Cho hàm số y=(x^3−3x+m)^2. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1;1] bằng 1

Cho hàm số \( y={{\left( {{x}^{3}}-3x+m \right)}^{2}} \). Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  \( \left[ -1;1 \right] \) bằng 1 là:

A. 1

B. \( -4 \)                          

C. 0                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

Đặt \( t={{x}^{3}}-3x,x\in \left[ -1;1 \right]\)  \( \Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right] \).

Khi đó, ta có hàm số  \( f(t)={{\left( t+m \right)}^{2}} \).

 \( {f}'(t)=2(t+m) \);  \( {f}'(t)=0\Leftrightarrow t=-m  \).

Trường hợp 1: \( -2<-m<2\Leftrightarrow -2<m<2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(-m)=0 \) không thỏa mãn yêu cầu.

Trường hợp 2:  \( -m\le -2\Leftrightarrow m\ge 2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(-2)={{\left( m-2 \right)}^{2}} \).

Theo yêu cầu bài toán: \( {{\left( m-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=3 \\  & m=1 \\ \end{align} \right. \) \( \xrightarrow{m\ge 2}m=3 \).

Trường hợp 3:  \( -m\ge 2\Leftrightarrow m\le -2 \)

Từ bảng biến thiên ta thấy:  \( \underset{[-2;2]}{\mathop{min }}\,f(t)=f(2)={{\left( m+2 \right)}^{2}} \).

Theo yêu cầu bài toán: \( {{\left( m+2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=-3 \\  & m=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \xrightarrow{m\le -2}m=-3 \).

Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là:  \( 3+(-3)=0 \)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Giá trị lớn nhất của hàm số y=(x^3+x^2−m)/(x+1) trên [0;2] bằng 5

Giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) trên  \( \left[ 0;2 \right] \) bằng 5. Tham số m nhận giá trị là:

A. \( -5 \)

B. 1                                   

C.  \( -3 \)           

D.  \( -8 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Cách 1:

Tập xác định của hàm số:  \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) \( \Rightarrow \left[ 0;2 \right]\subset D \)

Ta có:  \( y=\frac{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-m}{x+1} \) \( \Rightarrow {y}’=\frac{2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \)

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+m=0 \) \( \Leftrightarrow -\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right)=m \)  (1).

Ta có:  \( y(0)=-m  \);  \( y(2)=4-\frac{m}{3} \)

Đặt  \( g(x)=-\left( 2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x \right) \) \( \Rightarrow {g}'(x)=-\left( 6{{x}^{2}}+8x+2 \right)=0 \) \( \Leftrightarrow x=-1\vee x=-\frac{1}{3} \)

Trên  \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:  \( g(x)\in \left[ -36;0 \right],\forall x\in \left[ 0;2 \right] \)

Trường hợp 1: m > 0  \( \Rightarrow  \) phương trình (1) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow  \)phương trình  \( {y}’=0 \) vô nghiệm.

Dễ thấy  \( y(0)=-m<y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi  \( m>0 \).

Khi đó:  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(2)=4-\frac{m}{3}=5\Leftrightarrow m=-3 \) loại do  \( m>0 \) .

Trường hợp 2:  \( m<-36\Rightarrow  \)phương trình (1) vô nghiệm  \( \Leftrightarrow  \) phương trình  \( {y}’=0 \) vô nghiệm.

Dễ thấy  \( y(0)=-m>y(2)=4-\frac{m}{3} \) khi  \( m<-36 \).

Khi đó  \( \underset{[0;2]}{\mathop{Max}}\,y=y(0)=-m=5\Leftrightarrow m=-5 \) loại do  \( m<-36 \).

Trường hợp 3:  \( m\in \left[ -36;0 \right]\Rightarrow  \)phương trình  \( {y}’=0 \) có nghiệm duy nhất (giả sử  \( x={{x}_{0}} \)).

Trên  \( \left[ 0;2 \right] \) ta có bảng biến thiên: