cho mặt cầu (S):x2+y2+z2=3. Một mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn OA^2+OB^2+OC^2=27. Diện tích tam giác ABC bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \). Một mặt phẳng  \( (\alpha ) \) tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn  \( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27 \). Diện tích tam giác ABC bằng

A. \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)

B.  \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \)       

C.  \( 3\sqrt{3} \)              

D.  \( 9\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi H(a;b;c) là tiếp điểm của mặt phẳng  \( (\alpha ) \) và mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có a, b, c là các số dương.

Mặt khác,  \( H\in (S) \) nên  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3 \) hay  \( O{{H}^{2}}=3\Leftrightarrow OH=\sqrt{3} \)  (1)

Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng OH nên nhận  \( \overrightarrow{OH}=(a;b;c) \) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, mặt phẳng  \( (\alpha ) \) có phương trình là:

 \( a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=0 \)

 \( \Leftrightarrow ax+by+cz-3=0 \).

Suy ra:  \( A\left( \frac{3}{a};0;0 \right),\text{ }B\left( 0;\frac{3}{b};0 \right),\text{ }C\left( 0;0;\frac{3}{c} \right) \).

Theo đề:  \( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27\Leftrightarrow \frac{9}{{{a}^{2}}}+\frac{9}{{{b}^{2}}}+\frac{9}{{{c}^{2}}}=27\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=3 \)   (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)=9 \).

Mặt khác, ta có:  \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)\ge 9 \) và dấu “=” xảy ra khi  \( a=b=c=1 \).

Suy ra,  \( OA=OB=OC=3 \) và  \( {{V}_{O.ABC}}=\frac{OA.OB.OC}{6}=\frac{9}{2} \).

Lúc đó:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3{{V}_{O.ABC}}}{OH}=\frac{9\sqrt{3}}{2} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. N(0;2;2)

B. M(0;2;1)

C. P(2;0;0)                       

D. Q(2;0;-1)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) ( \( a,b,c>0 \)) lần lượt là các điểm của (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz.

Ta có:  \( (P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

Vì  \( M\in (P) \) nên ta có  \( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \)  (1).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow abc\ge 54\).

Thể tích khối chóp  \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge 9 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c} \)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( a=3;b=6;c=3 \).

Vậy phương trình mặt phẳng  \( (P):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow N(0;2;2)\in (P) \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt phẳng (P):x−y+2=0 và hai điểm A(1;2;3), B(1;0;1). Điểm C(a;b;−2)∈(P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a+b

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x-y+2=0 \) và hai điểm A(1;2;3), B(1;0;1). Điểm  \( C(a;b;-2)\in (P) \) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính  \( a+b  \).

A. 0

B. -3                                 

C. 1                                   

D. 2

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( C(a;b;-2)\in (P)\Rightarrow a-b+2=0\Rightarrow b=a+2\Rightarrow C(a;a+2;-2) \).

 \( \overrightarrow{AB}=(0;-2;-2),\overrightarrow{AC}=(a-1;a;-5)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(10+2a;-2a+2;2a-2) \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{{{(2a+10)}^{2}}+2{{(2a-2)}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{12{{a}^{2}}+24a+108}}{2} \)

 \( =\sqrt{3({{a}^{2}}+2a+9)}=\sqrt{3{{(a+1)}^{2}}+24}\ge 2\sqrt{6},\text{ }\forall a  \).

Do đó  \( \min {{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{6} \) khi  \( a=-1 \). Khi đó, ta có  \( C(-1;1;-2)\Rightarrow a+b=0 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2=4. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−4=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu  \( (S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \). Mặt phẳng  \( (P):ax+by+cz-4=0 \) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính  \( T=a+b+c  \)?

A. \( T=\frac{1}{5} \)

B.  \( T=\frac{3}{4} \)     

C.  \( T=1 \)  

D.  \( T=-2 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: (S) có tâm I(-1;1;0) và bán kính  \( R=2 \).

Do  \( A,B\in (P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2b+4c-4=0 \\  & c-4=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-2b-12 \\  & c=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow (P):-2(b+6)x+by+4z-4=0 \).

Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của (P) và (S)  \( \Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)} \), để r đạt giá trị nhỏ nhất

 \( \Leftrightarrow d\left( I,(P) \right) \) đạt giá trị lớn nhất.

Mà  \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 3b+8 \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}+48b+160}} \).

