Biết rằng f(0)=0. Hỏi hàm số g(x)=∣f(x6)−x3∣ có bao nhiêu điểm cực đại

Biết rằng \( f(0)=0 \). Hỏi hàm số  \( g(x)=\left| f({{x}^{6}})-{{x}^{3}} \right| \) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 2.

B. 4.

C. 3.                                  

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

 \( h(x)=f({{x}^{6}})-{{x}^{3}}\Rightarrow {h}'(x)=6{{x}^{5}}{f}'({{x}^{6}})-3{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}\left( 2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}=0 \\  & 2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1=0 \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( u(x)=2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1\Rightarrow {u}'(x)=6{{x}^{2}}{f}'({{x}^{6}})+12{{x}^{8}}{f}”({{x}^{6}})\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

(Từ đồ thị ta có  \( {{x}^{6}}\ge 0\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {f}'({{x}^{6}})>0 \\  & {f}”({{x}^{6}})>0 \\ \end{align} \right. \) do đó  \( \left\{ \begin{align}  & 6{{x}^{2}}{f}'({{x}^{6}})\ge 0 \\  & 12{{x}^{8}}{f}”({{x}^{6}})\ge 0 \\ \end{align} \right.,\forall x\in \mathbb{R} \))

Nên  \( u(x)=2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1 \) đồng biến và liên tục trên  \( \mathbb{R} \)

(do f(x) là hàm đa thức  \( \Rightarrow u(x) \) là hàm đa thức) và  \( \left\{ \begin{align}  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,u(x)=-\infty  \\  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,u(x)=+\infty  \\ \end{align} \right. \).

Suy ra phương trình  \( u(x)=2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1=0 \) có nghiệm duy nhất.

Giả sử  \( 2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})=\frac{1}{2} \) có nghiệm là  \( {{x}_{0}} \) (do \({f}'(x_{0}^{6})>0\))  \( \Rightarrow x_{0}^{3}>0\Rightarrow {{x}_{0}}>0 \).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số  \( g(x)=\left| h(x) \right| \) có 1 điểm cực đại.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Số điểm cực tiểu của hàm số g(x)=4f(x^2−4)+x^4−8x^2 là

Cho hàm số bậc bốn f(x) có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ:

Số điểm cực tiểu của hàm số  \( g(x)=4f({{x}^{2}}-4)+{{x}^{4}}-8{{x}^{2}} \) là:

A. 4.

B. 7.                                  

C. 3.                                  

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Có  \( {g}'(x)=8x{f}'({{x}^{2}}-4)+4{{x}^{3}}-16x=8x\left( {f}'({{x}^{2}}-4)+\frac{{{x}^{2}}-4}{2} \right) \).

Xét  \( {f}'(x)+\frac{x}{2}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=-\frac{x}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-2 \\  & x=0 \\  & x=4 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra  \( {f}'(x)+\frac{x}{2} \) là đa thức bậc ba có 3 nghiệm là  \( x=-2;x=0;x=4 \) nên  \( {f}'(x)+\frac{x}{2}=a(x+2)x(x-4) \),  \( \left( a>0,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty  \right) \).

Do đó  \( {g}'(x)=8ax({{x}^{2}}-4+2)({{x}^{2}}-4)({{x}^{2}}-4-4)=8ax({{x}^{2}}-2)({{x}^{2}}-4)({{x}^{2}}-8) \) đổi dấu tử âm sang dương khi các điểm  \( x=-2\sqrt{2};x=-\sqrt{2};x=\sqrt{2};x=2\sqrt{2} \) nên g(x) có 4 điểm cực tiểu.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Gọi m, n lần lượt là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số g(x)=|f(|x|)+3|x||. Giá trị của mn bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và  \( f(0)<0 \), đồ thị của  \( {f}'(x) \) như hình vẽ:

 

Gọi m, n lần lượt là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số  \( g(x)=\left| f\left( \left| x \right| \right)+3\left| x \right| \right| \). Giá trị của  \( {{m}^{n}} \) bằng:

A. 4.

B. 8.

C. 27.                               

D. 16.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Xét hàm số  \( u(x)=f\left( \left| x \right| \right)+3\left| x \right| \) là một hàm số chẵn nên chỉ cần xét trên  \( \left[ 0;+\infty  \right) \) để suy ra bảng biến thiên của  \( u(x) \) trên cả  \( \mathbb{R} \).

