Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn (O), (O’) bán kính bằng a, chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy

Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn (O), (O’) bán kính bằng a, chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy. Các điểm A, B tương ứng nằm trên hai đường tròn (O), (O’) sao cho \( AB=a\sqrt{6} \). Tính thể tích khối tứ diện  \( ABOO’ \) theo a.

A. \( \frac{{{a}^{3}}}{3} \).    

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3} \).                                

C.  \( \frac{2{{a}^{3}}}{3} \).             

D.  \( \frac{2\sqrt{5}{{a}^{3}}}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có  \( OO’=2a,\,\,A’B=\sqrt{A{{B}^{2}}-AA{{‘}^{2}}}=\sqrt{6{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a\sqrt{2} \).

Do đó  \( A'{{B}^{2}}=O'{{B}^{2}}+O’A{{‘}^{2}}=2{{a}^{2}} \) nên tam giác  \( O’A’B \) vuông cân tại  \( O’ \) hay   \( O’A’\bot O’B\Rightarrow OA\bot O’B \).

Khi đó  \( {{V}_{OO’AB}}=\frac{1}{6}OA.O’B.d\left( OA,O’B \right).\sin \left( OA,O’B \right)=\frac{1}{6}a.a.2a.\sin 90{}^\circ =\frac{{{a}^{3}}}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng 2√3cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng \( 2\sqrt{3}\,\,cm \) với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung  \( \overset\frown{AB} \) của đường tròn đáy sao cho  \( \widehat{ABM}=60{}^\circ \) . Thể tích của khối tứ diện ACDM là:

A. \( V=3\,\,c{{m}^{3}} \).

B.  \( V=4\,\,c{{m}^{3}} \).

C.  \( V=6\,\,c{{m}^{3}} \).    

D.  \( V=7\,\,c{{m}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( \Delta MAB \) vuông tại M có  \( \widehat{B}=60{}^\circ  \) nên  \( MB=\sqrt{3},\,\,MA=3 \).

Gọi H là hình chiếu của M lên AB, suy ra  \( MH\bot (ACD) \) và  \( MH=\frac{MB.MA}{AB}=\frac{3}{2} \).

Vậy  \( {{V}_{M.ACD}}=\frac{1}{3}MH.{{S}_{ACD}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}.6=3\,\,c{{m}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ (T) có (C) và (C’) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương

Cho hình trụ (T) có (C) và (C’) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn (C) và hình vuông ngoại tiếp của (C) có một hình chữ nhật kích thước \( a\times 2a \) (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích V của khối trụ (T) theo a.

 

A. \( \frac{100\pi {{a}^{3}}}{3} \).

B.  \( 250\pi {{a}^{3}} \).   

C.  \( \frac{250\pi {{a}^{3}}}{3} \).                                 

D.  \( 100\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có  \( BK=2a,\,\,KI=a \) nên  \( BI=a\sqrt{5}\Rightarrow \cos \widehat{KBI}=\frac{1}{\sqrt{5}} \) và  \( \sin \widehat{KBI}=\frac{2}{\sqrt{5}} \).

Khi đó  \( \cos \widehat{OBI}=\cos \left( \widehat{KBI}-\widehat{KBO} \right)=\cos \widehat{KBI}.\cos 45{}^\circ +\sin \widehat{KBI}.\sin 45{}^\circ \)

 \( =\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \).

Kí hiệu  \( AB=2x \) thì  \( OI=x,\,\,OB=x\sqrt{2} \).

Ta có:  \( O{{I}^{2}}=B{{O}^{2}}+B{{I}^{2}}-2.BO.BI.\cos \widehat{OBI}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-2.x\sqrt{2}.a\sqrt{5}.\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-6xa \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-6xa\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6xa+5{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=a \\  & x=5a \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( x>a \) nên  \( x=5a \) hay  \( r=OI=5a \).

Vậy thể tích khối trụ (T) là  \( V=\pi .{{(5a)}^{2}}.10a=250\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC′ và mặt phẳng (BCC′B′) bằng 30∘

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa \( AC’ \) và mặt phẳng  \( (BCC’B’) \) bằng  \( 30{}^\circ \)  (tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

 

A. \( \pi {{a}^{3}} \).

B.  \( 2\pi {{a}^{3}} \).           

C.  \( 4\pi {{a}^{3}} \).  

D.  \( 3\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi bán kính của hình trụ là R.

Ta có:  \( CC’\bot (ABC)\Rightarrow CC’\bot AI \).

