Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:x+11=y+21=z−11. Điểm M(a;b;c), (a>0) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và AMBˆ=60O, BMCˆ=60O và CMAˆ=120O

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0 \) và đường thẳng  \( d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1} \). Điểm  \( M(a;b;c),\text{ }(a>0) \) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và  \( \widehat{AMB}={{60}^{O}},\text{ }\widehat{BMC}={{60}^{O}} \) và  \( \widehat{CMA}={{120}^{O}} \). Tính  \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \).

A. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{173}{9} \)

B. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \)                                    

C. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8 \)             

D. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{23}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+13}=3\sqrt{3}\).

Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S).

Đặt  \( MA=MB=MC=x  \) khi đó  \( AB=x,\text{ }BC=x\sqrt{2},\text{ }CA=x\sqrt{3} \) do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn (C) và H, I, M thẳng hàng.

Vì  \( \widehat{AMC}={{120}^{O}} \) nên tam giác AIC đều do đó  \( x\sqrt{3}=R\Leftrightarrow x=3 \) suy ra  \( IM=2AM=2x=6 \).

Lại có  \( M\in d  \) nên  \( M(-1+t;-2+t;1+t),\text{ }(t>1) \) mà  \( IM=6 \) nên  \( {{(t-2)}^{2}}+{{(t-4)}^{2}}+{{(t+4)}^{2}}=36 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0 \\  & t=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right. \).

Mà  \( a>0 \) nên  \( t=\frac{4}{3}\Rightarrow H\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2t \\  & y=t \\  & z=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( {{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=3-s \\  & y=s \\  & z=0 \\ \end{align} \right. \). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.

A. \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=4 \)

B.  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16 \)

C. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)

D.  \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;0) \).

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{2}}=(-1;1;0) \).

Để phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 khi và chỉ khi:

Tâm mặt cầu (S) nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2, đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.

Gọi điểm  \( M(2t;t;4)\in {{d}_{1}} \) và  \( N(3-s;s;0)\in {{d}_{2}} \) với MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2.

Ta có:  \( \overrightarrow{MN}=(3-s-2t;s-t;-4) \).

MN là đoạn thẳng vuông góc chung  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{1}}=0 \\  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2(3-s-2t)+s-t=0 \\  & (-1).(3-s-2t)+s-t=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & s+5t=6 \\  & 2s+t=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=1 \\  & s=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & M(2;1;4) \\  & N(2;1;0) \\ \end{align} \right. \).

Gọi điểm I là tâm mặt cầu (S), do đó điểm I là trung điểm MN.

 \( \Rightarrow I(2;1;2)\Rightarrow R=IM=IN=2 \).

Suy ra mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho hai đường thẳng Δ1:x+1/2=y+1/1=z+1/2 và Δ2:x−1/2=y−1/2=z−1/1. Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ1 và Δ2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{\Delta }_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{2} \) và  \( {{\Delta }_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1} \). Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \).

A. \( \frac{16}{17}\pi \) (đvdt)                                

B.  \( \frac{4}{\sqrt{17}}\pi  \) (đvdt)   

C.  \( \frac{16}{\sqrt{17}}\pi  \) (đvdt)       

D.  \( \frac{4}{17}\pi  \) (đvdt)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi A, B là hai điểm thuộc lần lượt  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) sao cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung giữa hai đường thẳng. Gọi M là trung điểm AB. Dễ có mặt cầu tâm M, bán kính  \( R=\frac{AB}{2} \) tiếp xúc với hai đường thẳng  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Ta có tọa độ theo tham số của A, B lần lượt là:  \( A(2t-1;t-1;2t-1);\text{ }B(2s+1;2s+1;s+1) \).

 \( \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(2s-2t+2;2s-t+2;s-2t+2) \).

Có  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;2) \) và  \( {{\vec{u}}_{2}}=(2;2;1) \) lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) nên  \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{1}} \\  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{2}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).1+(s-2t+2).2=0 \\  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).2+(s-2t+2).1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 8s-9t=-10 \\  & 9s-8t=-10 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\frac{10}{17}\Rightarrow A\left( \frac{3}{17};-\frac{7}{17};\frac{3}{17} \right) \\  & s=-\frac{10}{17}\Rightarrow B\left( -\frac{3}{17};-\frac{3}{17};\frac{7}{17} \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\frac{6}{17};\frac{4}{17};\frac{4}{17} \right) \).

 \(R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}{17}=\frac{\sqrt{17}}{17} \).

Diện tích mặt cầu cần tính là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{1}{{{\sqrt{17}}^{2}}}=\frac{4\pi }{17} \) (đvdt).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt phẳng (P):x+y−z−3=0 và hai điểm M(1;1;1), N(-3;-3;-3). Mặt cầu (S) đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm Q. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x+y-z-3=0 \) và hai điểm M(1;1;1), N(-3;-3;-3). Mặt cầu (S) đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm Q. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.

A. \( R=\frac{2\sqrt{11}}{3} \)

B. \( R=6 \)                      

C. \( R=\frac{2\sqrt{33}}{3} \)                                         

D. \( R=4 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

+ Đường thẳng MN có phương trình là  \( MN:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \).

+ Gọi  \( I=MN\cap (P) \) khi đó tọa độ điểm I ứng với t thỏa mãn:

 \( 1+t+1+t-1-t-3=0\Leftrightarrow t-2=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow I(3;3;3)\Rightarrow IM=2\sqrt{3},\text{ }IN=6\sqrt{3} \).

+ Do mặt cầu (S) đi qua M, N và tiếp xúc với đường thẳng IQ tại điểm Q nên ta có:

 \( I{{Q}^{2}}=IM.IN=K{{I}^{2}}-{{R}^{2}}\Rightarrow I{{Q}^{2}}=IM.IN=36\Rightarrow IQ=6 \).

Vậy Q luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính  \( R=6 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt phẳng (P):z+2=0, K(0;0;-2), đường thẳng d:x/1=y/1=z/1. Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn tâm K, bán kính r=√5 là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):z+2=0 \), K(0;0;-2), đường thẳng  \( d:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1} \). Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn tâm K, bán kính  \( r=\sqrt{5} \) là:

A. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16 \)

B. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16 \)

C. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9 \)

D. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( \vec{n}=(0;0;1) \).

Viết lại phương trình của đường thẳng d dưới dạng tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=t \\  & z=t \\ \end{align} \right. \).

Gọi I là tâm của mặt cầu cần lập. Vì  \( I\in d  \) nên giả sử I(t;t;t).

Có  \( \overrightarrow{IK}=(-t;-t;-2-t) \).

Thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng (P) là đường tròn tâm K nên ta có  \( IK\bot (P) \).

Suy ra  \( \overrightarrow{IK} \) và  \( \vec{n}=(0;0;1) \) cùng phương. Do đó tồn tại số thực k để  \( \overrightarrow{IK}=k\vec{n}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -t=k.0 \\  & -t=k.0 \\  & -2-t=k.1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=0 \\  & k=-2 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra I(0;0;0). Tính được  \( d\left( I,(P) \right)=2 \).

Gọi R là bán kính mặt cầu. Ta có:  \( R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=3 \).

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+2z+1=0 và đường thẳng d:x/1=y−2/1=z/−1. Hai mặt phẳng (P), (P′) chứa d và tiếp xúc với (S) tại T, T’. Tìm tọa độ trung điểm H của TT′

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+2z+1=0 \) và đường thẳng  \( d:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1} \). Hai mặt phẳng (P),  \( ({P}’) \) chứa d và tiếp xúc với (S) tại T, T’. Tìm tọa độ trung điểm H của  \( T{T}’ \).

A. \( H\left( -\frac{7}{6};\frac{1}{3};\frac{7}{6} \right) \)

B.  \( H\left( \frac{5}{6};\frac{2}{3};-\frac{7}{6} \right) \)                                         

C.  \( H\left( \frac{5}{6};\frac{1}{3};-\frac{5}{6} \right) \)                                         

D.  \( H\left( -\frac{5}{6};\frac{1}{3};\frac{5}{6} \right) \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính  \( R=1 \).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{d}}=(1;1;-1) \).

Gọi K là hình chiếu của I trên d, ta có:  \( K(t;2+t;-t)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(t-1;t+2;-t+1) \).

Vì  \( IK\bot d  \) nên  \( {{\vec{u}}_{d}}.\overrightarrow{IK}=0\Leftrightarrow t-1+2+t-(-t+1)=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(-1;2;1) \).

Phương trình tham số của đường thẳng IK là:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1-s \\  & y=2s \\  & z=-1+s \\ \end{align} \right. \).

Khi đó, trung điểm H của  \( T{T}’ \) nằm trên IK nên  \( H(1-s;2s;-1+s)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=(-s;2s;s) \).

Mặt khác, ta có:  \( \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{IK}=I{{T}^{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{IK}=1\Leftrightarrow s+4s+s=1\Leftrightarrow s=\frac{1}{6}\Rightarrow H\left( \frac{5}{6};\frac{1}{3};-\frac{5}{6} \right) \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và điểm  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right. \). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng (SBC) đi qua điểm D(1;1;2). Tổng \( T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2} \) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và điểm  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right. \). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng (SBC) đi qua điểm D(1;1;2). Tổng  \( T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2} \) bằng

A. 30

B. 26

C. 20                                

D. 21

Hướng dẫn giải:

Chọn B

+ Ta có:  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=4 \).

+ Mặt cầu có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) \( \Rightarrow \)  tâm O(0;0;0), bán kính  \( R=3 \).

+ MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu  \( \Rightarrow MO\bot (ABC) \).

 \( \Rightarrow (ABC) \) đi qua D(1;1;2) có vectơ pháp tuyến  \( \overrightarrow{OM}=({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) \) có phương trình dạng:

 \( {{x}_{0}}(x-1)+{{y}_{0}}(y-1)+{{z}_{0}}(z-2)=0 \).

+ MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A  \( \Rightarrow \Delta MOA  \) vuộng tại A  \( \Rightarrow OH.OM=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}=9 \).

Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) ( \( OH+OM=HM  \)), ta có:

 \( d\left( O,(ABC) \right)=OH=\frac{\left| -{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-2{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}+{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM} \)

 \( \Rightarrow OH.OM=\left| {{z}_{0}}+4 \right|\Rightarrow \left| {{z}_{0}}+4 \right|=9\Rightarrow \left[ \begin{align}  & {{z}_{0}}=5 \\  & {{z}_{0}}=-13 \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( {{z}_{0}}=5\Rightarrow M(0;-1;5)\Rightarrow T=26 \): nhận do  \( OM=\sqrt{26};\text{ }OH=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM}=\frac{9}{\sqrt{26}} \).

Phương trình  \( (ABC):-y+5z-9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{17}{\sqrt{26}} \).

 \( \Rightarrow OH+HM=OM  \).

+ Với  \( {{z}_{0}}=-13\Rightarrow M(6;11;-13)\Rightarrow  \) loại do:  \( OM=\sqrt{326};\text{ }OH=\frac{9}{\sqrt{326}} \);

 \( (ABC):6x+11y-13z+9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{335}{\sqrt{326}} \).

 \( \Rightarrow OH+HM\ne OM  \).

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho hai điểm A(1;1;1), B(2;2;1) và mặt phẳng (P):x+y+2z=0. Mặt cầu (S) thay đổi qua A, B và tiếp xúc với (P) tại H. Biết H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1), B(2;2;1) và mặt phẳng \( (P):x+y+2z=0 \). Mặt cầu (S) thay đổi qua A, B và tiếp xúc với (P) tại H. Biết H chạy trên 1 đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.

A. \( 3\sqrt{2} \)

B.  \( 2\sqrt{3} \)                       

C.  \( \sqrt{3} \)                

D.  \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Có A(1;1;1), B(2;2;1)  \( \Rightarrow  \) Phương trình AB:  \( \left\{ \begin{align} & x=1+t \\  & y=1+t \\  & z=1 \\ \end{align} \right. \).

Gọi K là giao điểm của AB và (P)  \( \Rightarrow K(-1;-1;1) \).

Có mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) tại H.

 \( \Rightarrow HK  \) là tiếp tuyến của (S).

 \( \Rightarrow K{{H}^{2}}=\overrightarrow{KA}.\overrightarrow{KB}=12\Rightarrow KH=2\sqrt{3} \) không đổi.

