Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình −x^4+2x^2+3+2m=0 có 4 nghiệm phân biệt

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3+2m=0 \) có 4 nghiệm phân biệt.

A. \( -2\le m\le -\frac{3}{2} \)

B.  \( -\frac{3}{2}<m<2 \)   

C.  \( -2<m<-\frac{3}{2} \)      

D.  \( 3<m<4 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3+2m=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=2m  \)

Lập bảng biến thiên của hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3 \)

 


Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3 \) và đường thẳng  \( y=2m  \).

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 \( -4<2m<-3\Leftrightarrow -2<m<-\frac{3}{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=x^4−2x^2−3 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Với giá trị nào của m thì phương trình x^4−2x^2−3=2m−4 có 2 nghiệm phân biệt

Cho hàm số \( y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3 \) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Với giá trị nào của m thì phương trình  \( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=2m-4 \) có 2 nghiệm phân biệt.

 

A. \( \left[ \begin{align} & m<0 \\  & m=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)  

B.  \( m\le \frac{1}{2} \)            

C.  \( 0<m<\frac{1}{2} \)                                         

D.  \( \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình  \( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3=2m-4 \) có hai nghiệm phân biệt khi

 \( \left[ \begin{align}  & 2m-4=-4 \\  & 2m-4>-3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=0 \\  & m>\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số f(x)=−4x^4+8x^2−1. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình f(x)=m

Cho hàm số \( f(x)=-4{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình  \( f(x)=m  \) có đúng 2 nghiệm phân biệt?

A. 0

B. 2

C. 3                                   

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

 \( {f}'(x)=-16{{x}^{3}}+16x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Bảng biến thiên:

 


Phương trình  \( f(x)=m  \) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  \( f(x)=-4{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}-1 \) (C) và đường thẳng  \( y=m  \).

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt  \( \Leftrightarrow  \) Đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m<-1 \\ \end{align} \right. \).

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của m để phương trình  \( f(x)=m  \) có đúng hai nghiệm phân biệt.

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y=x^4−x^2 tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi

Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}} \) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi

A. \( -\frac{1}{4}<m<0 \)

B.  \( 0<m<\frac{1}{4} \)

C.  \( m>0 \) 

D.  \( m>-\frac{1}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Hàm số  \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}} \) có tập xác định  \( D=\mathbb{R} \)

 \( {y}’=4{{x}^{3}}-2x  \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right.\)

Bảng biến thiên:

 

Dựa vào bảng biến thiên đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{4}}-{{x}^{2}} \) tại 4 điểm phân biệt  \( \Leftrightarrow -\frac{1}{4}<m<0 \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x^4−4x^2+3+m=0 có 4 nghiệm phân biệt

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3+m=0 \) có 4 nghiệm phân biệt là:

A. \( \left( -1;3 \right) \)

B.  \( \left( -3;1 \right) \)   

C.  \( \left( 2;4 \right) \)             

D.  \( \left( -3;0 \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \({{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+3+m=0\)\(\Leftrightarrow -{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-3=m\)

Xét hàm số \(y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-3\), khi đó:

\({y}’=-4{{x}^{3}}+8x\)

\({y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\pm \sqrt{2} \\  & x=0 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra  \( {{y}_{CD}}=1;{{y}_{CT}}=-3 \)

 

Vậy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì  \( -3<m<1\Rightarrow m\in \left( -3;1 \right) \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đồ thị hàm số y=(2x−1)/(1−x) (C) và đường thẳng d:y=x+m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

Đồ thị hàm số \( y=\frac{2x-1}{1-x} \) (C) và đường thẳng  \( d:y=x+m  \). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

A. \( m>-1 \)

B.  \( -5<m<-1 \)             

C.  \( m<-5 \)                   

D.  \( m<-5\vee m>-1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Hàm số  \( y=\frac{2x-1}{1-x} \) có tập xác định  \( D=\mathbb{R}\backslash \{1\} \).

Lập phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{2x-1}{1-x}=x+m  \)  \( \left( x\ne 1 \right) \).

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2x-1=x+m-{{x}^{2}}-mx \\  & x\ne 1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x-\left( m+1 \right)=0\text{ }(*) \\  & x\ne 1 \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \)phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  \( x\ne 1 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & {{1}^{2}}+(m+1)-(m+1)\ne 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}+6m+5>0 \\  & 1\ne 0\text{ }(t/m) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<-5\vee m>-1\)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=2x+m cắt đồ thị của hàm số y=(x+3)/(x+1) tại hai điểm phân biệt

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \( y=2x+m  \) cắt đồ thị của hàm số  \( y=\frac{x+3}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt.

A. \(m\in \left( -\infty ;+\infty \right)\)

B. \(m\in \left( -1;+\infty  \right)\)             

C. \(m\in \left( -2;4 \right)\)                         

D. \(m\in \left( -\infty ;-2 \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm:  \( \frac{x+3}{x+1}=2x+m  \)  (*), với điều kiện xác định  \( x\ne -1 \).