Với  \( x\ge 0\Rightarrow u(x)=f(x)+3x\Rightarrow {u}'(x)={f}'(x)+3=0\Leftrightarrow {f}'(x)=-3\xrightarrow{x\ge 0}x=0;x=1;x=2 \).

Bảng biến thiên:

Trong đó  \( u(-1)=u(1)=f(1)+3;\text{ }u(0)=f(0)<0 \).

Suy ra  \( g(x)=\left| u(x) \right| \) có tất cả 5 điểm cực trị trong đó 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số bậc ba f(x) và hàm số g(x)=f(x+1) thỏa mãn (x−1)g′(x+3)=(x+1)g′(x+2),∀x∈R. Số điểm cực trị của hàm số y=f(2×2−4x+5) là

Cho hàm số bậc ba f(x) và hàm số \( g(x)=f(x+1) \) thỏa mãn  \( (x-1){g}'(x+3)=(x+1){g}'(x+2),\forall x\in \mathbb{R} \). Số điểm cực trị của hàm số  \( y=f(2{{x}^{2}}-4x+5) \) là:

A. 1.

B. 3.

C. 2.                                  

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Cho  \( g(x)=f(x+1)\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x+1)\Rightarrow {g}'(x+3)={f}'(x+4);\text{ }{g}'(x+2)={f}'(x+3) \).

Thay vào giả thiết đã cho có:

 \( (x-1){g}'(x+3)=(x+1){g}'(x+2)\Leftrightarrow (x-1){f}'(x+4)=(x+1){f}'(x+3) \)   (*).

Thay  \( x=-1 \) vào hai vế của (*) có  \( {f}'(3)=0 \); thay  \( x=1 \) vào hai vế của (*) có {f}'(4)=0.

Do đó  \( {f}'(x) \) là đa thức bậc hai có 2 nghiệm  \( {{x}_{1}}=3;\text{ }{{x}_{2}}=4 \) nên  \( {f}'(x)=a(x-3)(x-4) \).

Khi đó hàm số  \( y=f(2{{x}^{2}}-4x+5) \) có đạo hàm

 \( {y}’=(4x-4){f}'(2{{x}^{2}}-4x+5)=4a(x-1)(2{{x}^{2}}-4x+5-3)(2{{x}^{2}}-4x+5-4) \)

 \( =8a{{(x-1)}^{3}}(2{{x}^{2}}-4x+1) \) đổi dấu 3 lần nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x)=f(2x^2−4|x|+m−3) có 7 điểm cực trị

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đồ thị hàm số  \( y={f}'(x) \) như hình vẽ.

Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(  g(x)=f\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right) \) có 7 điểm cực trị.

A. 1.

B. 2.                                  

C. 4.                                  

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( {g}'(x)={{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}.{f}’\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right) \).

Suy ra  \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}.{f}’\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0 \\  & {f}’\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0 \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3=-1 \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3=2 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0\begin{matrix}  {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m-1\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m+2\begin{matrix}   {} & (3)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

+ Xét phương trình  \( {{\left( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|+m-3 \right)}^{\prime }}=0 \)   (1)

Với  \( x\ge 0\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 4x-4=0\Leftrightarrow x=1 \) (thỏa mãn).

Với  \( x<0\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 4x+4=0\Leftrightarrow x=-1 \) (thỏa mãn).

Khi đó  \( x=-1;x=0;x=1 \) là 3 điểm cực trị của hàm số.

+ Xét phương trình  \( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m-1 \)  (2)

Từ đồ thị suy ra phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm là bội chẵn nên hàm số  \( {g}'(x) \)  không đổi dấu nên không phải là cực trị.

+ Xét phương trình  \( 2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3=-m+2 \).

Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác  \( 0;\pm 1 \).

Xét hàm số  \( y=2{{x}^{2}}-4\left| x \right|-3 \) có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra:  \( -5<-m+2<-3\Leftrightarrow 5<m<7 \).

Vì  \( m\in \mathbb{Z} \) nên  \( m=6 \). Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y=f(5−2x) như hình vẽ bên dưới

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \). Đồ thị của hàm số  \( y=f(5-2x) \) như hình vẽ bên dưới:

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc khoảng  \( (-9;9) \) thỏa mãn  \( 2m\in \mathbb{Z} \) và hàm số  \( y=\left| 2f(4{{x}^{3}}+1)+m-\frac{1}{2} \right| \) có 5 điểm cực trị?

A. 26.

B. 25.                                

C. 27.                               

D. 24.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( t=5-2x\Rightarrow x=\frac{5-t}{2} \).

Bảng biến thiên của hàm số  \( f(t) \):

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số  \( y=f(t) \) có 3 điểm cực trị.

Đặt  \( g(x)=f(4{{x}^{3}}+1)\Rightarrow {g}'(x)=12{{x}^{2}}{f}'(4{{x}^{3}}+1) \).

Cho  \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=0 \\  & {f}'(4{{x}^{3}}+1)=0\begin{matrix}   {} & (*)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \) (có 3 nghiệm đơn)

 \( \Rightarrow \)  Hàm số  \( y=f(4{{x}^{3}}+1) \) có 3 điểm cực trị.

Hàm số  \( y=\left| 2f(4{{x}^{3}}+1)+m-\frac{1}{2} \right| \) có 5 điểm cực trị  \( \Leftrightarrow \)  Hàm số  \( \frac{y}{2}=\left| f(4{{x}^{3}}+1)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4} \right| \) có 5 điểm cực trị

 \( \Leftrightarrow \)  Phương trình  \( f(4{{x}^{3}}+1)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \)  (1) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ.

Đặt  \( t=4{{x}^{3}}+1\Rightarrow {t}’=12{{x}^{2}} \). Suy ra t là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \). Ứng với mỗi giá trị của t ta có một giá trị của x.

Số nghiệm của phương trình bằng số nghiệm của phương trình  \( f(t)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \).

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình  \( f(t)+\frac{m}{2}-\frac{1}{4}=0 \) có 2 nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ khi và chỉ khi

 \( \left[ \begin{align} & \frac{1}{4}-\frac{m}{2}\ge \frac{9}{4} \\  & -4<\frac{1}{4}-\frac{m}{2}\le 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m\le -4 \\  & \frac{1}{2}\le m\le \frac{17}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2m\le -8 \\  & 1\le 2m<17 \\ \end{align} \right. \).

Kết hợp yêu cầu  \( m\in (-9;9) \) và  \( 2m\in \mathbb{Z} \) ta có 26 giá trị thực của m thỏa đề bài.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) xác định trên R, có đạo hàm f′(x)=(x2−4)(x−5),∀x∈R và f(1)=0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số g(x)=∣f(x2+1)−m∣ có nhiều điểm cực trị nhất

Cho hàm số f(x) xác định trên \( \mathbb{R} \), có đạo hàm  \( {f}'(x)=({{x}^{2}}-4)(x-5),\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f(1)=0 \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số  \( g(x)=\left| f({{x}^{2}}+1)-m \right| \) có nhiều điểm cực trị nhất?

A. 6.

B. 8.                                  

C. 5.                                  

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Xét  \( k(x)=f({{x}^{2}}+1)-m\Rightarrow {k}'(x)=2xf({{x}^{2}}+1) \).

 \( {k}'(x)=0\Leftrightarrow 2x{f}'({{x}^{2}}+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & {{x}^{2}}+1=2 \\  & {{x}^{2}}+1=-2 \\ & {{x}^{2}}+1=5 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=0 \\  & x=1 \\  & x=-1 \\  & x=-2 \\  & x=2 \\ \end{align} \right. \).

