Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và hai mặt phẳng (P):2x−y+3z−1=0, (Q):y=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và hai mặt phẳng \( (P):2x-y+3z-1=0 \),  \( (Q):y=0 \). Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

A. \( 3x-y+2z-4=0 \)

B.  \( 3x+y-2z-2=0 \)      

C.  \( 3x-2z=0 \)               

D.  \( 3x-2z-1=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(2;-1;3) \)

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{Q}}=(0;1;0) \).

Do mặt phẳng (R) vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên có  vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{R}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}};{{{\vec{n}}}_{Q}} \right]=(-3;0;2) \).

Vậy phương trình mặt phẳng (R) là:  \( -3x+2z+1=0\Leftrightarrow 3x-2z-1=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q):x+y+3z=0, (R):2x−y+z=0 là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \( (Q):x+y+3z=0 \),  \( (R):2x-y+z=0 \) là:

A. \( 4x+5y-3z+22=0 \)

B. \( 4x-5y-3z-12=0 \)    

C.  \( 2x+y-3z-14=0 \)    

D.  \( 4x+5y-3z-22=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Mặt phẳng  \( (Q):x+y+3z=0 \),  \( (R):2x-y+z=0 \) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là  \( {{\vec{n}}_{1}}=(1;1;3) \) và \( {{\vec{n}}_{2}}=(2;-1;1) \).

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q), (R) nên (P) có vectơ pháp tuyến là  \( \vec{n}=\left[ {{{\vec{n}}}_{1}},{{{\vec{n}}}_{2}} \right]=(4;5;-3) \).

Ta lại có (P) đi qua điểm B(2;1;-3) nên  \( (P):4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4x+5y-3z-22=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (P):x+y+z+1=0, (Q):2y+z−5=0 và (R):x−y+z−2=0. Gọi (α) là mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời vuông góc với (R). Phương trình của (α) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng \( (P):x+y+z+1=0 \),  \( (Q):2y+z-5=0 \) và  \( (R):x-y+z-2=0 \). Gọi  \( (\alpha ) \) là mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời vuông góc với (R). Phương trình của  \( (\alpha ) \) là:

A. \( 2x+3y-5z+5=0 \)

B.  \( x+3y+2z-6=0 \)     

C.  \( x+3y+2z+6=0 \)   

D.  \( 2x+3y-5z-5=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Tọa độ mọi điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) thỏa mãn hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & x+y+z-1=0 \\  & 2y+z-5=0 \\ \end{align} \right. \).

Cho z = 1 ta được  \( A(-2;2;1) \), cho z = 5 ta được  \( B(-4;0;5) \) thuộc giao tuyến, suy ra  \( \overrightarrow{AB}=(-2;-2;4) \).

Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{R}}=(1;-1;1) \).

Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) đi qua  \( A(-2;2;1) \) và có vectơ pháp tuyến  \( \vec{n}=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{R}} \right]=(1;3;2) \).

Phương trình của  \( (\alpha ) \) là:  \( (x+2)+3(y-2)+2(z-1)=0\Leftrightarrow x+3y+2z-6=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): ax+by+cz−9=0 chứa hai điểm A(3;2;1), B(-3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 3x+y+z+4=0. Tính tổng S = a + b + c

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): \( ax+by+cz-9=0 \) chứa hai điểm A(3;2;1), B(-3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q):  \( 3x+y+z+4=0 \). Tính tổng S = a + b + c.

A. \( S=-12 \)

B.  \( S=-4 \)                     

C.  \( S=-2 \)                    

D. S = 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(-6;3;1) \).

 \( {{\vec{n}}_{Q}}=(3;1;1) \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A(3;2;1), B(-3;5;2) và vuông góc với mặt phẳng (Q).

 \( \Rightarrow {{\vec{n}}_{P}}=\left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right]=(2;9;-15) \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

 \( A(3;2;1)\in (P) \)

 \( \Rightarrow (P):2x+9y-15z-9=0 \) hay  \( (P):-2x-9y+15z+9=0 \)

Mặt khác, (P):  \( ax+by+cz-9=0 \)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2 \\  & b=9 \\  & c=-15 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( S=a+b+c=2+9+(-15)=-4 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α):3x−2y+2z+7=0 và (β):5x−4y+3z+1=0. Phương trình mặt phẳng qua O, đồng thời vuông góc với cả (α) và (β) có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \( (\alpha ):3x-2y+2z+7=0 \) và  \( (\beta ):5x-4y+3z+1=0 \). Phương trình mặt phẳng qua O, đồng thời vuông góc với cả \( (\alpha ) \) và \( (\beta ) \) có phương trình là:

A. \( 2x-y+2z=0 \)

B.  \( 2x-y+2z+1=0 \)     

C.  \( 2x+y-2z=0 \)          

D.  \( 2x-y-2z=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) có một vectơ pháp tuyến là  \( {{\vec{n}}_{1}}=(3;-2;2) \).

Mặt phẳng  \( (\beta ) \) có một vectơ pháp tuyến là  \( {{\vec{n}}_{2}}=(5;-4;3) \).

Giả sử mặt phẳng  \( (\gamma ) \) vuông góc với cả  \( (\alpha ) \) và  \( (\beta ) \) nên ta có:

 \( \left\{ \begin{align} & \vec{n}\bot {{{\vec{n}}}_{1}} \\  & \vec{n}\bot {{{\vec{n}}}_{2}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \vec{n}=\left[ {{{\vec{n}}}_{1}},{{{\vec{n}}}_{2}}\right]=(2;1;-2) \).

Mặt phẳng  \( (\gamma ) \) đi qua O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến  \( \vec{n}=(2;1;-2) \) có phương trình là:  \( 2x+y-2z=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;1;0), B(2;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (P)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;1;0), B(2;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (P):  \( x-y-1=0 \) là:

A. \( x+y-3z-1=0 \)

B.  \( 2x+2y-5z-2=0 \)    

C.  \( x-2y-6z+2=0 \)      

D.  \( z+y-z-1=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(2;-1;1) \). Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;-1;0) \).

Gọi  \( \vec{n} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm.

Khi đó \(\left\{ \begin{align}  & \vec{n}\bot \overrightarrow{AB} \\  & \vec{n}\bot {{{\vec{n}}}_{P}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{P}} \right]=(1;1;-1)\).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:  \( 1(x-0)+1(y-1)-1(z-0)=0\Leftrightarrow x+y-z-1=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x−3y+2z−1=0, (Q):x−z+2=0. Mặt phẳng (α) vuông góc với cả (P) và (Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mặt phẳng (α) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \( (P):x-3y+2z-1=0 \),  \( (Q):x-z+2=0 \). Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) vuông góc với cả (P) và (Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mặt phẳng  \( (\alpha ) \) là:

A. \( x+y+z-3=0 \)

B.  \( x+y+z+3=0 \)       

C.  \( -2x+z+6=0 \)         

D.  \( -2x+z-6=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

(P) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;-3;2) \), (Q) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{Q}}=(1;0;-1) \).

Vì mặt phẳng  \( (\alpha ) \) vuông góc với cả (P) và (Q) nên  \( (\alpha ) \) có một vectơ pháp tuyến là  \( {{\vec{n}}_{\alpha }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},{{{\vec{n}}}_{Q}} \right]=(3;3;3)=3(1;1;1) \).

Vì mặt phẳng  \( (\alpha ) \) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên  \( (\alpha ) \) đi qua điểm M(3;0;0).

Vậy  \( (\alpha ) \) đi qua điểm M(3;0;0) và có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{\alpha }}=(1;1;1) \) nên  \( (\alpha ):x+y+z-3=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;-1;2), B(2;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z+1=0. Mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;-1;2), B(2;1;1) và mặt phẳng (P): \( x+y+z+1=0 \). Mặt phẳng (Q) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) có phương trình là:

A. \( 3x-2y-z-3=0 \)

B.  \( x+y+z-2=0 \)         

C.  \( -x+y=0 \)                

D.  \( 3x-2y-z+3=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(1;2;-1) \)

Từ (P) suy ra vectơ pháp tuyến (P) là  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1) \).

Gọi vectơ pháp tuyến của (Q) là  \( {{\vec{n}}_{Q}} \).

Vì (Q) chứa A, B nên  \( {{\vec{n}}_{Q}}\bot \overrightarrow{AB} \)     (1)

Mặt khác,  \( (Q)\bot (P) \) nên  \( {{\vec{n}}_{Q}}\bot {{\vec{n}}_{P}} \)    (2)

Từ (1), (2) ta được:  \( {{\vec{n}}_{Q}}=\left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{P}} \right]=(3;-2;-1) \)

(Q) đi qua A(1;-1;2) và có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{Q}}=(3;-2;-1) \) nên (Q) có phương trình là:

 \( 3(x-1)-2(y+1)-(z-2)=0\Leftrightarrow 3x-2y-z-3=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;4;1), B(-1;1;3) và mặt phẳng (P):x−3y+2z−5=0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng ax+by+cz−11=0

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;4;1), B(-1;1;3) và mặt phẳng \( (P):x-3y+2z-5=0 \). Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng \(ax+by+cz-11=0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \( a+b+c=5 \)

B.  \( a+b+c=15 \)          

C.  \( a+b+c=-5 \)           

D.  \( a+b+c=-15 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Vì (Q) vuông góc với (P) nên (Q) nhận vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;-3;2) \) của (P) làm vectơ chỉ phương.