 \( \Rightarrow  \) Biết H chạy trên 1 đường tròn bán kính  \( 2\sqrt{3} \) không đổi.

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt phẳng (P):2x−2y−z+9=0 và mặt cầu (S):(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn (C) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):2x-2y-z+9=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=100 \). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn (C) là:

A. \( K(3;-2;1),\text{ }r=10 \)

B.  \( K(-1;2;3),\text{ }r=8 \)             

C.  \( K(1;-2;3),\text{ }r=8 \)                      

D.  \( K(1;2;3),\text{ }r=6 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

+ Mặt cầu (S) có tâm  \( I(3;-2;1),\text{ }R=10 \).

+ Khoảng cách từ I đến (P) là  \( IK=d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 6+4-1+9 \right|}{3}=6 \).

+ Đường thẳng qua I(3;-2;1) và vuông góc với (P) có phương trình tham số là  \( \left\{ \begin{align}  & x=3+2t \\  & y=-2-2t \\  & z=1-t \\ \end{align} \right. \), khi đó tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align} & x=3+2t \\  & y=-2-2t \\  & z=1-t \\  & 2x-2y-z+9=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow K(-1;2;3) \).

+ Bán kính:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{100-36}=8 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho đường thẳng d:x/2=y−3/1=z−2/1 và hai mặt phẳng (P):x−2y+2z=0, (Q):x−2y+3z−5=0. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \( d:\frac{x}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1} \) và hai mặt phẳng  \( (P):x-2y+2z=0 \),  \( (Q):x-2y+3z-5=0 \). Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình mặt cầu (S).

A. \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=1 \)

B. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=6 \)

C. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{2}{7} \)

D. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{(z+4)}^{2}}=8 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có:  \( I\in d\Rightarrow I(2t;3+t;2+t) \).

 \( I\in (P)\Rightarrow (P):2t-2(3+t)+2(2+t)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I(2;4;3) \).

(Q) tiếp xúc với (S) nên  \( R=d\left( I,(Q) \right)=\sqrt{\frac{2}{7}} \) .

Vậy  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{2}{7} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+6y+z−3=0 cắt trục Oz và đường thẳng d:(x−5)/1=y/2=(z−6)/−1 lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):2x+6y+z-3=0 \) cắt trục Oz và đường thẳng  \( d:\frac{x-5}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-6}{-1} \) lần lượt tại A và B. Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. \( {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+5)}^{2}}=36 \)

B. \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=9 \)

C. \( {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+5)}^{2}}=9 \)

D. \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=36 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

 \( (P)\cap Oz=A(0;0;3) \).

Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:

 \( \left\{ \begin{align}  & 2x+6y+z-3=0 \\  & \frac{x-5}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-6}{-1} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2x+6y+z-3=0 \\  & 2x-y-10=0 \\  & y+2z-12=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=4 \\  & y=-2 \\  & z=7 \\ \end{align} \right.\Rightarrow B(4;-2;7) \).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I(2;-1;5)\Rightarrow IA=\sqrt{4+1+4}=3 \).

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:  \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=9 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(0;−1;2), B(2;−3;0), C(−2;1;1), D(0;−1;3). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức: →MA.→MB=→MC.→MD=1. Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm \( A(0;-1;2) \),  \( B(2;-3;0) \),  \( C(-2;1;1) \),  \( D(0;-1;3) \). Gọi (L) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức:  \( \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1 \). Biết rằng (L) là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính r bằng bao nhiêu?

A. \( r=\frac{\sqrt{11}}{2} \)

B.  \( r=\frac{\sqrt{7}}{2} \)

C.  \( r=\frac{\sqrt{3}}{2} \)    

D.  \( r=\frac{\sqrt{5}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi M(x;y;z) là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:  \( \overrightarrow{AM}=(x;y+1;z-2) \),  \( \overrightarrow{BM}=(x-2;y+3;z) \),  \( \overrightarrow{CM}=(x+2;y-1;z-1) \),  \( \overrightarrow{DM}=(x;y+1;z-3) \).