Lại có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên  \( AI\bot BC \) do đó  \( AI\bot (BCC’B’) \) hay góc  \( \left( AC’,(BCC’B’) \right)=\widehat{IC’A} \).

Xét tam giác  \( AIC’ \) ta có:  \( IC’=\frac{AI}{\tan \widehat{IC’A}}=R\sqrt{3} \).

Xét tam giác  \( CIC’ \) ta có:  \( IC{{‘}^{2}}=I{{C}^{2}}+CC{{‘}^{2}}\Leftrightarrow 3{{R}^{2}}={{R}^{2}}+4{{a}^{2}}\Rightarrow R=a\sqrt{2} \).

Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là:  \( V=\pi {{R}^{2}}h=4\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao 3–√R. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng 30∘

Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao  \( \sqrt{3}R \). Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ bằng  \( 30{}^\circ \) . Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ:

A. \( d\left( AB,d \right)=\frac{R\sqrt{3}}{2} \).

B.  \( d\left( AB,d \right)=R \).             

C.  \( d\left( AB,d \right)=R\sqrt{3} \).       

D.  \( d\left( AB,d \right)=\frac{R}{2} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi I,J là tâm của hai đáy (hình vẽ).

Từ B kẻ đường thẳng song song với trục d của hình trụ, cắt đường tròn đáy kia tại C.

Khi đó,  \( \left( AB,d \right)=\left( AB,BC \right)=\widehat{ABC}=30{}^\circ  \).

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

 \( \tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{CB}\Rightarrow AC=CB.\tan \widehat{ABC}=R\sqrt{3}.\tan 30{}^\circ =R\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}=R \).

Lại có \(d\parallel (ABC)\) và \(AB\subset (ABC)\) nên \( d\left( d,AB \right)=d\left( d,(ABC) \right)=d\left( J,(ABC) \right) \).

Kẻ  \( JH\bot AC,\,\,H\in AC \). Vì  \( BC\bot JH \) nên  \( JH\bot (ABC) \).

Suy ra  \( d\left( J,(ABC) \right)=JH \).

Xét tam giác JAC, ta thấy  \( JA=JC=AC=R \) nên JAC là tam giác đều cạnh R.

Khi đó chiều cao là  \( JH=\frac{R\sqrt{3}}{2} \).

Vậy  \( d\left( d,AB \right)=\frac{R\sqrt{3}}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, biết góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 45∘, diện tích tam giác A′BC bằng a2√6

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, biết góc giữa hai mặt phẳng \( (A’BC) \) và  \( (ABC) \) bằng  \( 45{}^\circ \) , diện tích tam giác  \( A’BC \) bằng  \( {{a}^{2}}\sqrt{6} \). Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

A. \( \frac{4\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \).

B.  \( 2\pi {{a}^{2}} \).   

C.  \( 4\pi {{a}^{2}} \).           

D.  \( \frac{8\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi M là trung điểm BC, khi đó  \( \left\{ \begin{align}  & BC\bot AM \\  & BC\bot AA’ \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot A’M \), do đó  \( \left( (A’BC),(ABC) \right)=\widehat{A’MA}=45{}^\circ \) .

Tam giác  \( A’AM \) vuông cân tại A nên  \( A’M=AM\sqrt{2}=\frac{BC\sqrt{3}}{2}.\sqrt{2}=\frac{BC\sqrt{6}}{2} \).

Diện tích  \( {{S}_{A’BC}}=\frac{1}{2}A’M.BC=\frac{1}{2}\frac{BC\sqrt{6}}{2}.BC=\frac{B{{C}^{2}}\sqrt{6}}{4} \).

Theo đề  \( \frac{B{{C}^{2}}\sqrt{6}}{4}={{a}^{2}}\sqrt{6}\Rightarrow BC=2a \).

Hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC có bán kính  \( r=\frac{BC\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{3} \), đường cao  \( h=AA’=AM=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3} \).

Diện tích xung quanh  \( S=2\pi rh=2\pi .\frac{2a\sqrt{3}}{3}.a\sqrt{3}=4\pi {{a}^{2}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Một hình vuông ABCD có đáy AB, CD là hai dây cung của hai đường tròn đáy và (ABCD) không vuông góc với đáy

Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Một hình vuông ABCD có đáy AB, CD là hai dây cung của hai đường tròn đáy và (ABCD) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng

A. \( \frac{5{{a}^{2}}}{4} \).

B.  \( 5{{a}^{2}} \).                 

C.  \( \frac{5{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2} \).                    

D.  \( \frac{5{{a}^{2}}}{2} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Gọi  \( O,\,\,O’ \) là tâm của 2 đường tròn đáy, I là trung điểm của  \( OO’ \).

Do tính đối xứng nên I là trung điểm của AC, BD.

Kẻ đường kính  \( CC’\Rightarrow AC’=a;\,\,CC’=2a\Rightarrow AC=\sqrt{C'{{A}^{2}}+C'{{C}^{2}}}=a\sqrt{5} \).

+ Do đó  \( {{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho khối trụ có đáy là các đường tròn tâm (O),(O′) có bán kính là R và chiều cao h=R√2

Cho khối trụ có đáy là các đường tròn tâm \( (O),\,\,(O’) \) có bán kính là R và chiều cao  \( h=R\sqrt{2} \). Gọi A, B lần lượt là các điểm thuộc (O) và (O’) sao cho OA vuông góc với O’B. Tỉ số thể tích của khối tứ diện  \( OO’AB \) với thể tích khối trụ là:

A. \( \frac{2}{3\pi } \).

B.  \( \frac{1}{3\pi } \).             

C.  \( \frac{1}{6\pi } \).    

D.  \( \frac{1}{4\pi } \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Thể tích khối trụ  \( {{V}_{1}}=\pi {{R}^{2}}.h=\pi {{R}^{2}}.R\sqrt{2}=\pi {{R}^{3}}\sqrt{2} \).

Khối tứ diện  \( BO’OA \) có  \( BO’ \) là đường cao và đáy là tam giác vuông  \( O’OA \), do đó thể tích khối tứ diện là

 \( {{V}_{2}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta O’OA}}.O’B=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.OA.OO’.O’B=\frac{1}{6}R.R\sqrt{2}.R=\frac{{{R}^{3}}\sqrt{2}}{6} \).

Vậy  \( \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{R}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\frac{1}{\pi {{R}^{3}}\sqrt{2}}=\frac{1}{6\pi } \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ (T) chiều cao bằng 2a, hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và O1, bán kính bằng a

Cho hình trụ (T) chiều cao bằng 2a, hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và O1, bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O1 lấy điểm B sao cho \( AB=a\sqrt{5} \). Thể tích khối tứ diện OO1AB bằng

A. \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} \).

B.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \).                                

C.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \).          

D.  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Kẻ đường sinh BB’ và gọi H là trung điểm OB’.

Trong tam giác vuông ABB’ có  \( BB’=O{{O}_{1}}=2a \) và  \( AB=a\sqrt{5} \) nên  \( AB’=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{{{B}’}}^{2}}}=a \).

Tam giác  \( OAB’ \) có  \( OB’=OA=AB’=a \) nên  \( OAB’ \) là tam giác đều  \( \Rightarrow AH\bot OB’,\,\,AH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Ta có  \( \left\{ \begin{align}  & AH\bot OB’ \\  & AH\bot O{{O}_{1}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot ({{O}_{1}}OB) \)

 \( \Rightarrow \) Thể tích khối tứ diện  \( A.{{O}_{1}}OB \) là

 \( {{V}_{{{O}_{1}}OAB}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{\Delta {{O}_{1}}OB}}=\frac{1}{6}AH.{{O}_{1}}O.{{O}_{1}}B=\frac{1}{6}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.2a.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 36πa2

Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng  \( 36\pi {{a}^{2}} \). Tính thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.

A. \( 27\sqrt{3}{{a}^{3}} \).

B.  \( 24\sqrt{3}{{a}^{3}} \).             

C.  \( 36\sqrt{3}{{a}^{3}} \).                    

D.  \( 81\sqrt{3}{{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có:  \( {{S}_{xq}}=36\pi {{a}^{2}}=2\pi Rh \).

Do thiết diện qua trục là hình vuông nên ta có  \( 2R=h \).

Khi đó  \( {{h}^{2}}=36{{a}^{2}} \) hay  \( h=6a;\,\,R=3a \).

Diện tích của mặt đáy hình lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là  \( B=6.\frac{{{R}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{27{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2} \).

Thể tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là \( V=B.h=81{{a}^{3}}\sqrt{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.

A. \( V=3\pi {{a}^{2}}h \).

B.  \( V=\pi {{a}^{2}}h \). 

C.  \( V=\frac{\pi {{a}^{2}}h}{9} \).                                

D.  \( V=\frac{\pi {{a}^{2}}h}{3} \).

 

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do ABC là tam giác đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có  \( AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3} \).

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là  \( V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}h=\frac{\pi {{a}^{2}}h}{3} \) (đvtt).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a

(Đề Tham Khảo – 2017) Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a.

A. \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}}{6} \).

B.  \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}}{2} \).          

C.  \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}}{4} \).          

D.  \( V=\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Bán kính đường tròn đáy là  \( R=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \); chiều cao  \( h=a \).

Vậy thể tích khối trụ là:  \( V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .\frac{{{a}^{2}}}{2}.a=\frac{\pi {{a}^{3}}}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD

(Đề Tham Khảo – 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4. Tính diện tích xung quanh \( {{S}_{xq}} \) của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác BCD và chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD.

A. \({{S}_{xq}}=8\sqrt{3}\pi \).

B. \({{S}_{xq}}=8\sqrt{2}\pi \).

C. \({{S}_{xq}}=\frac{16\sqrt{3}\pi }{3}\).                                         

D. \({{S}_{xq}}=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Bán kính đường tròn đáy hình trụ bằng một phần ba đường cao tam giác BCD nên  \( r=\frac{1}{3}.\frac{4\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình chóp là:  \( h=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3}.\frac{4\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{16-\frac{16.3}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \).

Vậy  \( {{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi .\frac{2\sqrt{3}}{3}.\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ và hình vuông ABCD có cạnh a. Hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai

Cho hình trụ và hình vuông ABCD có cạnh a. Hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai, mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy một góc \( 45{}^\circ \) . Khi đó thể tích khối trụ là:

A. \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \).

B.  \( \frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{8} \).                                         

C.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \).                                      

D.  \( \frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi  \( I,\,\,I’ \) lần lượt là trung điểm của AB, CD;  \( O,\,\,O’ \) lần lượt là tâm đường tròn đáy của hình trụ (như hình vẽ); H là trung điểm của  \( II’ \).

Khi đó H là trung điểm của  \( OO’ \) và góc giữa (ABCD) tạo với đáy là  \( \widehat{HI’O}=45{}^\circ \) .

Do  \( I’H=\frac{a}{2}\Rightarrow O’H=O’I’=\frac{a\sqrt{2}}{4} \).

Khi đó  \( h=OO’=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Ta có:  \( r=O’C=\sqrt{O’I{{‘}^{2}}+I'{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{4} \).

Thể tích khối trụ là  \( V=\pi {{r}^{2}}h=\frac{3\pi {{a}^{3}}\sqrt{2}}{16} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn tâm O và O’, chiều cao h=a√3. Mặt phẳng đi qua tâm O và tạo với OO’ một góc 30∘

Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn tâm O và O’, chiều cao \( h=a\sqrt{3} \). Mặt phẳng đi qua tâm O và tạo với OO’ một góc  \( 30{}^\circ \) , cắt hai đường tròn tâm O và O’ tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ và diện tích bằng  \( 3{{a}^{2}} \). Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

A. \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3} \).

B.  \( \sqrt{3}\pi {{a}^{3}} \).             

C.  \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{12} \). 

D.  \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{4} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Giả sử ABCD là hình thang mà đề bài đề cập (BC đáy lớn, AD đáy nhỏ) và r là bán kính đáy của hình trụ.

Theo đề:  \( \left\{ \begin{align}  & BC=2r \\  & BC=2AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow AD=r \).

Kẻ  \( O’I\bot AD\Rightarrow AD\bot (OO’I)\Rightarrow (ABCD)\bot (OO’J) \).

Suy ra  \( \left( OO’,(ABCD) \right)=\widehat{O’OI}=30{}^\circ \) .

 \( \cos \widehat{O’OI}=\frac{OO’}{OI}\Leftrightarrow OI=\frac{OO’}{\cos 30{}^\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2a \).

Ta có:  \( {{S}_{ABCD}}=\frac{(AD+BC).IO}{2}\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=\frac{(r+2r).2a}{2}\Leftrightarrow r=a \).

Thể tích của khối trụ là  \( V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{a}^{2}}.a\sqrt{3}=\pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Từ một tấm hình chữ nhật kích thước 50cm×240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm

Từ một tấm hình chữ nhật kích thước \( 50\,cm\times 240\,cm \), người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

+ Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

+ Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu  \( {{V}_{1}} \) là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và  \( {{V}_{2}} \) là tổng thể tích của hai thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \).

A. \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=1 \).

B.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{2} \).         

C.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=2 \).                         

D.  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=4 \).

 

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ở cách 1, thùng hình trụ có chiều cao  \( h=50\,\,cm \), chu vi đáy  \( {{C}_{1}}=240\,\,cm \) nên bán kính đáy  \( {{R}_{1}}=\frac{{{C}_{1}}}{2\pi }=\frac{120}{\pi }\,\,cm \). Do đó, thể tích của thùng là  \( {{V}_{1}}=\pi R_{1}^{2}h \).

Ở cách 2, hai thùng đều có chiều cao  \( h=50\,\,cm \), chu vi đáy  \( {{C}_{2}}=120\,\,cm \) nên bán kính đáy  \( {{R}_{1}}=\frac{{{C}_{2}}}{2\pi }=\frac{60}{\pi }\,\,cm \). Do đó, tổng thể tích của hai thùng là \({{V}_{2}}=2\pi R_{2}^{2}h\).

Vậy  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\pi R_{1}^{2}h}{2\pi R_{2}^{2}h}=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{\frac{120}{\pi }}{\frac{60}{\pi }} \right)}^{2}}=2 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O’). Gọi AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O’), góc giữa AB và CD bằng 30∘ , AB=6

Cho khối trụ có hai đáy là (O) và (O’). Gọi AB, CD lần lượt là hai đường kính của (O) và (O’), góc giữa AB và CD bằng \( 30{}^\circ \) ,  \( AB=6 \). Thể tích khối tứ diện ABCD bằng 30. Thể tích khối trụ đã cho bằng

A. \( 180\pi \) .

B.  \( 90\pi \) .                   

C.  \( 30\pi \) .

D.  \( 45\pi  \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta chứng minh: \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.CD.d\left( AB,CD \right).\sin \left( AB,CD \right) \).

Lấy điểm E sao cho tứ giác BCDE là hình bình hành.

Khi đó  \( \left( AB,CD \right)=\left( AB,BE \right)\Rightarrow \sin \left( AB,CD \right)=\sin \left( AB,BE \right) \).

\(d\left( D,(ABE) \right)=d\left( AB,CD \right)\).

 \( {{V}_{ABCD}}={{V}_{ABDE}}=\frac{1}{3}.d\left( D,(ABE) \right).{{S}_{\Delta ABE}}=\frac{1}{6}.AB.CD.d\left( AB,CD \right).\sin \left( AB,CD \right) \).

 \( \Rightarrow d\left( AB,CD \right)=\frac{6{{V}_{ABCD}}}{AB.CD.\sin 30{}^\circ }=\frac{180}{6.6.\frac{1}{2}}=10 \).

Chiều cao của lăng trụ bằng  \( h=d\left( AB,CD \right)=10 \).

Thể tích lăng trụ:  \( V=S.h=\pi {{.3}^{2}}.10=90\pi \) .

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ có O,O′ là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc (O) và C, D cùng thuộc (O′) sao cho AB=a√3,BC=2a

Cho hình trụ có \( O,\,\,O’ \) là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc (O) và C, D cùng thuộc  \( (O’) \) sao cho  \( AB=a\sqrt{3},\,\,BC=2a \) đồng thời (ABCD) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc  \( 60{}^\circ \) . Thể tích khối trụ bằng

A. \( \pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \).

B.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{9} \).                                         

C.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3} \).                                         

D.  \( 2\pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB và I là trung điểm của  \( OO’ \).

Suy ra góc giữa mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng đáy là  \( \widehat{IMO’}=60{}^\circ \) .

Ta có:  \( IM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}BC=a \).

Xét  \( \Delta IO’M \) vuộng tại O, ta có  \( IO’=IM.\sin \widehat{IMO}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow h=OO’=2IO’=a\sqrt{3} \);

 \( O’M=IM.\cos \widehat{IMO’}=\frac{a}{2} \).

Xét  \( \Delta O’MD \) vuông tại M, có  \( O’M=\frac{a}{2},\,\,MD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

 \( \Rightarrow r=O’D=\sqrt{O'{{M}^{2}}+M{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\Rightarrow r=a \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một khối gỗ hình trụ có đường kính 0,5 m và chiều cao 1 m. Người ta đã cắt khối gỗ, phần còn lại như hình vẽ bên có thể tích là V

Một khối gỗ hình trụ có đường kính 0,5 m và chiều cao 1 m. Người ta đã cắt khối gỗ, phần còn lại như hình vẽ bên có thể tích là V. Tính V.

A. \( \frac{3\pi }{16}\,\,{{m}^{3}} \).

B.  \( \frac{5\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).    

C.  \( \frac{3\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).                     

D.  \( \frac{\pi }{16}\,\,{{m}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi  \( {{V}_{1}},\,\,{{V}_{2}} \) lần lượt là thể tích khối gỗ ban đầu và thể tích khối gỗ bị cắt.

Thể tích của khối gỗ ban đầu là  \( {{V}_{1}}=\pi {{\left( \frac{0,5}{2} \right)}^{2}}.1=\frac{\pi }{16}\,\,{{m}^{3}} \).

Thể tích phần gỗ đã bị cắt đi là  \( {{V}_{2}}=\frac{1}{2}\pi {{\left( \frac{0,5}{2} \right)}^{2}}.0,5=\frac{\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).

Thể tích khối gỗ còn lại là  \( V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\frac{\pi }{16}-\frac{\pi }{64}=\frac{3\pi }{64}\,\,{{m}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao

Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vuông thành hình trụ có cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là:

A. 30%.

B. 50%.

C. 21%.                            

D. 11%.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Để gỗ bị đẽo ít nhất thì hình hộp đó phải là hình hộp đứng.

Gọi h là chiều cao của hình hộp chữ nhật và R là bán kính đáy của hình trụ.

Do hình hộp chữ nhật và hình trụ có cùng chiều cao nên thể tích gỗ đẽo đi ít nhất khi và chỉ khi diện tích đáy của hình trụ lớn nhất (thể tích khối trụ lớn nhất).

Suy ra  \( R=\frac{a}{2} \).

Gọi  \( {{V}_{1}} \) và  \( {{V}_{2}} \) lần lượt là thể tích của khối hộp và thể tích của khối trụ có đáy.

Ta có \( : {{V}_{1}}={{a}^{2}}.h \) và  \( V=\pi {{R}^{2}}h=\pi .\frac{{{a}^{2}}}{4}.h \).

Suy ra:  \( \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{\pi .\frac{{{a}^{2}}}{4}.h}{{{a}^{2}}.h}=\frac{\pi }{4}\approx 78,54% \)%.

Vậy thể tích gỗ ít nhất cần đẽo đi là khoảng 21,46%.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lần 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu

Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lần 3 lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu?

A. 36.

B. 6.

C. 18.                               

D. 12.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Giả sử ban đầu khối trụ có chiều cao  \( {{h}_{1}} \) và bán kính  \( {{r}_{1}} \).

Khi đó, khối trụ có thể tích là  \( {{V}_{1}}=\pi r_{1}^{2}h \).

Sau khi tăng chiều cao của khối trụ lên 2 lần, bán kính của nó lên 3 lần thì khối trụ có chiều cao  \( 2{{h}_{1}} \) và bán kính  \( 3{{r}_{1}} \).

Khi đó, khối trụ mới có thể tích  \( là {{V}_{2}}=\pi {{(3{{r}_{1}})}^{2}}.2{{h}_{1}}=18\pi {{r}_{1}}{{h}_{1}} \).

Vậy  \( \frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=18 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a. Biết hai điểm A, C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa AC=10a, khoảng cách giữa AC và trụ của hình trụ bằng 4a

Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a. Biết hai điểm A, C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa  \( AC=10a \), khoảng cách giữa AC và trụ của hình trụ bằng 4a. Thể tích của khối trụ đã cho là

A. \( 128\pi {{a}^{3}} \).

B.  \( 320\pi {{a}^{3}} \).   

C.  \( 80\pi {{a}^{3}} \).         

D.  \( 200\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi  \( (O),\,(O’) \) lần lượt là hai đường tròn đáy.  \( A\in (O),\,\,C\in (O’) \).

Dựng AD, CB lần lượt song song với  \( OO’\,\,\left( D\in (O’),\,B\in (O) \right) \). Dễ dàng có ABCD là hình chữ nhật.

Do  \( AC=10a,\,\,AD=8a\Rightarrow DC=6a \).

Gọi H là trung điểm của DC.

 \( \left\{ \begin{align}  & O’H\bot DC \\  & O’H\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow O’H\bot (ABCD) \).

Ta có  \( OO’\parallel (ABCD)\Rightarrow d\left( OO’,AC \right)=d\left( OO’,(ABCD) \right)=O’H=4a \).

 \( O’H=4a,\,\,CH=3a\Rightarrow R=O’C=5a \).

