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.