Biến đổi (*) về thành:  \( 2{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+m-3=0 \) (**).

Theo yêu cầu đề bài, phương trình (**) cần có hai nghiệm phân biệt khác  \( -1 \), tức là:

\( \left\{ \begin{align}  & \Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}-4.3.\left( m-3 \right)>0 \\ & 2.{{\left( -1 \right)}^{2}}+\left( m+1 \right).\left( -1 \right)+m-3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-6m+25>0 \\  & -2\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;+\infty  \right) \)

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đường thẳng y=x+2m cắt đồ thị hàm số y=(x−3)/(x+1) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

Đường thẳng \( y=x+2m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{x-3}{x+1} \) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

A. \( \left[ \begin{align} & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \)                 

B.  \( \left[ \begin{align} & m\le -1 \\  & m\ge 3 \\ \end{align} \right. \)                       

C.  \( \left[ \begin{align}  & m<-3 \\  & m>1 \\ \end{align} \right. \)                          

D.  \( -3<m<1 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho

 \( \frac{x-3}{x+1}=x+2m  \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \left( x+2m \right)\left( x+1 \right)=x-3 \\  & x\ne -1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+2m+3=0 \) (*) (vì khi  \( x=-1 \) thì phương trình trở thành  \( 0=-4 \) vô lí).

Để đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó m phải thỏa mãn  \( {{{\Delta }’}_{(*)}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-3>0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\ & m>3 \\ \end{align} \right. \)

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m là:  \( \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \).

 

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−2020;2020] của tham số m để đường thẳng y=x+m cắt đồ thị hàm số y=(2x−3)/(x−1) tại hai điểm phân biệt

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn \( \left[ -2020;2020 \right] \) của tham số m để đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-3}{x-1} \) tại hai điểm phân biệt?

A. 4036

B. 4040                            

C. 4038                            

D. 4034

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng  \( y=x+m  \) và đường cong  \( y=\frac{2x-3}{x-1} \)

 \( x+m=\frac{2x-3}{x-1}\Leftrightarrow \left( x+m \right)\left( x-1 \right)=2x-3 \left( x\ne 1 \right) \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx-x-m=2x-3 \) \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-m+3=0 \) (*)

Ta có:

 \( \Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}-4\left( -m+3 \right) \) \( ={{m}^{2}}-6m+9+4m-12={{m}^{2}}-2m-3 \)

Để đường thẳng  \( y=x+m  \) cắt đồ thị hàm số  \( y=\frac{2x-3}{x-1} \) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \Delta >0 \\  & {{1}^{2}}+(m-3).1-m+3\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{m}^{2}}-2m-3>0 \\  & 1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \).

Theo giả thiết:  \( -2020\le m\le 2020 \) và  \( \left[ \begin{align}  & m<-1 \\  & m>3 \\ \end{align} \right. \) nên \( \left[ \begin{align}  & -2020\le m<-1 \\  & 3<m\le 2020 \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( -2020\le m<-1 \), suy ra có:  \( -2-\left( -2020 \right)+1=2019 \) giá trị nguyên m.

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) và  \( 3<m\le 2020 \), suy ra có:  \( 2020-4+1=2017 \) giá trị nguyên m.

Tóm lại có tất cả  \( 2019 + 2017 = 4036 \) giá trị nguyên của tham số m.

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=−x+5 cắt đồ thị hàm số y=x^3+2mx^2+3(m−1)x+5 tại 3 điểm phân biệt

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \( y=-x+5 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3(m-1)x+5 \) tại 3 điểm phân biệt

A. \( \left[ \begin{align} & m<1 \\ & m>2 \\ \end{align} \right. \)

B. \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} \left\{\begin{matrix} m\ne \frac{2}{3} \\ m\le 1  \end{matrix}\right.    \\   m\ge 2 &   \\   \end{align} \right.  \)                             

C. \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   \left\{\begin{matrix} m\ne \frac{2}{3} \\ m < 1  \end{matrix}\right.    \\   m > 2 &   \\   \end{align} \right.  \)                              

D. \( \left[ \begin{align} & m\le 1 \\ & m\ge 2 \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Phương trình hoành độ giao điểm chung là:  \( {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3(m-1)x+5=-x+5 \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+(3m-2)x=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}+2mx+3m-2=0\text{  }(1) \\ \end{align} \right. \)

Đường thẳng \(  y=-x+5 \) cắt đồ thị hàm số  \( y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+3(m-1)x+5 \) tại 3 điểm phân biệt

 \( \Leftrightarrow  \) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {\Delta }’={{m}^{2}}-3m+2>0 \\ & 3m-2\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l} m>2 \\ m<1  \end{array}\right.  \\ m\ne \frac{2}{3}  \end{cases} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}   \left\{\begin{matrix} m\ne \frac{2}{3} \\ m < 1  \end{matrix}\right.    \\   m > 2 &   \\   \end{align} \right.  \)