Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và chân đường cao H trùng với tâm của hình vuông ABCD.

Diện tích đáy của hợp chất S.ABCD là  \( {{S}_{ABCD}}={{a}^{2}} \).

Nhận thấy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).

Vì thế  \( \widehat{\left( SA,(ABC) \right)}=\widehat{\left( SA,HA \right)}=\widehat{SAH}={{45}^{0}} \)

Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:  \( AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2} \). Suy ra  \( HA=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Tam giác SHA vuông tại H và có  \( \widehat{SAH}={{45}^{0}} \) nên là tam giác vuông cân tại H. Suy ra  \( SH=HA=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Thể tích khối chóp S.ABCD là  \( V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \).