Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

A. \( \frac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} \)

B.  \( \frac{8{{a}^{3}}}{3} \)             

C.  \( \frac{8{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} \)       

D.  \( \frac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có: SO  \( \bot  \) (ABCD).

Xét tam giác SOA vuông tại O có SA = 2a,  \( AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.2a\sqrt{2}=a\sqrt{2} \)

Suy ra:  \( SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2} \)

Vậy  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{2}.{{(2a)}^{2}}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh AB = a và cạnh bên hợp với đáy một góc 45O. Thể tích V của khối chóp là

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh AB = a và cạnh bên hợp với đáy một góc 45O. Thể tích V của khối chóp là

A. \( V=\frac{{{a}^{3}}}{12} \)

B.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{6} \)             

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)                 

D.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO \( \bot \)  (ABC).

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên các cạnh bên đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

Góc giữa cạnh SC với đáy là góc giữa hai đường thẳng SC và OC hay chính là góc  \( \widehat{SCO} \).

Theo bài ra ta có:  \( \widehat{SCO}={{45}^{0}} \)  \( \Rightarrow \Delta SOC  \) vuông cân tại O.

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(CO=SO=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Diện tích đáy là \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Thể tích của khối chóp:  \( V=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABC}}.SO=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{{{a}^{3}}}{12} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 45O. Thể tích của khối chóp đó là

Có một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 45O. Thể tích của khối chóp đó là

A. \( \frac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \)           

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \)         

D.  \( 2\sqrt{2}{{a}^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Dựng hình chóp tứ giác đều S.ABCD thỏa mãn các điều kiện đề bài với O = AC  \( \cap  \) BD.

Theo giả thiết ta có: AB = 2a, SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45O suy ra  \( \widehat{SAO}={{45}^{0}} \)

ABCD là hình vuông cạnh 2a nên tính được  \( AC=2\sqrt{2}a\Rightarrow OA=a\sqrt{2} \)

Tam giác SOA vuông cân tại O vì có SO  \( \bot  \) OA,  \( \widehat{SAO}={{45}^{0}} \) suy ra  \( SO=OA=a\sqrt{2} \).

Vậy thể tích khối chóp là  \( V=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SO=\frac{1}{3}.4{{a}^{2}}.a\sqrt{2} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 45O. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh AB = a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 45O. Thể tích khối chóp S.ABCD là

A. \( \frac{{{a}^{3}}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \)                                 

C.  \( \frac{{{a}^{3}}}{6} \)             

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên đáy ABCD là hình vuông và chân đường cao H trùng với tâm của hình vuông ABCD.

Diện tích đáy của hợp chất S.ABCD là  \( {{S}_{ABCD}}={{a}^{2}} \).

Nhận thấy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).

Vì thế  \( \widehat{\left( SA,(ABC) \right)}=\widehat{\left( SA,HA \right)}=\widehat{SAH}={{45}^{0}} \)

Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:  \( AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2} \). Suy ra  \( HA=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Tam giác SHA vuông tại H và có  \( \widehat{SAH}={{45}^{0}} \) nên là tam giác vuông cân tại H. Suy ra  \( SH=HA=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Thể tích khối chóp S.ABCD là  \( V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \).

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60O. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60O. Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

A. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} \)

B.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} \)                           

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)                           

D.  \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O là tâm của đáy, gọi M là trung điểm của BC.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & SO\bot BC \\  & OM\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow (SOM)\bot BC \)

Suy ra:  \( \widehat{\left( (SCD),(ABCD) \right)}=\widehat{\left( SM,OM \right)}=\widehat{SMO}={{60}^{0}} \).

Có \(OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a\), \(SO=OM\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Thể tích khối chóp S.ABCD là:  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \).

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD), SABˆ=30^0, SA = 2a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD),  \( \widehat{SAB}={{30}^{0}} \), SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. \( V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \)

B.  \( V={{a}^{3}} \)     

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{9} \)                                        

D.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB.

Do  \( \left. \begin{align} & (SAB)\bot (ABCD) \\  & (SAB)\cap (ABCD)=AB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow SH\bot (ABCD) \)

Xét tam giác SAH vuông tại H, ta có: \(\sin \widehat{SAB}=\frac{SH}{SA}\) \(\Rightarrow SH=SA.\sin {{30}^{0}}=a\).

Mặt khác:  \( {{S}_{ABCD}}=A{{D}^{2}}={{a}^{2}} \)

Nên  \( {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.a=\frac{1}{3}.{{a}^{2}}.a=\frac{{{a}^{3}}}{3} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là 30O

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là 30O. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

A. \( \frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)           

C.  \( \frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \)       

D.  \( 2{{a}^{3}}\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Trong tam giác đều SAD gọi I là trung điểm AD  \( \Rightarrow SI\bot AD\Rightarrow SI\bot (ABCD) \).

Gọi M là trung điểm BC  \( \Rightarrow BC\bot IM  \)     (1)

Mặt khác do  \( SI\bot (ABCD)\Rightarrow BC\bot SI  \)    (2)

Từ (1), (2) suy ra  \( BC\bot SM  \).

Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) chính là góc  \( \widehat{SMI}={{30}^{0}} \).

Xét tam giác vuông SIM có  \( IM=\frac{SI}{\tan {{30}^{0}}}=3a  \) (vì tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a nên  \( SI=a\sqrt{3} \))

Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là  \( V=\frac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SI=\frac{1}{3}AD.BC.SI=2{{a}^{3}}\sqrt{3} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = AC = a, BACˆ=120^0. Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, AB = AC = a, \( \widehat{BAC}={{120}^{0}} \). Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A. \( V=\frac{{{a}^{3}}}{8} \)

B.  \( V={{a}^{3}} \)     

C.  \( V=\frac{{{a}^{3}}}{2} \)                                        

D.  \( V=2{{a}^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.