Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; BACˆ=120O. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \( \widehat{BAC}={{120}^{O}} \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên

A. \( \frac{64\pi \sqrt{2}}{3} \)

B.  \( 16\pi  \)                    

C.  \( 32\pi  \)

D.  \( \frac{32\pi \sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Gọi I, I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Khi đó, II’ là trục đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác A’B’C’, suy ra tâm mặt cầu là trung điểm O của II’.

Ta có:  \( BM=AB.\sin {{60}^{O}}=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2\sqrt{3} \)

 \( \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2.IA\Rightarrow IA=\frac{2\sqrt{3}}{2\sin {{120}^{O}}}=2 \); OI = 2

 \( \Rightarrow OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=2\sqrt{2} \)

Bán kính mặt cầu  \( R=OA=2\sqrt{2} \)

Diện tích mặt cầu là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=32\pi \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm của BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm của BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng

A. \( \frac{3\sqrt{3}a}{8} \)

B.  \( \frac{\sqrt{13}a}{2} \)     

C.  \( \frac{\sqrt{21}a}{6} \)                                      

D.  \( \frac{2a\sqrt{3}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’.

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & OO’=AA’=BB’=2a \\ & OO’\bot (ABC);OO’\bot (A’B’C’) \\ & BC=B’C’=a \\ \end{align} \right. \)

Như vậy OO’ là trục đường tròn ngoại tiếp 2 mặt đáy.

 \( \Rightarrow  \) tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ nằm trên OO’

Trong mặt phẳng (OBB’O’), từ trung điểm H của MB’, kẻ đường thẳng vuông góc MB’ cắt OO’ tại I.

Suy ra IA’ = IC’ = IB’ = IM  \( \Rightarrow  \) khối chóp M.A’B’C’ nội tiếp mặt cầu tâm I, bán kính R = IB’.

Gọi N là trung điểm của A’C’.

Dễ dàng chứng minh được HIO’B’ là hình chữ nhật.

Suy ra: \(IB’=\sqrt{I{{{{O}’}}^{2}}+{B}'{{{{O}’}}^{2}}}=\sqrt{H{{{{B}’}}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}{B}’N \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{B{B}’}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}.\frac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\)

 \( \Rightarrow IB’=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a√3, BC = 2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30O (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \( AB=a\sqrt{3} \), BC = 2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30O (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho?

A. \( S=24\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( S=6\pi {{a}^{2}} \)   

C.  \( S=4\pi {{a}^{2}} \)       

D.  \( S=3\pi {{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Kẻ AH  \( \bot  \) BC (H  \( \in  \) BC) thì AH  \( \bot  \) (BCC’B’) (vì (ABC) và (BCC’B’) vuông góc với nhau theo giao tuyến BC).

Suy ra  \( \widehat{AC’H}={{30}^{O}} \)

 \( \Delta ABC  \) vuông tại A có đường cao AH nên  \( AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a  \) và  \( AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

 \( \Delta AHC’ \) vuông tại H  \( \Rightarrow AC’=\frac{AH}{\sin {{30}^{O}}}=a\sqrt{3} \). Suy ra  \( AA’=\sqrt{A{{{{C}’}}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2} \).

Ta có thể xem hình lăng trụ đã cho là một phần của hình hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là  \( AB=a\sqrt{3} \), AC = a và  \( A’A=a\sqrt{2} \).

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là  \( R=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \).

Diện tích mặt cầu cần tìm là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a, AA′=a√3. Tính bán kính R của mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lăng trụ theo a

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a, \( A{A}’=a\sqrt{3} \). Tính bán kính R của mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lăng trụ theo a.

A. \( R=\frac{a\sqrt{5}}{2} \)

B.  \( R=\frac{a}{2} \)      

C.  \( R=2a  \)

D.  \( R=\frac{a\sqrt{2}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm BC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi M’ là trung điểm B’C’, suy ra M’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’.

Gọi I là trung điểm MM’, khi đó I chính là tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ.

Theo đề ta có:  \( MB=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}a  \) và  \( IM=\frac{MM’}{2}=\frac{A{A}’}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a  \)

Tam giác MIB vuông tại M nên ta tính được  \( R=IB=\sqrt{I{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}a  \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.

A. \( R=a\sqrt{3} \)

B.  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{4} \)                                   

C.  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{2} \) 

D.  \( R=2a  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi I là trung điểm của AC’.

Ta có:  \( \Delta ABC’ \) vuông tại B (vì  \( AB\bot \left( BB’C’C \right) \)) và  \( \Delta AB’C’ \) vuông tại B’ (vì  \( B’C’\bot \left( ABB’A’ \right) \)).

Khi đó IA = IB = IB’ = IC’, suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.

 \( AC’=\sqrt{A{{{{B}’}}^{2}}+{B}'{{{{C}’}}^{2}}}=\sqrt{A{{{{B}’}}^{2}}+B{{{{B}’}}^{2}}+{B}'{{{{C}’}}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

Vậy  \( R=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Cách khác: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Bán kính mặt cầu là nửa đường chéo hình lập phương cạnh a, tức là bằng  \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!