Vậy thể tích của khối trụ là  \( V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{(5a)}^{2}}.8a=200\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1), (H2) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1,h1,r2,h2 thỏa mãn r2=12r1,h2=2h1

(Đề Tham Khảo – 2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ (H1), (H2) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là \( {{r}_{1}},\,{{h}_{1}},\,{{r}_{2}},\,{{h}_{2}} \) thỏa mãn  \( {{r}_{2}}=\frac{1}{2}{{r}_{1}},\,{{h}_{2}}=2{{h}_{1}} \) (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng 30 cm3, thể tích khối trụ (H1) bằng

A. 24 cm3.

B. 15 cm3.

C. 20 cm3.                        

D. 10 cm3.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi  \( {{V}_{1}},\,{{V}_{2}} \) lần lượt là thể tích khối trụ  \( ({{H}_{1}}),\,({{H}_{2}}) \).

 \( {{V}_{2}}=\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=\pi {{\left( \frac{1}{2}{{r}_{1}} \right)}^{2}}.2{{h}_{1}}=\frac{{{V}_{1}}}{2} \).

 \( \Rightarrow {{V}_{1}}=2{{V}_{2}} mà {{V}_{1}}+{{V}_{2}}=30\Rightarrow {{V}_{1}}=20 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a

(Đề Tham Khảo – 2020 – Lần 2) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

A. \( 216\pi {{a}^{3}} \).

B.  \( 150\pi {{a}^{3}} \).   

C.  \( 54\pi {{a}^{3}} \).         

D.  \( 108\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Lấy 2 điểm M, N lần lượt nằm trên đường tròn tâm O sao cho  \( MN=6a \).

Từ M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với trục OO’, cắt đường tròn tâm O’ tại Q, P.

Thiết diện ta thu được là hình vuông MNPQ có cạnh bằng 6a.

Gọi H là trung điểm của PQ. Suy ra  \( OH\bot PQ \).

Vì  \( OO’\parallel (MNPQ) \) nên ta có  \( d\left( OO’,(MNPQ) \right)=d\left( O’,(MNPQ) \right)=O’H \).

Từ giả thiết, ta có  \( O’H=3a \). Do đó  \( \Delta O’HP \) là tam giác vuông cận tại H.

Suy ra bán kính đường tròn đáy của hình trụ là  \( O’P=\sqrt{O'{{H}^{2}}+H{{P}^{2}}}=3a\sqrt{2} \).

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là  \( V=6a.\pi .{{\left( 3a\sqrt{2} \right)}^{2}}=108\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một khối trụ có bán kính đáy r=2a. Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn đáy. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục

Một khối trụ có bán kính đáy \( r=2a \). Gọi O, O’ lần lượt là tâm đường tròn đáy. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục  \( \frac{a\sqrt{15}}{2} \), cắt đường tròn (O’) tại hai điểm A, B. Biết thể tích của khối tứ diện OO’AB bằng  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4} \). Độ dài đường cao của hình trụ bằng

A. a.

B. 6a.

C. 3a.                                

D. 2a.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Vẽ đường sinh AC, khi đó mặt phẳng (ABC) song song với OO’ và cách OO’ một khoảng  \( \frac{a\sqrt{15}}{2} \).

Gọi I là trung điểm AB, ta có  \( d\left( OO’,(ABC) \right)=d\left( O’,(ABC) \right)=O’I=\frac{a\sqrt{15}}{2} \).

Bán kính  \( O’A=2a \) suy ra  \( BA=2IA=2\sqrt{O'{{A}^{2}}-O'{{I}^{2}}}=2\sqrt{4{{a}^{2}}-\frac{15{{a}^{2}}}{4}}=a \).

Thể tích tứ diện OO’AB bằng  \( \frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4} \) nên ta có:

 \( \frac{1}{6}.OO’.IO’.AB=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow \frac{1}{6}.OO’.\frac{a\sqrt{15}}{2}.a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{4}\Leftrightarrow OO’=3a \).

Vậy hình trụ có chiều cao  \( OO’=3a \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ

Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không tính viền, mép, phần thừa).

A. \( 750,25\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).

B.  \( 756,25\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).          

C.  \( 700\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).                

D.  \( 600\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Bán kính hình trụ của cái mũ là:  \( r=\frac{35-10-10}{2}=\frac{15}{2}\,\,(cm) \).

Đường cao hình trụ của cái mũ là 30 cm.

Diện tích xung quanh hình trụ là:  \( {{S}_{xq}}=2\pi r\ell =2.\pi .\frac{15}{2}.30=450\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \).

Diện tích vành mũ là:  \( {{S}_{v}}=\pi {{\left( \frac{35}{2} \right)}^{2}}-{{S}_{d}}\,\,(c{{m}^{2}}) \).

