Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0 \) và đường thẳng \( d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1} \). Điểm \( M(a;b;c),\text{ }(a>0) \) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và \( \widehat{AMB}={{60}^{O}},\text{ }\widehat{BMC}={{60}^{O}} \) và \( \widehat{CMA}={{120}^{O}} \). Tính \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \).
A. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{173}{9} \)
B. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \)
C. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8 \)
D. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{23}{9} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+13}=3\sqrt{3}\).
Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S).
Đặt \( MA=MB=MC=x \) khi đó \( AB=x,\text{ }BC=x\sqrt{2},\text{ }CA=x\sqrt{3} \) do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn (C) và H, I, M thẳng hàng.
Vì \( \widehat{AMC}={{120}^{O}} \) nên tam giác AIC đều do đó \( x\sqrt{3}=R\Leftrightarrow x=3 \) suy ra \( IM=2AM=2x=6 \).
Lại có \( M\in d \) nên \( M(-1+t;-2+t;1+t),\text{ }(t>1) \) mà \( IM=6 \) nên \( {{(t-2)}^{2}}+{{(t-4)}^{2}}+{{(t+4)}^{2}}=36 \)
\( \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right. \).
Mà \( a>0 \) nên \( t=\frac{4}{3}\Rightarrow H\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng