Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Đặt \( g(x)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2({{x}^{2}}-4x)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}-12\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1 \). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn \( [1;4] \) bằng
A. \( 12-2\sqrt{4} \).
B. \( -12-12\sqrt{6} \).
C. \( -12-2\sqrt{4} \).
D. \( 12-12\sqrt{6} \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Từ đồ thị suy ra \( f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}'(x)=4{{x}^{3}}-4x \)
Đặt \( t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6},x\in [1;4]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \).
Ta có: \( g(x)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2({{x}^{2}}-4x+6)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1 \).
Suy ra hàm số đã cho trở thành
\(h(t)=f(t)-2{{t}^{3}}+1\Rightarrow {h}'(t)={f}'(t)-6{{t}^{2}}\).
\( h(t)=0\Leftrightarrow {f}'(t)-6{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\ & t=-\frac{1}{2}\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\ & t=2\in (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\ \end{align} \right. \).
Ta có:
\( h(\sqrt{2})=f(\sqrt{2})-2\cdot {{(\sqrt{2})}^{3}}+1=-2-4\sqrt{2} \).
\( h(2)=f(2)-2\cdot {{(2)}^{3}}+1=-10 \).
\( h(\sqrt{6})=f(\sqrt{6})-2\cdot {{(\sqrt{6})}^{3}}+1=22-12\sqrt{6} \).
Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số h(t) trên đoạn \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) lần lượt là \( 22-12\sqrt{6} \) và \( -10 \).
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g(x) trên \( [1;4] \) là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h(t) trên \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) và bằng \( 12-12\sqrt{6} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng