Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [1;4] bằng

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Đặt  \( g(x)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2({{x}^{2}}-4x)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}-12\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1 \). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn  \( [1;4] \) bằng

A. \( 12-2\sqrt{4} \).

B.  \( -12-12\sqrt{6} \).    

C.  \( -12-2\sqrt{4} \).      

D.  \( 12-12\sqrt{6} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Từ đồ thị suy ra  \( f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}'(x)=4{{x}^{3}}-4x \)

Đặt  \( t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6},x\in [1;4]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \).

Ta có:  \( g(x)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2({{x}^{2}}-4x+6)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1 \).

Suy ra hàm số đã cho trở thành

\(h(t)=f(t)-2{{t}^{3}}+1\Rightarrow {h}'(t)={f}'(t)-6{{t}^{2}}\).

 \( h(t)=0\Leftrightarrow {f}'(t)-6{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\  & t=-\frac{1}{2}\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\  & t=2\in (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\ \end{align} \right. \).

Ta có:

 \( h(\sqrt{2})=f(\sqrt{2})-2\cdot {{(\sqrt{2})}^{3}}+1=-2-4\sqrt{2} \).

 \( h(2)=f(2)-2\cdot {{(2)}^{3}}+1=-10 \).

 \( h(\sqrt{6})=f(\sqrt{6})-2\cdot {{(\sqrt{6})}^{3}}+1=22-12\sqrt{6} \).

Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số h(t) trên đoạn  \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) lần lượt là  \( 22-12\sqrt{6} \) và  \( -10 \).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g(x) trên  \( [1;4] \) là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h(t) trên  \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) và bằng  \( 12-12\sqrt{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Xét T=103f(a2+a+1)+234f(af(b)+bf(a)), (a,b∈R). Biết T có giá trị lớn nhất bằng M đạt tại m cặp (a;b), khi đó Mm bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và có đồ thị như hình vẽ:

Xét \(T=103f\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)+234f\left( af(b)+bf(a) \right),\text{ }(a,b\in \mathbb{R})\). Biết T có giá trị lớn nhất bằng M đạt tại m cặp (a;b), khi đó  \( \frac{M}{m} \) bằng:

A. \( \frac{1011}{4} \).                                          

B.  \( \frac{1011}{8} \).   

C.  \( \frac{337}{2} \).              

D.  \( \frac{674}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Quan sát đồ thị đã cho ta có  \( \underset{\mathbb{R}}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(3)=6 \).

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \max f({{a}^{2}}+a+1)=6 \\  & \max f\left( af(b)+bf(a) \right)=6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{T}_{max}}=(103+234)\times 6=2022 \).

Dấu bằng đạt tại  \( \left\{ \begin{align}  & a=1 \\  & {{a}^{2}}+a+1=3 \\  & af(b)+bf(a)=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \left\{ \begin{align}  & f(b)=3-f(1)=3\Rightarrow 4{{n}_{0}} \\  & a=-2 \\ \end{align} \right. \\  & f(b)=\frac{3-bf(-2)}{-2}=-\frac{3}{2}\Rightarrow 4{{n}_{0}} \\ \end{align} \right. \), ( \( f(1)=f(-2)=0 \)) tức có 8 cặp (a;b).

Vậy  \( \frac{M}{m}=\frac{2022}{8}=\frac{1011}{4} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Giá trị lớn nhất của hàm số h(x)=3f(x)−x3+3x trên đoạn

Cho hàm số f(x) có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ:

 

Giá trị lớn nhất của hàm số  \( h(x)=3f(x)-{{x}^{3}}+3x \) trên đoạn  \( \left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right] \) bằng:

A. \( 2f(1)+2 \).

B.  \( 3f(0) \).                    

C.  \( 3f\left( -\sqrt{3} \right) \).             

D.  \( 3f\left( \sqrt{3} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: \({h}'(x)=3{f}'(x)-3{{x}^{2}}+3=3\left[ {f}'(x)-({{x}^{2}}-1) \right]\le 0,\forall x\in \left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right]\). Vì vẽ thêm parabol  \( y={{x}^{2}}-1 \) qua các điểm  \( (0;-1);\text{ }(-\sqrt{3};2);\text{ }(\sqrt{3};2) \). Nhận thấy  \( {f}'(x) \) nằm dưới parabol trên đoạn  \( \left[ -\sqrt{3};\sqrt{3} \right] \).