Từ giả thiết:  \( \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=1 \\  & \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x(x-2)+(y+1)(y+3)+z(z-2)=1 \\  & x(x+2)+(y+1)(y-1)+(z-1)(z-3)=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-2z+2=0 \\  & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4z+1=0 \\ \end{align} \right. \)

Suy ra quỹ tính điểm M là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm  \( {{I}_{1}}(1;-2;1),\text{ }{{R}_{1}}=2 \) và mặt cầu tâm  \( {{I}_{2}}(-1;0;2),\text{ }{{R}_{2}}=2 \).

Ta có:  \( {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\sqrt{5} \)

Dễ thấy:  \( r=\sqrt{R_{1}^{2}-{{\left( \frac{{{I}_{1}}{{I}_{2}}}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4-\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{11}}{2} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm A(1;−1;4) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính P=a−b+c

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu đi qua điểm \( A(1;-1;4) \) và tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng tọa độ. Tính  \( P=a-b+c  \).

A. P = 6

B. P = 0

C. P = 3                           

D. P = 9

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ  \( {{d}_{\left( I,(Oyz) \right)}}={{d}_{\left( I,(Oxz) \right)}}={{d}_{\left( I,(Oxy) \right)}} \)

\(\Leftrightarrow \left| a \right|=\left| b \right|=\left| c \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=b=c \\  & a=b=-c \\  & a=-b=c \\  & a=-b=-c \\ \end{align} \right.\)

Nhận thấy chỉ có trường hợp  \( a=-b=c  \) thì phương trình  \( AI={{d}_{\left( I,(Oxy) \right)}} \) có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy:

+  \( a=-b=c  \) thì  \( I(a;-a;a) \)

 \( AI={{d}_{\left( I,(Oxy) \right)}}\Leftrightarrow {{(a-1)}^{2}}+{{(a-1)}^{2}}+{{(a-4)}^{2}}={{a}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}-6a+9=0\Leftrightarrow a=3 \)

Khi đó:  \( P=a-b+c=9 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=25 và hình nón (H) có đỉnh A(3;2;−2) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón (H) cắt mặt cầu tại M, N sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25 \) và hình nón (H) có đỉnh  \( A(3;2;-2) \) và nhận AI làm trục đối xứng với I là tâm mặt cầu. Một đường sinh của hình nón (H) cắt mặt cầu tại M, N sao cho AM = 3AN. Viết phương trình mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H).

A. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{71}{3} \)

B.  \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{70}{3} \)

C. \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{74}{3} \)

D.  \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{76}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi hình chiếu vuông góc của MN là K.

Dễ thấy  \( AN=NK=\frac{1}{3}AM  \), mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 5.

Có  \( AM.AN=A{{I}^{2}}-{{R}^{2}}=4 \)

 \( \Rightarrow A{{N}^{2}}=\frac{4}{3}\Rightarrow KN=AN=\frac{2\sqrt{3}}{3} \)\(\Rightarrow IK=\sqrt{I{{N}^{2}}-K{{N}^{2}}}=\frac{\sqrt{213}}{3}\).

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu (S) và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón (H) chính là mặt cầu tâm I(1;2;3) có bán kính  \( IK=\frac{\sqrt{213}}{3} \).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:  \( {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=\frac{71}{3} \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó a,b,c∈R∖{ 0;1 }. Bán kính của (S) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi (S) là mặt cầu đi qua điểm D(0;1;2) và tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó \( a,b,c\in \mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{  }\!\!\{\!\!\text{ 0;1 }\!\!\}\!\!\text{ } \). Bán kính của (S) bằng

A. \( \sqrt{5} \)

B.  \( \frac{\sqrt{5}}{2} \)         

C.  \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \)                                        

D.  \( 5\sqrt{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi I là tâm của mặt cầu (S). Vì (S) tiếp xúc với các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) nên ta có:  \( \left\{ \begin{align}& IA\bot Ox \\  & IB\bot Oy \\  & IC\bot Oz \\ \end{align} \right. \) hay A, B, C tương ứng là hình chiếu của I trên Ox, Oy, Oz  \( \Rightarrow I(a;b;c) \).

 \( \Rightarrow  \) Mặt cầu (S) có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\) với  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \) .

