Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng \( (\alpha ):2x-2y+z+15=0 \) và mặt cầu \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=100 \). Đường thẳng \( \Delta \) qua M, nằm trên mặt phẳng \( (\alpha ) \) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng \( \Delta \).
A. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{3} \)
B. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \)
C. \( \frac{x+3}{16}=\frac{y-3}{11}=\frac{z+3}{-10} \)
D. \( \frac{x+3}{5}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{8} \)
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có: Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;5), bán kính \( R=10 \).
\( d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R\Rightarrow (\alpha )\cap (S)=C(H,r) \), với H là hình chiếu của I lên \( (\alpha ) \).
Gọi \( {{\Delta }_{1}} \) là đường thẳng qua I và vuông góc với \( (\alpha ) \) \( \Rightarrow {{\Delta }_{1}} \) có vectơ chỉ phương là \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;-2;1) \).
\( \Rightarrow \)Phương trình tham số của \( {{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=2+2t \\ & y=3-2t \\ & z=5+t \\ \end{align} \right. \).
Tọa độ H là nghiệm của hệ: \( \left\{ \begin{align} & x=2+2t \\ & y=3-2t \\ & z=5+t \\ & 2x-2y+z+15=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & x=-2 \\ & y=7 \\ & z=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow H(-2;7;3) \).
Ta có AB có độ dài lớn nhất \( \Leftrightarrow AB \) là đường kính của (C) \( \Leftrightarrow \Delta \equiv MH \).
Đường thẳng MH đi qua M(-3;3;-3) và có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{MH}=(1;4;6) \).
Suy ra phương trình \( \Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng