Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y=(x+m^2+m)/(x−1) trên đoạn [2;3]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để A+B=13/2

Gọi A, B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{x+{{m}^{2}}+m}{x-1} \) trên đoạn  \( \left[ 2;3 \right] \). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để  \( A+B=\frac{13}{2} \).

A. \( m=1;m=-2 \)

B.  \( m=-2 \)                    

C.  \( m=\pm 2 \)             

D.  \( m=-1;m=2 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét hàm số  \( y=\frac{x+{{m}^{2}}+m}{x-1} \) trên đoạn [2;3].

 \( {y}’=\frac{-{{m}^{2}}-m-1}{{{(x-1)}^{2}}}<0,\forall x\in \left[ 2;3 \right] \) \( \Rightarrow A=f(3)=\frac{{{m}^{2}}+m+3}{2},B=f(2)=\frac{{{m}^{2}}+m+2}{1} \)

\(A+B=\frac{13}{2}\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}+m+3}{2}+\frac{{{m}^{2}}+m+2}{1}=\frac{13}{2}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=-2 \\ \end{align} \right.\).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y=(x−m^2)/(−2x−m) trên đoạn [0;4] bằng −1

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \( y=\frac{x-{{m}^{2}}-2}{x-m} \) trên đoạn  \( \left[ 0;4 \right] \) bằng  \( -1 \).

A. 3

B. 2

C. 1                                   

D. 0

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R}\backslash \{m\} \).

 \( {y}’=\frac{{{m}^{2}}-m+2}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}>0,\forall x\ne m  \).

Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  \( \left( -\infty ;m \right) \) và  \( \left( m;+\infty  \right) \).

Bảng biến thiên của hàm số:

 

Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên [0;4] bằng  \( -1 \) khi  \( \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & f(4)=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & \frac{2-{{m}^{2}}}{4-m}=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & {{m}^{2}}+m-6=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \begin{cases} m<0  \\\left[\begin{array}{l} m=2  \\ m=-3 \end{array}\right.\end{cases} \Leftrightarrow m=-3\)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(x+m)/(x+1) trên đoạn [1;2] bằng 8

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y=\frac{x+m}{x+1} \) trên đoạn  \( \left[ 1;2 \right] \) bằng 8 (m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. m > 10

B. 8 < m < 10

C. 0 < m < 4                   

D. 4 < m < 8

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có: \( {y}’=\frac{1-m}{{{(x+1)}^{2}}} \).

+ Nếu m = 1  \( \Rightarrow y=1 \) (loại).

+ Nếu  \( m\ne 1 \) khi đó  \( {y}'<0,\forall x\in \left[ 1;2 \right] \) hoặc  \( {y}’>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right] \) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại x = 1, x = 2.

Theo bài ra: \(\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y=8\)\(\Leftrightarrow y(1)+y(2)=\frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=8\)\(\Leftrightarrow m=\frac{41}{5}\in \left( 8;10 \right)\)

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=(x+m)/(x+1) (m là tham số thực) thỏa mãn min[1;2]y+Max[1;2]y=163

(THPTQG – 2017 – 110) Cho hàm số \( y=\frac{x+m}{x+1} \) (m là tham số thực) thỏa mãn  \( \underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{16}{3} \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m > 4

B. \( 2<m\le 4 \)              

C.  \( m\le 0 \)                   

D.  \( 0<m\le 2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=\frac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \).

+ Nếu m = 1  \( y=1,\forall x\ne -1 \). Không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ Nếu m < 1  \( \Rightarrow  \) Hàm số đồng biến trên đoạn  \( \left[ 1;2 \right] \).

Khi đó:  \( \underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow y(1)+y(2)=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow \frac{m+1}{2}+\frac{m+2}{3}=\frac{16}{3}\Leftrightarrow m=5 \) (loại).

+ Nếu m > 1  \( \Rightarrow  \) Hàm số nghịch biến trên đoạn [1;2].

Khi đó:  \( \underset{[1;2]}{\mathop{min }}\,y+\underset{[1;2]}{\mathop{Max}}\,y=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow y(2)+y(1)=\frac{16}{3} \) \( \Leftrightarrow \frac{2+m}{3}+\frac{1+m}{2}=\frac{16}{3}\Leftrightarrow m=5 \) (thỏa mãn).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=(x+m)/(x−1) (m là tham số thực) thỏa mãn min[2;4]y=3. Mệnh đề nào dưới đây đúng

(THPTQG – 2017 – 123) Cho hàm số \( y=\frac{x+m}{x-1} \) (m là tham số thực) thỏa mãn  \( \underset{[2;4]}{\mathop{min }}\,y=3 \). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \( m>4 \)                                          

B.  \( 3<m\le 4 \)              

C.  \( m<-1 \)

D.  \( 1\le m<3 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=\frac{-1-m}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \)

+ Trường hợp 1:  \( -1-m>0\Leftrightarrow m<-1 \) suy ra y đồng biến trên [2;4] suy ra

 \( \underset{[2;4]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(2)=\frac{2+m}{1}=3 \)  \( \Leftrightarrow m=1 \) (loại)

+ Trường hợp 2:  \( -1-m<0\Leftrightarrow m>-1 \) suy ra y nghịch biến trên  \( \left[ 2;4 \right] \) suy ra

 \( \underset{[2;4]}{\mathop{min }}\,f(x)=f(4)=\frac{4+m}{3}=3 \)  \( \Leftrightarrow m=5 \) suy ra  \( m>4 \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!