Vậy tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không tính viền, mép, phần thừa) là:

 \( S={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}+{{S}_{v}}=450\pi +{{\left( \frac{35}{2} \right)}^{2}}\pi =756,25\pi \,\,(c{{m}^{2}}) \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một sợi dây (không co giãn) được quấn đối xứng đúng 10 vòng quanh một ống trụ tròn đều có bán kính R=2πcm như hình vẽ

Một sợi dây (không co giãn) được quấn đối xứng đúng 10 vòng quanh một ống trụ tròn đều có bán kính \( R=\frac{2}{\pi }\,\,cm \) như hình vẽ.

Biết rằng sợi dây dài 50 cm. Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó.

A. \( 80\,\,c{{m}^{2}} \).

B.  \( 100\,\,c{{m}^{2}} \). 

C.  \( 60\,\,c{{m}^{2}} \).       

D.  \( 120\,\,c{{m}^{2}} \).

Hướng dẫn giải:

Lời giải:

Chọn D

Khi trải phẳng ống trụ tròn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy còn chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vòng quấn của dây dài 5 cm là đường chéo của hình chữ nhật có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ và  \( \frac{1}{10} \) chiều dài trụ (hình vẽ).

Gọi chiều dài trục là  \( \ell \,\,(cm) \), theo định lí Pythago ta có  \( \sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( 2.\frac{2}{\pi }.\pi  \right)}^{2}}}=\frac{\ell }{10}\Leftrightarrow \ell =30\,\,(cm) \).

Vậy diện tích xung quanh của trụ là:  \( {{S}_{xq}}=2.\frac{2}{\pi }.\pi .30=120\,\,(c{{m}^{2}}) \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3R/2. Mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \( \frac{3R}{2} \). Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng  \( \frac{R}{2} \). Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng  \( (\alpha ) \) là:

A. \( \frac{3\sqrt{2}{{R}^{2}}}{2} \).

B.  \( \frac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2} \).                             

C.  \( \frac{2\sqrt{3}{{R}^{2}}}{3} \).                             

D.  \( \frac{2\sqrt{2}{{R}^{2}}}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm của BC suy ra  \( OH\bot BC \) suy ra  \( d\left( O,BC \right)=\frac{R}{2} \).

Khi đó  \( BC=2HB=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \frac{R}{2} \right)}^{2}}}=R\sqrt{3} \).

Suy ra  \( {{S}_{ABCD}}=BC.AB=R\sqrt{3}.\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9 cm, đường kính 6 cm. Mặt đáy phẳng dày 1 cm, thành cốc dày 0,2 cm

Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9 cm, đường kính 6 cm. Mặt đáy phẳng dày 1 cm, thành cốc dày 0,2 cm. Đổ vào cốc 120 ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2 cm. Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng

A. \( 3,67\,\,cm \).

B.  \( 3,08\,\,cm \).            

C.  \( 2,28\,\,cm \).            

D.  \( 2,62\,\,cm \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Thể tích của cốc nước là:  \( V=\pi .{{(2,8)}^{2}}.8=62,72\pi \,\,(c{{m}^{3}}) \).

Thể tích của 5 viên bi là:  \( {{V}_{1}}=5.\frac{4}{3}.\pi {{.1}^{3}}=\frac{20}{3}\pi \,\,(c{{m}^{3}}) \).

Thể tích còn lại sau khi đổ vào cốc 120 ml nước và thả vào cốc 5 viên bi là:

 \( {{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}-120=62,72\pi -\frac{20}{3}\pi -120\approx 56,10\,\,(c{{m}^{3}}) \).

Chiều cao phần còn lại là:  \( h=\frac{{{V}_{2}}}{\pi .{{(2,8)}^{2}}}=\frac{56,10}{\pi .{{(2,8)}^{2}}}\approx 2,28\,\,(cm) \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Cho đường tròn (O; R)

Hướng dẫn giải:

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \( {{S}_{xq}} \) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

A. \( {{S}_{xq}}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{17} \).

B.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{2} \).                                      

C.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{4} \).                                      

D.  \( {{S}_{xq}}=2\pi {{a}^{2}}\sqrt{17} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Bán kính đáy của hình nón:  \( R=\frac{a}{2} \).

Đường sinh của hình nón:  \( \ell =OM\Leftrightarrow \ell =\sqrt{M{{I}^{2}}+O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \ell =\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2} \).

Đường thẳng xung quanh của hình nón là  \( S=\pi .R.\ell =\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{17}}{2}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{4} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...