Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

A. \( S=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3} \)

B.  \( S=\frac{7{{a}^{2}}}{3} \)             

C.  \( S=\frac{49\pi {{a}^{2}}}{144} \)   

D.  \( S=\frac{49{{a}^{2}}}{114} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi I, I’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’, O là trung điểm của II’.

Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Ta có: \(AI=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3},OI=\frac{2}{2}\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ  \( R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{12}} \).

Diện tích mặt cầu  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{7{{a}^{2}}}{12}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3} \).

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; BACˆ=120O. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; \( \widehat{BAC}={{120}^{O}} \). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên

A. \( \frac{64\pi \sqrt{2}}{3} \)

B.  \( 16\pi  \)                    

C.  \( 32\pi  \)

D.  \( \frac{32\pi \sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Gọi I, I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Khi đó, II’ là trục đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác A’B’C’, suy ra tâm mặt cầu là trung điểm O của II’.

Ta có:  \( BM=AB.\sin {{60}^{O}}=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2\sqrt{3} \)

 \( \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2.IA\Rightarrow IA=\frac{2\sqrt{3}}{2\sin {{120}^{O}}}=2 \); OI = 2

 \( \Rightarrow OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=2\sqrt{2} \)

Bán kính mặt cầu  \( R=OA=2\sqrt{2} \)

Diện tích mặt cầu là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=32\pi \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm của BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm của BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng

A. \( \frac{3\sqrt{3}a}{8} \)

B.  \( \frac{\sqrt{13}a}{2} \)     

C.  \( \frac{\sqrt{21}a}{6} \)                                      

D.  \( \frac{2a\sqrt{3}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O, O’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’.

Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ tam giác đều  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & OO’=AA’=BB’=2a \\ & OO’\bot (ABC);OO’\bot (A’B’C’) \\ & BC=B’C’=a \\ \end{align} \right. \)

Như vậy OO’ là trục đường tròn ngoại tiếp 2 mặt đáy.

 \( \Rightarrow  \) tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ nằm trên OO’

Trong mặt phẳng (OBB’O’), từ trung điểm H của MB’, kẻ đường thẳng vuông góc MB’ cắt OO’ tại I.

Suy ra IA’ = IC’ = IB’ = IM  \( \Rightarrow  \) khối chóp M.A’B’C’ nội tiếp mặt cầu tâm I, bán kính R = IB’.

Gọi N là trung điểm của A’C’.

Dễ dàng chứng minh được HIO’B’ là hình chữ nhật.

Suy ra: \(IB’=\sqrt{I{{{{O}’}}^{2}}+{B}'{{{{O}’}}^{2}}}=\sqrt{H{{{{B}’}}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}{B}’N \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{B{B}’}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3}.\frac{BC\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}\)

 \( \Rightarrow IB’=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a√3, BC = 2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30O (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \( AB=a\sqrt{3} \), BC = 2a, đường thẳng AC’ tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc 30O (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho?

A. \( S=24\pi {{a}^{2}} \)

B.  \( S=6\pi {{a}^{2}} \)   

C.  \( S=4\pi {{a}^{2}} \)       

D.  \( S=3\pi {{a}^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Kẻ AH  \( \bot  \) BC (H  \( \in  \) BC) thì AH  \( \bot  \) (BCC’B’) (vì (ABC) và (BCC’B’) vuông góc với nhau theo giao tuyến BC).

Suy ra  \( \widehat{AC’H}={{30}^{O}} \)

 \( \Delta ABC  \) vuông tại A có đường cao AH nên  \( AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a  \) và  \( AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

 \( \Delta AHC’ \) vuông tại H  \( \Rightarrow AC’=\frac{AH}{\sin {{30}^{O}}}=a\sqrt{3} \). Suy ra  \( AA’=\sqrt{A{{{{C}’}}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2} \).

Ta có thể xem hình lăng trụ đã cho là một phần của hình hộp chữ nhật có các kích thước lần lượt là  \( AB=a\sqrt{3} \), AC = a và  \( A’A=a\sqrt{2} \).

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là  \( R=\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \).

Diện tích mặt cầu cần tìm là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=6\pi {{a}^{2}} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là

A. \( \frac{28\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

B.  \( \sqrt{6}\pi {{a}^{3}} \)             

C.  \( \frac{7\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

D.  \( 4\sqrt{6}\pi {{a}^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O là tâm của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Tứ giác ABC’D’ là hình chữ nhật có tâm O nên OA = OB = OC’ = OD’    (1).

Tương tự ta có các tứ giác CDB’A’, BDD’B’ là các hình chữ nhật tâm O nên OC = OD = OA’ = OB’, OB = OD = OB’ = OD’   (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Bán kính mặt cầu là: \(R=OA=\frac{AC’}{2}=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{C}’}}^{2}}}}{2}\) \(=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{B}’}}^{2}}+{A}'{{{{D}’}}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\)

Thể tích khối cầu là:  \( V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)}^{3}}=\frac{7\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng

Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng

A. \( \frac{\sqrt{3}}{2}\pi \)                                                                                    

B.  \( \frac{2\sqrt{3}}{3\pi } \) 

C.  \( \frac{3\sqrt{2}}{2\pi } \)                                   

D.  \( \frac{\pi \sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.