Vì (S) đi qua A, B, C, D nên ta có:  \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}={{b}^{2}}={{c}^{2}}=d\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\ & 5-2b-4c+d=0\begin{matrix}  {} & (2)  \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( a,b,c\in \mathbb{R}\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{  }\!\!\{\!\!\text{ 0;1 }\!\!\}\!\!\text{ } \) nên  \( 0<d\ne 1 \). Mặt khác, từ (1)  \( \Rightarrow R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{2d} \)    (*)

+ Trường hợp 1: Từ (1)  \( \Rightarrow b=c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-6\sqrt{d}+d=0\Leftrightarrow d=25 \)  (nhận)

 \( \Rightarrow R=\sqrt{2.25}=5\sqrt{2} \).

+ Trường hợp 2: Từ (1)  \( \Rightarrow b=c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+6\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)

+ Trường hợp 3: Từ (1)  \( \Rightarrow b=\sqrt{d},c=-\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5+2\sqrt{d}+d=0 \) (vô nghiệm)

+ Trường hợp 4: Từ (1)  \( \Rightarrow b=-\sqrt{d},c=\sqrt{d} \). Thay vào (*): \( 5-2\sqrt{d}+d=0  \)(vô nghiệm)

Vậy mặt cầu (S) có bán kính  \( R=5\sqrt{2} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x−cosα)^2+(y−cosβ)^2+(z−cosγ)^2=4 với α,β và γ lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox, Oy và Oz. Biết rằng mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): \( {{(x-\cos \alpha )}^{2}}+{{(y-\cos \beta )}^{2}}+{{(z-\cos \gamma )}^{2}}=4 \) với  \( \alpha ,\beta  \) và  \( \gamma  \) lần lượt là ba góc tạo bởi tia Ot bất kì với 3 tia Ox, Oy và Oz. Biết rằng mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu cố định. Tổng diện tích của hai mặt cầu cố định đó bằng

A. \( 40\pi \)                                                                                                         

B.  \( 4\pi  \)  

C.  \( 20\pi  \)     

D.  \( 36\pi  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta dễ dàng chứng minh được:  \( {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +{{\cos }^{2}}\gamma =1 \)

Mặt cầu (S) có tâm  \( I(\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma ) \).

Suy ra tâm I thuộc mặt cầu (S’) có tâm O(0;0;0),  \( R=\sqrt{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\beta +{{\cos }^{2}}\gamma )}=1 \)

Mặt cầu (S) luôn tiếp xúc với hai mặt cầu (S1), (S2).

Mặt cầu (S1) có tâm là O, bán kính \({{R}_{1}}=\left| OI-R \right|=\left| 1-2 \right|=1\).

Mặt cầu (S2) có tâm là O, bán kính  \( {{R}_{2}}=OI+R=1+2=3 \).

Vậy tổng diện tích hai mặt cầu bằng  \( 4\pi (R_{1}^{2}+R_{2}^{2})=4\pi ({{1}^{2}}+{{3}^{2}})=40\pi \) .

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm G(−6;−12;18). Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm O và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác O thỏa mãn tam giác ABC có trọng tâm là điểm \( G(-6;-12;18) \). Tọa độ tâm của mặt cầu (S) là:

A. \( (9;18;-27) \)

B.  \( (-3;-6;9) \)               

C.  \( (3;6;-9) \)                

D.  \( (-9;-18;27) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi tọa độ các điểm trên ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) với a, b, c > 0.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên  \( \left\{ \begin{align}  & \frac{a}{3}=-6 \\  & \frac{b}{3}=-12 \\  & \frac{c}{3}=18 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-18 \\  & b=-36 \\  & c=54 \\ \end{align} \right. \).

Gọi phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2mx-2ny-2pz+q=0 \). Vì (S) qua các điểm O, A, B, C nên ta có hệ:

 \( \left\{ \begin{align}  & q=0 \\ & 36m+q=-{{18}^{2}} \\  & 72n+q=-{{36}^{2}} \\  & -108p+q=-{{54}^{2}} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & m=-9 \\  & n=-18 \\  & p=27 \\  & q=0 \\ \end{align} \right. \)

Vậy tọa độ tâm mặt cầu (S) là:  \( (-9;-18;27) \).

Các bài toán liên quan