Lại có  \( f(x)=\int{{f}'(x)dx}=\int{({{x}^{2}}-4)(x-5)dx}=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x+C \).

Vì  \( f(1)=0 \) nên  \( f(x)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{5}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+20x-\frac{199}{12} \).

Bảng biến thiên:

Nhận xét:

+ Số điểm cực trị của hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) bằng số điểm cực trị của hàm số  \( y=f(x) \) cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số  \( y=f(x) \) với trục Ox.

+ Hàm số  \( g(x)=\left| f({{x}^{2}}+1)-m \right| \) có nhiểu điểm cực trị nhất khi và chỉ khi  \( g(x)=f({{x}^{2}}+1)-m \) cắt Ox nhiều điểm nhất.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -\frac{995}{12}-m<0 \\  & -\frac{461}{6}-m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -\frac{995}{12}<m<-\frac{461}{6} \).

Vì  \( m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-82;-81;…;-76\} \). Vậy có 7 giá trị nguyên của m.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x)=x4−14×3+36×2+(16−m)x với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số g(x)=f(|x|) có 7 điểm cực trị

Cho hàm số \( f(x)={{x}^{4}}-14{{x}^{3}}+36{{x}^{2}}+(16-m)x \) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số  \( g(x)=f\left( \left| x \right| \right) \) có 7 điểm cực trị?

A. 33.

B. 31.                                

C. 32.                               

D. 34.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Xét hàm số  \( f(x)={{x}^{4}}-14{{x}^{8}}+36{{x}^{2}}+(16-m)x \).

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \).

 \( {f}'(x)=4{{x}^{3}}-42{{x}^{2}}+72x+16-m \)

Hàm số  \( g(x)=f\left( \left| x \right| \right) \) có 7 điểm cực trị  \( \Leftrightarrow  \) Hàm số f(x) có 3 điểm cực trị dương.

 \( \Leftrightarrow  \) Phương trình  \( {f}'(x)=0 \) có 3 nghiệm dương phân biệt.

Xét phương trình  \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-42{{x}^{2}}+72x+16=m \)  (1)

Đặt  \( h(x)=4{{x}^{3}}-42{{x}^{2}}+72x+16\Rightarrow {h}'(x)=12{{x}^{2}}-84x+72\Rightarrow {h}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\ & x=6 \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow (1) \) có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng  \( y=m \) cắt đồ thị hàm số  \( y=h(x) \) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \( 16<m<50 \).

Vì m là số nguyên nên  \( m\in \{17;18;…;49\} \) nên có 33 số nguyên.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị (C1) và y=f′(x) có đồ thị (C2) như hình vẽ dưới

Cho hàm số bậc bốn \( y=f(x) \) có đồ thị  \( ({{C}_{1}}) \) và  \( y={f}'(x) \) có đồ thị  \( ({{C}_{2}}) \) như hình vẽ dưới.

Số điểm cực đại của đồ thị hàm số  \( g(x)=f\left[ {{e}^{-x}}f(x) \right] \) trên khoảng  \( (-\infty ;3) \) là:

A. 5.

B. 3.

C. 6.                                  

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

\({g}'(x)=\left[ -{{e}^{-x}}f(x)+{{e}^{-x}}{f}'(x) \right].{f}’\left[ {{e}^{-x}}f(x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & -f(x)+{f}'(x)=0 \\  & {{e}^{-x}}f(x)=-2 \\  & {{e}^{-x}}f(x)=0 \\ & {{e}^{-x}}f(x)=2 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & f(x)={f}'(x) \\  & f(x)=0 \\  & f(x)=-2{{e}^{x}} \\  & f(x)=2{{e}^{x}} \\ \end{align} \right.\).

+  \( f(x)={f}'(x) \) có bốn nghiệm đơn trong đó 3 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 (có một nghiệm  \( x=0 \)) và một nghiệm lớn 3.

+  \( f(x)=0 \) có hai nghiệm đơn phân biệt và một nghiệm bội chẵn x=0.

+  \( f(x)=2{{e}^{x}} \) có một nghiệm đơn.

+  \( f(x)=-2{{e}^{x}} \) có hai nghiệm đơn phân biệt.

Như vậy, trên khoảng  \( (-\infty ;3) \) có đạo hàm  \( {g}'(x) \) đổi dấu qua 8 điểm nên số điểm cực đại và cực tiểu bằng nhau và bằng 4.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y=√4−f2(x) có bao nhiêu điểm cực trị

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số  \( y=\sqrt{4-{{f}^{2}}(x)} \) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4.

B. 5.

C. 3.                                  

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

\(y=\sqrt{4-{{f}^{2}}(x)}\Rightarrow {y}’=\frac{{{\left[ 4-{{f}^{2}}(x) \right]}^{\prime }}}{2\sqrt{4-{{f}^{2}}(x)}}=\frac{-2f(x).{f}'(x)}{2\sqrt{4-{{f}^{2}}(x)}}=\frac{-f(x).{f}'(x)}{\sqrt{4-{{f}^{2}}(x)}}\).

Xét  \( {y}’=0\Leftrightarrow f(x).{f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & f(x)=0 \\  & {f}'(x)=0 \\ \end{align} \right. \).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=a\in (-2;-1) \\  & x=b\in (1;2) \\  & x=0 \\ \end{align} \right.\).

 \( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( {y}’=0 \) có 5 nghiệm phân biệt nên hàm số  \( y=\sqrt{4-{{f}^{2}}(x)} \) có 5 điểm cực trị.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f′(x)=(x+1)^2(x^2−4x). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g(x)=f(2x^2−12x+m) có đúng 5 điểm cực trị

Cho hàm số f(x) có đạo hàm \( {f}'(x)={{(x+1)}^{2}}({{x}^{2}}-4x) \). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số  \( g(x)=f(2{{x}^{2}}-12x+m) \) có đúng 5 điểm cực trị?

A. 17.

B. 16.                                

C. 18.                               

D. 19.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có  \( g(x)=f(2{{x}^{2}}-12x+m)\Rightarrow {g}'(x)=(4x-12)\cdot {f}'(2{{x}^{2}}-12x+m) \).

Suy ra  \( {g}'(x)=0\Leftrightarrow (4x-12)\cdot {f}'(2{{x}^{2}}-12x+m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=3 \\  & {f}'(2{{x}^{2}}-12x+m)=0 \\ \end{align} \right. \)

\(\left[ \begin{align}  & x=3 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=0 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=4 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=-1 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=3 \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m=0\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m-4=0\begin{matrix}   {} & (2)  \\\end{matrix} \\  & 2{{x}^{2}}-12x+m+1=0\begin{matrix}   {} & (3)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

Vì phương trình (3) có nghiệm kép nên ta chỉ xét 2 phương trình (1) và (2).

Nhận xét: Phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung.

Yêu cầu bài toán suy ra phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 3.

 \( \left\{ \begin{align} & {{{{\Delta }’}}_{(1)}}>0 \\  & {{2.3}^{2}}-12.3+m\ne 0 \\  & {{{{\Delta }’}}_{(2)}}>0 \\  & {{2.3}^{2}}-12.3+m-4\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 36-2m>0 \\  & m\ne 18 \\  & 36-2(m-4)>0 \\  & m\ne 22 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<18 \\  & m\ne 18 \\  & m<22 \\  & m\ne 22 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<18 \).

Vì m nguyên dương nên  \( m\in \{1;2;3;…;17\} \).

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm đa thức y=[f(x2+2x)]′ có đồ thị cắt trục Ox tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m với 2022m∈Z để hàm số g(x)=f(x^2−2|x−1|−2x+m) có 9 điểm cực trị

Cho hàm đa thức \( y={{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }} \) có đồ thị cắt trục Ox tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số m với  \( 2022m\in \mathbb{Z} \) để hàm số  \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right) \) có 9 điểm cực trị?

A. 2020.

B. 2023.

C. 2021.                           

D. 2022.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có:  \( {{\left[ f({{x}^{2}}+2x) \right]}^{\prime }}=(2x+2){f}'({{x}^{2}}+2x)=a(x+3)(x+2)(x+1).x.(x-1)\text{ }(a>0) \).

 \( \Rightarrow {f}'({{x}^{2}}+2x)=\frac{a}{2}(x+3)(x+2)x(x-1)=\frac{a}{2}({{x}^{2}}+2x-3)({{x}^{2}}+2x) \).

Đặt \(t={{x}^{2}}+2x\Rightarrow {f}'(t)=\frac{a}{2}(t-3)t\).

Ta có  \( g(x)=f\left( {{x}^{2}}-2\left| x-1 \right|-2x+m \right)=f\left( {{\left| x-1 \right|}^{2}}-2\left| x-1 \right|+m-1 \right) \).

Ta thấy  \( g(2-x)=g(x),\forall x\in \mathbb{R} \) nên đồ thị hàm số  \( y=g(x) \) nhận đường thẳng  \( x=1 \) làm trục đối xứng. Do đó, số điểm cực trị của hàm số g(x) bằng  \( 2a+1 \) với a là số điểm cực trị lớn hơn 1 của hàm số g(x). Theo bài ra ta có  \( 2a+1=9\Leftrightarrow a=4 \). Vì vậy ta cần tìm m để hàm số g(x) có đúng 4 điểm cực trị lớn hơn 1.

Khi  \( x>1 \) thì  \( g(x)=f({{x}^{2}}-4x+m+2) \).

\({g}'(x)=(2x-4){f}'({{x}^{2}}-4x+m+2),\text{ }{g}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\  & {{x}^{2}}-4x+m+2=0\begin{matrix}  {} & (1  \\\end{matrix}) \\  & {{x}^{2}}-4x+m+2=3\begin{matrix}   {} & (2  \\\end{matrix}) \\ \end{align} \right.\).

Đặt  \( u(x)={{x}^{2}}-4x+m+2 \), ta có bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để 2 phương trình (1), (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt khác 2, điều này xảy ra khi và chỉ khi  \( m-2<0<m-1\Leftrightarrow 1<m<2 \).

Suy ra  \( 2022<2022m<4044\Rightarrow 2022m\in \{2023;2024;…;4043\} \), do đó có 2021 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2021;2021] để hàm số g(x)=f(∣x^5+4x∣+m) có ít nhất 5 điểm cực trị

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \( [-2021;2021] \) để hàm số  \( g(x)=f\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m \right) \) có ít nhất 5 điểm cực trị.

A. 2022.

B. 2023.

C. 2021.                           

D. 1012.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Hàm số  \( y={{x}^{5}}+4x\Rightarrow {y}’=5{{x}^{4}}+4>0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Do đó  \( y={{x}^{5}}+4x \) là hàm số lẻ và đồng biến trên  \( \mathbb{R} \),  \( {{x}^{5}}+4x>0\Leftrightarrow x>0 \);  \( {{x}^{5}}+4x<0\Leftrightarrow x<0 \).

Vậy hàm số  \( g(x)=f\left( \left| {{x}^{5}}+4x \right|+m \right) \) có ít nhất 5 điểm cực trị  \( \Leftrightarrow h(x)=f({{x}^{5}}+4x+m) \) có ít nhất hai điểm cực trị dương.

Ta có:  \( {h}'(x)=(5{{x}^{4}}+4){f}'({{x}^{5}}+4x+m)\Rightarrow {h}'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{5}}+4x+m=0 \\  & {{x}^{5}}+4x+m=2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{5}}+4x=-m \\  & {{x}^{5}}+4x=2-m \\ \end{align} \right. \).

Yêu cầu bài toán  \( \Leftrightarrow  \) Tổng số giao điểm có hoành độ dương khác nhau của đồ thị hàm số  \( y={{x}^{5}}+4x \) với hai đường thẳng  \( y=-m;\text{ }y=2-m \) ít nhất là 2.

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -m>0 \\  & 2-m>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<0 \).

