cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng (α):2x−2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x−2)^2+(y−3)^2+(z−5)^2=100. Đường thẳng Δ qua M, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng \( (\alpha ):2x-2y+z+15=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=100 \). Đường thẳng  \( \Delta  \) qua M, nằm trên mặt phẳng  \( (\alpha ) \) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  \( \Delta  \).

A. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{3} \)

B. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \)

C. \( \frac{x+3}{16}=\frac{y-3}{11}=\frac{z+3}{-10} \)

D. \( \frac{x+3}{5}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;5), bán kính  \( R=10 \).

 \( d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R\Rightarrow (\alpha )\cap (S)=C(H,r) \), với H là hình chiếu của I lên  \( (\alpha ) \).

Gọi  \( {{\Delta }_{1}} \) là đường thẳng qua I và vuông góc với  \( (\alpha ) \) \( \Rightarrow {{\Delta }_{1}} \) có vectơ chỉ phương là  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;-2;1) \).

 \( \Rightarrow  \)Phương trình tham số của  \( {{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\ \end{align} \right. \).

Tọa độ H là nghiệm của hệ:  \( \left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\  & 2x-2y+z+15=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-2 \\  & y=7 \\  & z=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow H(-2;7;3) \).

Ta có AB có độ dài lớn nhất  \( \Leftrightarrow AB  \) là đường kính của (C)  \( \Leftrightarrow \Delta \equiv MH  \).

Đường thẳng MH đi qua M(-3;3;-3) và có vectơ chỉ phương  \( \overrightarrow{MH}=(1;4;6) \).

Suy ra phương trình  \( \Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−1)2=9, mặt phẳng (P):x−y+z+3=0 và điểm N(1;0;-4) thuộc (P). Một đường thẳng Δ đi qua N nằm trong (P) cắt (S) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB=4

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9 \), mặt phẳng  \( (P):x-y+z+3=0 \) và điểm N(1;0;-4) thuộc (P). Một đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua N nằm trong (P) cắt (S) tại hai điểm A, B thỏa mãn  \( AB=4 \). Gọi  \( \vec{u}=(1;b;c),\text{ }(c>0) \) là một vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \), tổng  \( b+c \)  bằng

A. 1

B. 3

C. -1                                 

D. 45

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;1), bán kính  \( R=3 \).

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng  \( \Delta  \) và mặt phẳng (P).

Suy ra H là trung điểm của đoạn AB nên:

 \( AH=2\Rightarrow d\left( I,\Delta  \right)=IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{5} \) và  \( IK=d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 1-2+1+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & IK\bot (P) \\  & \Delta \subset (P) \\ \end{align} \right.\Rightarrow IK\bot \Delta  \) mà  \( IH\bot \Delta \Rightarrow \Delta \bot KH  \)

hay  \( KH=d\left( K,\Delta  \right) \) và  \( KH=\sqrt{I{{H}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{2} \).

Do  \( IK\bot (P) \) nên phương trình tham số đường thẳng  \( IK:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=2-t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right.\Rightarrow K(1+t;2-t;1+t) \).

Mà  \( K\in (P)\Rightarrow 1+t-2+t+1+t+3=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow K(0;3;0) \).

Từ đây ta có:  \( KH=d\left( K,\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{KN},\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\frac{\sqrt{{{(4b-3c)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{2} \)  (*).

Mặt khác, ta có:  \( \Delta \subset (P)\Rightarrow \vec{u}\bot {{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow 1-b+c=0\Leftrightarrow b=c+1 \).

Thay vào (*) ta được:  \( \sqrt{{{(c+4)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(c+4)}^{2}}}=\sqrt{2}.\sqrt{1+{{(c+1)}^{2}}+{{c}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 3{{c}^{2}}-24c+48=4{{c}^{2}}+4c+4\Leftrightarrow {{c}^{2}}-20c-44=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=22\text{ }(n) \\  & c=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra  \( b=23\Rightarrow b+c=45 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng (P):x+y+z+1=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−7=0. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng \( (P):x+y+z+1=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-7=0 \). Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng đi qua A và  \( \Delta  \) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S). Phương trình của đường thẳng  \( \Delta  \) là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=t \\  & y=1 \\  & z=-2-t \\ \end{align} \right. \) 

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1+t \\  & z=-2+t \\ \end{align} \right. \)   

C.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \)          

D.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1+t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) và bán kính  \( R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+7}=2\sqrt{3} \).

 \( \overrightarrow{AI}=(1;1;2)\Rightarrow AI=\sqrt{6}<R\Rightarrow A  \) nằm trong mặt cầu (S) và A nằm trên dây cung BC (1).

 \( {{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IB.IC.\sin \widehat{BIC}=\frac{{{R}^{2}}}{2}\sin \widehat{BIC}\le \frac{{{R}^{2}}}{2} \) nên diện tích  \( \Delta IBC  \) đạt giá trị lớn nhất là  \( \frac{{{R}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \sin \widehat{BIC}=1\Rightarrow \widehat{BIC}={{90}^{O}}\Rightarrow \Delta IBC  \) vuông cân tại I  \( \Rightarrow BC=IC\sqrt{2}=R\sqrt{2}=2\sqrt{6} \).

Gọi J là trung điểm của BC. Ta có:  \( IJ\bot BC  \) và  \( IJ=\frac{BC}{2}=\sqrt{6} \)   (2).

 \( \Delta AIJ  \) vuông tại J  \( \Rightarrow AI\ge IJ  \), kết hợp thêm với (1) và (2) ta có  \( IJ=AI\Rightarrow A\equiv J\Rightarrow A  \) là trung điểm của BC và  \( IA\bot BC  \).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1) \) có giá vuông góc với  \( \Delta  \).

Vậy  \( \Delta  \) nhận  \( \vec{u}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{AI} \right]=(1;-1;0) \) làm vectơ chỉ phương và đi qua A(0;1;-2).

 \( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho điểm E(1;1;1), mặt phẳng (P):x−3y+5z−3=0 và mặt cầu (S):x^2+y^2+z^2=4. Gọi Δ là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB=2. Phương trình đường thẳng Δ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm E(1;1;1), mặt phẳng \( (P):x-3y+5z-3=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \). Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho  \( AB=2 \). Phương trình đường thẳng  \( \Delta  \) là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=1-2t \\  & y=2-t \\  & z=1-t \\ \end{align} \right. \)             

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=1+t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \)

C.  \( \left\{ \begin{align}  & x=1-2t \\  & y=-3+t \\  & z=5+t \\ \end{align} \right. \)

D.  \( \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\  & y=1-t \\  & z=1-t \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;0), bán kính  \( R=2 \) .

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;-3;5) \).

Gọi H là hình chiếu của I lên  \( \Delta \Rightarrow AH=BH=\frac{AB}{2}=1 \).

Xét  \( \Delta IAH  \) vuộng tại H  \( \Rightarrow IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3} \).

Mặt khác, ta có:  \( \overrightarrow{IE}=(1;1;1)\Rightarrow IE=\sqrt{3}=IH\Rightarrow H\equiv E\Rightarrow IE\bot \Delta  \).

Đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua E(1;1;1), vuông góc với IE và chứa trong (P) nên vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \):  \( {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{IE} \right]=(-8;4;4)=-4(2;-1;-1) \) \( \Rightarrow \vec{u}=(2;-1;-1) \) cũng là vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \).

Phương trình đường thẳng  \( \Delta  \) là:  \( \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\  & y=1-t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right. \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng (P):2x+2y−z−3=0 và mặt cầu (S):(x−3)^2+(y−2)^2+(z−5)^2=36. Gọi Δ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của Δ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng \( (P):2x+2y-z-3=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=36 \). Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của  \( \Delta  \) là:

A.\( \left\{ \begin{align} & x=2+9t \\  & y=1+9t \\  & z=3+8t \\ \end{align} \right. \)           

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=2-5t \\  & y=1+3t \\  & z=3 \\ \end{align} \right. \)  

C.  \( \left\{ \begin{align}  & z=2+t \\  & y=1-t \\  & z=3 \\ \end{align} \right. \)           

D.  \( \left\{ \begin{align}  & x=2+4t \\  & y=1+3t \\  & z=3-3t \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(3;2;5) và bán kính  \( R=6 \).

 \( IE=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<R\Rightarrow  \) điểm E nằm trong mặt cầu (S).

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P), A và B là hai giao điểm của  \( \Delta  \) với (S).

Khi đó,  \( A{{B}_{\min }}\Leftrightarrow AB\bot OE  \), mà  \( AB\bot IH  \) nên  \( AB\bot (HIE)\Rightarrow AB\bot IE  \).

Suy ra:  \( {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{EI} \right]=(5;-5;0)=5(1;-1;0) \).

Vậy phương trình của  \( \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=2+t \\  & y=1-t \\  & z=3 \\ \end{align} \right. \).

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu (S):(x−2)^2+(y−3)^2+(z−4)^2=14 và mặt phẳng (α):x+3y+2z−5=0. Biết đường thẳng Δ nằm trong (α), cắt trục Ox và tiếp xúc với (S). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của Δ

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-4)}^{2}}=14 \) và mặt phẳng  \( (\alpha ):x+3y+2z-5=0 \). Biết đường thẳng  \( \Delta  \) nằm trong \( (\alpha \)), cắt trục Ox và tiếp xúc với (S). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \)?

A. \( \vec{u}=(4;-2;1) \)

B.  \( \vec{v}=(2;0;-1) \)  

C.  \( \vec{m}=(-3;1;0) \)

D.  \( \vec{n}=(1;-1;1) \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;4) và bán kính  \( R=\sqrt{14} \).

Ta có:  \( d\left( I,(\alpha ) \right)=\sqrt{14}=R\Rightarrow (\alpha ) \) tiếp xúc với (S).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  \( (\alpha )\Rightarrow H(1;0;2) \).

Gọi  \( A=\Delta \cap Ox\Rightarrow A(a;0;0) \) và  \( \overrightarrow{AH}=(a-1;0;-2) \).

Đường thẳng  \( \Delta  \) nằm trong  \( (\alpha ) \), cắt trục Ox và tiếp xúc với (S) nên  \( \overrightarrow{AH}\bot {{\vec{n}}_{\alpha }} \).

Tức là:  \( a-1+0-4=0\Leftrightarrow a=5\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(4;0;-2)=2(2;0;-1) \) cùng phương với  \( \vec{v}=(2;0;-1) \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+m=0 \) (m là tham số) và đường thẳng \( \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=4+2t \\  & y=3+t \\  & z=3+2t \\ \end{align} \right. \). Biết đường thẳng \( \Delta\) cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho \( AB=8 \). Giá trị của m là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-6y+m=0 \) (m là tham số) và đường thẳng  \( \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=4+2t \\  & y=3+t \\  & z=3+2t \\ \end{align} \right. \). Biết đường thẳng  \( \Delta  \) cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho  \( AB=8 \). Giá trị của m là:

A. \( m=5 \)

B. \( m=12 \)                   

C. \( m=-12 \)

D. \( m=-10 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi H là trung điểm đoạn AB  \( \Rightarrow IH\bot AB,\text{ }AH=4 \).

Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0), bán kính  \( R=\sqrt{13-m},\text{ }(m<13) \).

Đường thẳng  \( \Delta \)  đi qua M(4;3;3) và có 1 vectơ chỉ phương  \( \vec{u}=(2;1;2) \).

Ta có: \(\overrightarrow{IM}=(6;0;3)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right]=(-3;-6;6)\Rightarrow IH=d\left( I,\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM},\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=3\).

Ta có:  \( {{R}^{2}}=I{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}\Leftrightarrow 13-m={{3}^{2}}+{{4}^{2}}\Leftrightarrow m=-12 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;6;2), B(2;-2;0) và mặt phẳng (P):x+y+z=0. Xét đường thẳng d thay đổi được (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó

(THPTQG – 2017 – 110) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;6;2), B(2;-2;0) và mặt phẳng \( (P):x+y+z=0 \). Xét đường thẳng d thay đổi được (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi thì H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.

\( R=\sqrt{3} \) B.  \( R=2 \)                      C.  \( R=1 \)                      D.  \( R=\sqrt{6} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB  \( \Rightarrow I(3;2;1) \).

 \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 3+2+1 \right|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \).

Gọi (S) là mặt cầu có tâm I(3;2;1) và bán kính  \( {R}’=\frac{AB}{2}=3\sqrt{2} \).

Ta có  \( H\in (S) \). Mặt khác,  \( H\in (P) \) nên  \( H\in (C)=(S)\cap (P) \).

Bán kính của đường tròn (C) là  \( R=\sqrt{{{({R}’)}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)}=\sqrt{{{\left( 3\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;1) và đường thẳng d:(x−1)/1=(y−2)/2=(z−3)/3. Đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;0;1) và đường thẳng \( d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3} \). Đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt Oz có phương trình là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=1-3t \\  & y=0 \\ & z=1+t \\ \end{align} \right. \)

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=1-3t \\  & y=0 \\  & z=1-t \\ \end{align} \right. \)     

C.  \( \left\{ \begin{align} & x=1-3t \\  & y=t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \)     

D.  \( \left\{ \begin{align}  & x=1+3t \\  & y=0 \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  \( \vec{u}=(1;2;3) \).

Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng đi qua M, vuông góc với d và cắt Oz.

Gọi  \( N(0;0;t)=\Delta \cap Oz\Rightarrow \overrightarrow{MN}=(-1;0;t-1) \).

 \( \Delta \bot d\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\vec{u}=0\Leftrightarrow t=\frac{4}{3}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -1;0;\frac{1}{3} \right) \)

Khi đó \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương với \({{\vec{u}}_{1}}=(-3;0;1)\).

Đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua điểm M(1;0;1) và có một vectơ chỉ phương (-3;0;1) nên có phương trình:  \( \left\{ \begin{align} & x=1-3t \\ & y=0 \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x/1=(y+1)/2=(z−1)/1 và mặt phẳng (P):x−2y−z+3=0. Đường thẳng nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với Δ có phương trình là

(THPTQG – 2018 – 104) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \( \Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1} \) và mặt phẳng  \( (P):x-2y-z+3=0 \). Đường thẳng nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với  \( \Delta  \) có phương trình là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=1-t \\  & z=2 \\ \end{align} \right. \)

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=-3 \\  & y=-t \\  & z=2t \\ \end{align} \right. \)          

C.  \( \left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1-2t \\ & z=2+3t \\ \end{align} \right. \)

D.  \( \left\{ \begin{align}  & x=1 \\  & y=1-t \\  & z=2+2t \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=-1+2t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \)

Gọi  \( M=\Delta \cap (P)\Rightarrow M\in \Delta \Rightarrow M(t;2t-1;t+1) \)

 \( M\in (P)\Rightarrow t-2(2t-1)-(t+1)+3=0 \)

 \( \Leftrightarrow 4-4t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(1;1;2) \)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là  \( \vec{n}=(1;-2;-1) \).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng  \( \Delta  \) là  \( \vec{u}=(1;2;1) \).

Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với  \( \Delta  \)

 \( \Rightarrow  \) Đường thẳng d nhận \({{\vec{u}}_{d}}=\left[ \vec{n},\vec{u} \right]=(0;-2;4)=2(0;-1;2)\) làm vectơ chỉ phương và \(M(1;1;2)\in d\).

 \( \Rightarrow  \) Phương trình đường thẳng  \( d:\left\{ \begin{align} & x=1 \\  & y=1-t \\  & z=2+2t \\ \end{align} \right. \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:(x+1)/2=y/−1=(z+2)/2 và mặt phẳng (P):x+y−z+1=0. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình là

(THPTQG – 2018 – 103) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \( d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{2} \) và mặt phẳng  \( (P):x+y-z+1=0 \). Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với d có phương trình là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=-1+t \\  & y=-4t \\ & z=-3t \\ \end{align} \right. \)             

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=3+t \\  & y=-2+4t \\  & z=2+t \\ \end{align} \right. \)

C.  \( \left\{ \begin{align}  & x=3+t \\  & y=-2-4t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right. \)

D.  \( \left\{ \begin{align} & x=3+2t \\ & y=-2+6t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

  \( d:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-t \\  & z=-2+2t \\ \end{align} \right. \)

Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d.

 \( {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{u}}}_{d}},{{{\vec{n}}}_{P}} \right]=(-1;4;3) \)

Gọi A là giao điểm của d và (P). Tọa độ A là nghiệm của phương trình:

 \( (-1+2t)+(-t)-(-2+2t)+1=0\Leftrightarrow t=2 \) \( \Rightarrow A(3;-2;2) \)

Phương trình  \( \Delta  \) qua  \( A(3;-2;2) \) có VTCP  \( {{\vec{u}}_{\Delta }}=(-1;4;3) \) có dạng:  \( \left\{ \begin{align}  & x=3+t \\  & y=-2-4t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right. \).

 

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;2;1), B(−8/3;4/3;8/3). Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là

(Đề tham khảo – 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;2;1), \( B\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right) \). Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là:

A. \( \frac{x+\frac{2}{9}}{1}=\frac{y-\frac{2}{9}}{-2}=\frac{z+\frac{5}{9}}{2} \)

B.  \( \frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-2}=\frac{z-4}{2} \)

C. \( \frac{x+\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{11}{6}}{2} \)

D.  \( \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right]=(4;-8;8) \).

Gọi d là đường thẳng thỏa mãn khi đó d có VTCP  \( \vec{u}=(1;-2;2) \).

Ta có OA = 3, OB = 4, AB = 5.

Gọi I(x;y;z) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Áp dụng hệ thức:  \( OB.\overrightarrow{IA}+OA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IO}=\vec{0} \)

 \( \Leftrightarrow 4.(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI})+3.(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI})+5.\overrightarrow{IO}=\vec{0} \)

 \( \Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\frac{1}{12}\left( 4\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right)\Rightarrow I(0;1;1) \)

Suy ra  \( d:\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-2t \\  & z=1+2t \\ \end{align} \right. \) cho  \( t=-1\Rightarrow d  \) đi qua điểm  \( M(-1;3;-1) \).

Do đó d đi qua  \( M(-1;3;-1) \) có VTCP  \( \vec{u}=(1;-2;2) \) nên đường thẳng có phương trình  \( \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng d có phương trình: (x−1)/1=y/1=(z+1)/2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc và cắt d

(Đề Minh Họa – 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;2) và đường thẳng d có phương trình: \( \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2} \). Viết phương trình đường thẳng  \( \Delta \)  đi qua A, vuông góc và cắt d.

A. \( \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1} \)

B.  \( \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-2}{1} \)          

C.  \( \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1} \)    

D.  \( \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  \( \vec{u}=(1;1;2) \).

Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d, nên nhận vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến (P):  \( 1(x-1)+y+2(z-2)=0\Leftrightarrow x+y+2z-5=0 \)

Gọi B là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d  \( \Rightarrow B(1+t;t-1;-1+2t) \)

Vì  \( B\in (P)\Leftrightarrow (1+t)+t+2(-1+2t)-5=0 \)

 \( \Leftrightarrow t=1\Rightarrow B(2;1;1) \)

Ta có đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua A và nhận vectơ  \( \overrightarrow{AB}=(1;1;-1) \) là vectơ chỉ phương có dạng  \( \Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1} \).

Cách 2:

Gọi  \( d\cap \Delta =B\Rightarrow B(1+t;t;-1+2t) \)

 \( \overrightarrow{AB}=(t;t;-3+2t) \), đường thẳng d có VTCP là \({{\vec{u}}_{d}}=(1;1;2)\).

Vì \(d\bot \Delta \) nên \(\overrightarrow{AB}\bot {{\vec{u}}_{d}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0\)

\(\Leftrightarrow t+t+2(-3+2t)=0\Leftrightarrow t=1\)

Suy ra  \( \overrightarrow{AB}=(1;1;-1) \). Ta có đường thẳng  \( \Delta \)  đi qua A(1;0;2) và nhận vectơ  \( \overrightarrow{AB}=(1;1;-1) \) là vectơ chỉ phương có dạng  \( \Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:(x−3)/−1=(y−3)/−2=(z+2)/1; d2:(x−5)/−3=(y+1)/2=(z−2)/1 và mặt phẳng (P): x+2y+3z−5=0. Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d1 và d2 có phương trình là

(Đề tham khảo – 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1} \);  \( {{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} \) và mặt phẳng (P):  \( x+2y+3z-5=0 \). Đường thẳng vuông góc với (P), cắt d1 và d2 có phương trình là:

A. \( \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1} \)

B.  \( \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3} \)    

C.  \( \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3} \)   

D.  \( \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Phương trình  \( {{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=3-{{t}_{1}} \\  & y=3-2{{t}_{1}} \\  & z=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right. \) và  \( {{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=5-3{{t}_{2}} \\  & y=-1+2{{t}_{2}} \\  & z=2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right. \).

Gọi đường thẳng cần tìm là  \( \Delta  \).

Giả sử đường thẳng  \( \Delta  \)cắt đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại A, B.

Gọi  \( A(3-{{t}_{1}};3-2{{t}_{1}};-2+{{t}_{1}}) \),  \( B(5-3{{t}_{2}};-1+2{{t}_{2}};2+{{t}_{2}}) \).

 \( \overrightarrow{AB}=(2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}};-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}};4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}) \).

Vectơ pháp tuyến của (P) là  \( \vec{n}=(1;2;3) \).

Do  \( \overrightarrow{AB} \) và  \( \vec{n} \) cùng phương nên  \( \frac{2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}}}{1}=\frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2}=\frac{4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{3} \).

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{2-3{{t}_{2}}+{{t}_{1}}}{1}=\frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2} \\  & \frac{-4+2{{t}_{2}}+2{{t}_{1}}}{2}=\frac{4+{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}_{1}}=2 \\  & {{t}_{2}}=1 \\ \end{align} \right. \)

Do đó, A(1;-1;0), B(2;-1;3).

Phương trình đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua A(1;-1;0) và có vectơ chỉ phương  \( \vec{n}=(1;2;3) \) là:  \( \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!