Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;1), bán kính  \( R=3 \).

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng  \( \Delta  \) và mặt phẳng (P).

Suy ra H là trung điểm của đoạn AB nên:

 \( AH=2\Rightarrow d\left( I,\Delta  \right)=IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{5} \) và  \( IK=d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 1-2+1+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & IK\bot (P) \\  & \Delta \subset (P) \\ \end{align} \right.\Rightarrow IK\bot \Delta  \) mà  \( IH\bot \Delta \Rightarrow \Delta \bot KH  \)

hay  \( KH=d\left( K,\Delta  \right) \) và  \( KH=\sqrt{I{{H}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{2} \).

Do  \( IK\bot (P) \) nên phương trình tham số đường thẳng  \( IK:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=2-t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right.\Rightarrow K(1+t;2-t;1+t) \).

Mà  \( K\in (P)\Rightarrow 1+t-2+t+1+t+3=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow K(0;3;0) \).

Từ đây ta có:  \( KH=d\left( K,\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{KN},\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\frac{\sqrt{{{(4b-3c)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{2} \)  (*).

Mặt khác, ta có:  \( \Delta \subset (P)\Rightarrow \vec{u}\bot {{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow 1-b+c=0\Leftrightarrow b=c+1 \).

Thay vào (*) ta được:  \( \sqrt{{{(c+4)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(c+4)}^{2}}}=\sqrt{2}.\sqrt{1+{{(c+1)}^{2}}+{{c}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 3{{c}^{2}}-24c+48=4{{c}^{2}}+4c+4\Leftrightarrow {{c}^{2}}-20c-44=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=22\text{ }(n) \\  & c=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra  \( b=23\Rightarrow b+c=45 \).