Mặt khác (Q) đi qua A và B nên (Q) nhận  \(\overrightarrow{AB}=(-3;-3;2)\) làm vectơ chỉ phương

(Q) nhận  \( {{\vec{n}}_{Q}}=\left[ \vec{n},\overrightarrow{AB} \right]=(0;8;12) \) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng (Q):  \( 0(x+1)+8(y-1)+12(z-3)\Leftrightarrow 2y+3z-11=0 \)

Vậy:  \( a+b+c=5 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hai mặt phẳng (α):3x−2y+2z+7=0, (β):5x−4y+3z+1=0. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả (α) và (β) là

Cho hai mặt phẳng \( (\alpha ):3x-2y+2z+7=0,\text{ }(\beta ):5x-4y+3z+1=0 \). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả  \( (\alpha ) \) và  \( (\beta ) \) là:

A. \( 2x-y-2z=0 \)

B.  \( 2x-y+2z=0 \)          

C.  \( 2x+y-2z=0 \)          

D.  \( 2x+y-2z+1=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là  \( {{\vec{n}}_{\alpha }}=(3;-2;2) \),  \( {{\vec{n}}_{\beta }}=(5;-4;3) \).

 \( \Rightarrow \vec{n}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\alpha }},{{{\vec{n}}}_{\beta }} \right]=(2;1;-2) \)

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và có vectơ pháp tuyến  \( \vec{n}=(2;1;-2) \):  \( 2x+y-2z=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q):x+2y−z=0 có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(2;3;1) và vuông góc với mặt phẳng  \( (Q):x+2y-z=0 \) có phương trình là

A. \( 4x-3y+2z+3=0 \)

B.  \( 4x-3y-2z+3=0 \)    

C.  \( 2x+y-3z-1=0 \)      

D.  \( 4x+y-2z-1=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(2;2;1) \), vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q):  \( {{\vec{n}}_{(Q)}}=(1;2;-1) \).

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P):  \( {{\vec{n}}_{P}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{Q}},\overrightarrow{AB} \right]=(4;-3;-2) \).

Mặt phẳng (P) đi qua A(0;1;0) và có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(4;-3;-2) \) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

 \( 4(x-0)-3(y-1)-2(z-0)=0\Leftrightarrow 4x-3y-2z+3=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(-1;1;3) và mặt phẳng (P):x−3y+2z−5=0. Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(-1;1;3) và mặt phẳng \( (P):x-3y+2z-5=0 \). Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với  mặt phẳng (P).

A. \( 2y+3z-11=0 \)

B.  \( 2x-3y-11=0 \)         

C.  \( x-3y+2z-5=0 \)      

D.  \( 3y+2z-11=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(-3;-3;2) \), vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là  \( {{\vec{n}}_{(P)}}=(1;-3;2) \).

Từ giả thiết suy ra  \( \vec{n}=\left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{(P)}} \right]=(0;8;12) \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(2;4;1) suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là:

 \( 0(x-2)+8(y-4)+12(z-1)=0\Leftrightarrow 2y+3z-11=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;−1); B(−1;0;1) và mặt phẳng (P):x+2y−z+1=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho  \( A(1;2;-1);\text{ }B(-1;0;1) \) và mặt phẳng  \( (P):x+2y-z+1=0 \). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P).

A. \( 2x-y+3=0 \)

B.  \( x+z=0 \)                 

C.  \( -x+y+z=0 \)           

D.  \( 3x-y+z=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( \overrightarrow{AB}=(-2;-2;2)=-2(1;1;-1)\Rightarrow \vec{u}=(1;1;-1) \)

\({{\vec{n}}_{(P)}}=(1;2;-1)\)

\({{\vec{n}}_{(Q)}}=\left[ \overrightarrow{AB},{{{\vec{n}}}_{(P)}} \right]=(1;0;1)\)

Vậy  \( (Q):x+z=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;0) và B(3;0;2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

(THPTQG – 2019 – 102) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2;0) và B(3;0;2). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:

A. \( x+y+z-3=0 \)

B.  \( 2x-y+z+2=0 \)       

C.  \( 2x+y+z-4=0 \)       

D.  \( 2x-y+z-2=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Suy ra I(1;1;1).

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(4;-2;-2) \).

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và nhận  \( \overrightarrow{AB} \) làm vectơ pháp tuyến, nên phương trình là:  \( (\alpha ):2x-y+z-2=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B(-2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

(THPTQG – 2019 – 104) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;1) và B(-2;2;3). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là

A. \( 3x-y-z=0 \)

B.  \( 3x+y+z-6=0 \)       

C.  \( x+y+2z-6=0 \)       

D.  \( 6x-2y-2z-1=0 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có vectơ pháp tuyến là  \( \overrightarrow{AB}=(-6;2;2) \) và đi qua trung điểm I(1;1;2) của đoạn thẳng AB.

Do đó, phương trình mặt phẳng là:  \( -6(x-1)+2(y-1)+2(z-2)=0 \)

 \( \Leftrightarrow -6x+2y+2z=0\Leftrightarrow 3x-y-z=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!