Do m nguyên và thuộc đoạn  \( [-2021;2021] \) nên có 2021 giá trị m thỏa mãn đề bài.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số bậc ba y=f(x). Biết rằng hàm số y=f′(1−x^2) có đồ thị như hình vẽ bên

Cho hàm số bậc ba \( y=f(x) \). Biết rằng hàm số  \( y={f}'(1-{{x}^{2}}) \) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực trị của hàm số  \( g(x)=f\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)+\frac{2}{x} \) là:

A. 5.

B. 4.                                  

C. 3.                                  

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( {g}'(x)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\cdot {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{2}{{{x}^{2}}}\left[ \frac{1}{x}\cdot {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)-1 \right] \).

 \( \Rightarrow {g}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{1}{x}\cdot {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)-1=0\Rightarrow {f}’\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)=x\Leftrightarrow {f}’\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=x \).

Đặt  \( t=\frac{1}{x} \) ta được  \( {f}'(1-{{t}^{2}})=\frac{1}{t} \).

Xét hàm số  \( h(t)=\frac{1}{t}\text{ }(t\ne 0)\Rightarrow {h}'(t)=-\frac{1}{{{t}^{2}}}<0,\text{ }\forall t\ne 0 \).

Vẽ đồ thị hàm số  \( h(t)=\frac{1}{t} \) trên cùng hệ trục tọa độ với hàm số  \( y={f}'(1-{{t}^{2}}) \).

Từ đồ thị suy ra  \( {g}'(x)=0 \) có 5 nghiệm đơn.

Vậy hàm số  \( g(x)=f\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}} \right)+\frac{2}{x} \) có 5 điểm cực trị.

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f′(x)=(x^2+9x)(x^2−9) với ∀x∈R. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=g(x)=f(∣∣x^3+3x∣∣+2m−m^2) có không quá 6 điểm cực trị?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là \( {f}'(x)=({{x}^{2}}+9x)({{x}^{2}}-9) \) với  \( \forall x\in \mathbb{R} \). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  \( y=g(x)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right) \) có không quá 6 điểm cực trị?

A. 2.

B. 5.

C. 4.                                  

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Do  \( g(-x)=f\left( \left| -{{x}^{3}}-3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=f\left( \left| {{x}^{3}}+3x \right|+2m-{{m}^{2}} \right)=g(x) \) nên hàm số này là hàm số chẵn tức để hàm số g(x) có không quá 6 điểm cực trị (cụ thể là tối đa 5 cực trị) thì hàm số  \( h(x)=f({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}) \) có tối đa 2 điểm cực trị dương.

Tức phương trình  \( {h}'(x)=(3{{x}^{2}}+3){f}'({{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}})=0 \) có tối đa 2 nghiệm bội lẻ dương.

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=0 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-9 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=-3 \\  & {{x}^{3}}+3x+2m-{{m}^{2}}=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m={{y}_{3}} \\ & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-=-{{y}_{1}} \\  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m-3={{y}_{2}} \\  & {{x}^{3}}+3x={{m}^{2}}-2m+3={{y}_{4}} \\ \end{align} \right. \)   (*).

Như vậy để thỏa mãn đề bài thi bốn đường thẳng lần lượt là  \( {{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}},{{y}_{4}} \) phải cắt đồ thị  \( y={{x}^{3}}+3x \) tại tối đa hai nghiệm dương.

Xét hàm số  \( y={{x}^{3}}+3x \) có  \( {y}’=3{{x}^{2}}+3>0,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( y(0)=0 \).

Nhận thấy  \( {{m}^{2}}-2m+3={{(m-1)}^{2}}+2>0 \) luôn đúng nên hệ (*) có tối thiểu 1 nghiệm, từ đó ta có:

Trường hợp 1:  \( {{m}^{2}}-2m\le 0\Leftrightarrow m\in [0;2] \) thì hệ (*) có 1 nghiệm tức hàm số luôn có 3 điểm cực trị.