Vậy  \( \underset{[-\sqrt{3};\sqrt{3}]}{\mathop{Max}}\,h(x)=h(-\sqrt{3})=3f(-\sqrt{3}) \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên [−4;4], có các điểm cực trị trên (−4;4) là −3;−4/3;0;2 và có đồ thị như hình vẽ

Hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm trên  \( [-4;4] \), có các điểm cực trị trên  \( (-4;4) \) là  \( -3;-\frac{4}{3};0;2 \) và có đồ thị như hình vẽ.

Đặt  \( g(x)=f({{x}^{3}}+3x)+m \) với m là tham số. Gọi m1 là giá trị của m để  \( \underset{[0;1]}{\mathop{Max}}\,g(x)=2022 \), m2 là giá trị của m để  \( \underset{[-1;0]}{\mathop{\min }}\,g(x)=2004 \). Giá trị của  \( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \) bằng:

A.12.

B. 13.

C. 11.                               

D. 14.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Trước tiên, xét hàm số  \( y={{x}^{3}}+3x \), có bảng biến thiên như sau:

+ Có  \( {g}'(x)=(3{{x}^{2}}+3).{f}'({{x}^{3}}+3x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{3}}+3x=-3 \\  & {{x}^{3}}+3x=-\frac{4}{3} \\  & {{x}^{3}}+3x=0 \\  & {{x}^{3}}+3x=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x={{x}_{1}}\in [-1;0] \\  & x={{x}_{2}}\in [-1;0] \\  & x=0 \\  & x={{x}_{3}}\in [0;1] \\ \end{align} \right. \).

+ Trên  \( [0;1] \), có  \( g(0)=f(0)+m=3+m; \)  \( g({{x}_{3}})=f(2)+m=-3+m; \)  \( g(1)=f(4)+m=1+m \).

Dễ thấy  \( \underset{[0;1]}{\mathop{Max}}\,g(x)=3+m=2022 \), suy ra  \( {{m}_{1}}=m=2022-3=2019 \).

+ Trên  \( [-1;0] \), có  \( g(0)=f(0)+m=3+m; \)  \( g(-1)=f(-4)+m=-1+m; \)  \( g({{x}_{1}})=f(-3)+m=4+m; \)  \( g({{x}_{2}})=f\left( -\frac{4}{3} \right)+m=2+m \).

Dễ thấy  \( \underset{[-1;0]}{\mathop{\min }}\,g(x)=-1+m=2004 \), suy ra  \( {{m}_{2}}=m=2004+1=2005 \).

Vậy  \( {{m}_{1}}-{{m}_{2}}=2019-2005=14 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f′(x)=(x+1)(x−1)^2(x−2). Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số f(x) có đạo hàm \( {f}'(x)=(x+1){{(x-1)}^{2}}(x-2) \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số  \( g(x)=f(x)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-x-2 \) có đạo hàm trên đoạn  \( [-1;2] \) bằng

A. \( f(2)-\frac{3}{4} \).

B.  \( f(1)-\frac{8}{3} \).  

C.  \( f(0)-2 \).                  

D.  \( f(-1)-\frac{4}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:  \( {g}'(x)={f}'(x)+{{x}^{2}}-1=(x+1){{(x-1)}^{2}}(x-2)+{{x}^{2}}-1=(x+1)(x-1)({{x}^{2}}-3x+3) \).

\({g}'(x)=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)({{x}^{2}}-3x+3)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=1 \\  & {{x}^{2}}-3x+3=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại  \( x=1 \) suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số  \( g(x) \) là  \( g(1)=f(1)-\frac{8}{3} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Cho hàm số y=(x^3−3x+m)^2. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1;1] bằng 1

Cho hàm số \( y={{\left( {{x}^{3}}-3x+m \right)}^{2}} \). Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \) bằng 1 là:

A. 1

B. \( -4 \)                          

C. 0                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đặt \( t={{x}^{3}}-3x,x\in \left[ -1;1 \right]\)  \( \Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right] \).

Khi đó, ta có hàm số  \( f(t)={{\left( t+m \right)}^{2}} \).

 \( {f}'(t)=2(t+m) \);  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow t=-m  \).

Trường hợp 1: \( -2<-m<2\Leftrightarrow -2<m<2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(-m)=0 \) không thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 2:  \( -m\le -2\Leftrightarrow m\ge 2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(-2)={{\left( m-2 \right)}^{2}} \).

Theo yêu cầu bài toán: \( {{\left( m-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \) \( \xrightarrow{m\ge 2}m=3 \).

Trường hợp 3:  \( -m\ge 2\Leftrightarrow m\le -2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(2)={{\left( m+2 \right)}^{2}} \).

Theo yêu cầu bài toán: \( {{\left( m+2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=-3 \\  & m=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \xrightarrow{m\le -2}m=-3 \).

Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là:  \( 3+(-3)=0 \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...