Trường hợp 2:  \( {{m}^{2}}-2m>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m<0 \\  & m>2 \\ \end{align} \right. \) thì hệ (*) đang có 2 nghiệm dương. Do hàm số có tối đa 5 điểm cực trị nên chỉ tối đa 2 nghiệm dương tức ta có điều kiện đủ là:

 \( \left\{ \begin{align}  & {{m}^{2}}-2m-9\le 0 \\  & {{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\in [-1;3] \).

So với điều kiện ta suy ra  \( m\in \{-1;3\} \).

Từ hai trường hợp ta suy ra  \( m\in \{-1;0;1;2;3\} \) tức có 5 giá trị nguyên m thỏa.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=mx^3−3mx^2+3m−3 có hai điểm cực trị A, B sao cho 2AB^2−(OA^2+OB^2)=20 (trong đó O là gốc tọa độ)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \( y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3m-3 \) có hai điểm cực trị A, B sao cho  \( 2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20 \) (trong đó O là gốc tọa độ)

A. \( m=-1 \)

B.  \( m=1 \)                     

C. \( \left[ \begin{align}  & m=-1 \\  & m=-\frac{17}{11} \\ \end{align} \right. \)

D. \( \left[ \begin{align} & m=1 \\  & m=-\frac{17}{11} \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

Ta có:  \( {y}’=3m{{x}^{2}}-6mx  \)

Hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó:  \( {y}’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)

Tọa độ điểm cực trị:  \( A\left( 0;3m-3 \right) \),  \( B\left( 2;-m-3 \right) \)

Theo giả thiết:  \( 2A{{B}^{2}}-\left( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}} \right)=20 \) \( \Leftrightarrow 22{{m}^{2}}+12m-34=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=1 \\  & m=-\frac{17}{11} \\ \end{align} \right. \).

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hàm số y=2x^3−3(m+1)x^2+6mx+m^3. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB=√2

Cho hàm số \( y=2{{x}^{3}}-3\left( m+1 \right){{x}^{2}}+6mx+{{m}^{3}} \). Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài  \( AB=\sqrt{2} \).

A. m = 0

B. m = 0 hoặc m = 2

C. m = 1                          

D. m = 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có \( : {y}’=6{{x}^{2}}-6\left( m+1 \right)x+6m  \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=1 \\  & x=m \\ \end{align} \right. \)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì  \( m\ne 1 \)

Khi đó, ta có  \( A\left( 1;{{m}^{3}}+3m-1 \right) \),  \( B\left( m;3{{m}^{2}} \right) \).

Có  \( AB=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+3m-1 \right)}^{2}}=2 \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{6}}=2\Leftrightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}=1 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=0 \\  & m=2 \\ \end{align} \right. \) (thỏa mãn yêu cầu bài toán)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=x^3−3mx^2+2 có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và M(1;−2) thẳng hàng

Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2 \) có hai điểm cực trị A và B sao cho các điểm A, B và  \( M\left( 1;-2 \right) \) thẳng hàng.

A. \( m=\sqrt{2} \)

B.  \( m=-\sqrt{2} \)         

C.  \( m=2 \)                     

D.  \( m=\pm \sqrt{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}-6mx  \);

 \( {y}’=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=2m \\ \end{align} \right. \)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow 2m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 0 \)

Khi đó, hai điểm cực trị là  \( A\left( 0;2 \right), B\left( 2m;2-4{{m}^{3}} \right) \).

Ta có:  \( \overrightarrow{MA}=\left( -1;4 \right) \),  \( \overrightarrow{MB}=\left( 2m-1;4-4{{m}^{3}} \right) \)

Ba điểm A, B và  \( M\left( 1;-2 \right) \) thẳng hàng  \( \Leftrightarrow \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} \) cùng phương

 \( \Leftrightarrow \frac{2m-1}{-1}=\frac{4-4{{m}^{3}}}{4}\Leftrightarrow \frac{2m-1}{-1}=\frac{1-{{m}^{3}}}{1} \)

 \( \Leftrightarrow 2m-1={{m}^{3}}-1\Leftrightarrow {{m}^{3}}=2m  \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}=2\Leftrightarrow m=\pm \sqrt{2} \) (do  \( m\ne 0 \))

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!