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{3x+8}{\sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160}} \);

 \( {f}'(x)=\frac{32x+288}{{{\left( \sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160} \right)}^{3}}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=-9 \).

Bảng biến thiên:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) là:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( x=-9\Rightarrow b=-9\Rightarrow a=6\Rightarrow T=1 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ thỏa mãn AB/AB′+AC/AC′+AD/AD′=8. Khi tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng (B′C′D′) có phương trình dạng 6x+my+nz+p=0

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \( {B}’,{C}’,{D}’ \) thỏa mãn  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \). Khi tứ diện  \( A{B}'{C}'{D}’ \) có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) có phương trình dạng  \( 6x+my+nz+p=0\text{ }(m,n,p\in \mathbb{Z}) \). Tính  \( {{m}^{2}}-n-p  \).

A. 3

B. -3                                 

C. 7                                   

D. -7

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có:  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \).

Suy ra:  \( 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{512} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( x=y=z  \).

 \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(1;1;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(0;-2;4) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(6;-4;-2),\text{ }\overrightarrow{AD}=(3;5;-5) \).

Thể tích của tứ diện ABCD là  \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{4}{3} \).

Lại có:  \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \)khi và chỉ khi  \( x=y=z=\frac{3}{8}\Rightarrow  \) Mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm  \( {B}’ \).

Vì  \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{8};\frac{3}{8};\frac{3}{8} \right) \) nên  \( {B}’\left( \frac{11}{8};\frac{3}{8};-\frac{13}{8} \right) \).

\(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=(-1;-3;3) \\  & \overrightarrow{BD}=(2;4;-6) \\\end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(6;0;2)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là  \( \vec{n}=(6;0;2) \).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):6x+2z-5=0\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & m=0 \\  & n=2 \\  & p=-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-n-p=3\).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1;1), B(2;0;2), C(-1;-1;0), D(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ thỏa AB/AB′+AC/AC′+AD/AD′=4. Viết phương trình mặt phẳng (B′C′D′) biết tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1;1), B(2;0;2), C(-1;-1;0), D(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \( {B}’,{C}’,{D}’ \) thỏa  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=4 \). Viết phương trình mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) biết tứ diện  \( A{B}'{C}'{D}’ \) có thể tích nhỏ nhất?

A. \( 16x+40y+44z-39=0 \)

B.  \( 16x-40y-44z+39=0 \)

C. \( 16x+40y-44z+39=0 \)

D.  \( 16x-40y-44z-39=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đặt  \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có:  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=4 \).

Suy ra:  \( 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{64} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( x=y=z  \).

 \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(1;-1;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(-2;-2;-1) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(3;-1;-4),\text{ }\overrightarrow{AD}=(-1;2;3) \).

Thể tích của tứ diện ABCD là  \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{17}{6} \).

Lại có:  \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \) khi và chỉ khi  \( x=y=z=\frac{3}{4}\Rightarrow  \)Mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm  \( {B}’ \).

Vì  \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{3}{4} \right) \) nên  \( {B}’\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right) \).

\(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=(-3;-1;-2) \\  & \overrightarrow{BD}=(-2;3;2) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là  \( \vec{n}=(4;10;-11) \).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):16x+40y-44z+39=0\).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt phẳng (P):x−y+2z−1=0 và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu (S):(x−2)2+(y+1)2+(z−2)2=4. CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x-y+2z-1=0 \) và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \). CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là:

A. \( 2\sqrt{6} \)

B.  \( 2\sqrt{5} \)                       

C.  \( 2\sqrt{2} \)              

D.  \( 2\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;2), mặt phẳng (P) có VTPT  \( \vec{n}=(1;-1;2) \). Gọi điểm C(x;y;z), ta có  \( C\in (S) \) nên  \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)    (1).

Do CD là đường kính của mặt cầu (S) nên I là trung điểm của CD, suy ra  \( D(4-x;-y-2;4-z) \).

Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng (P) nên

 \( \overrightarrow{IC}\bot \vec{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}.\vec{n}=0\Leftrightarrow x-2-(y+1)+2(z-2)=0 \)  (2)

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(1;-1;-1);\text{ }\overrightarrow{AC}=(x;y-1;z-1);\text{ }\overrightarrow{AD}=(4-x;-y-3;3-z) \).

 \( \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=\left( 2y+4z-6;-2x+4z-4;-4x-4y+4 \right) \).

 \( \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=2y+4z-6+(-1).(-2x+4z-4)+(-1).(-4x-4y+4)=6x+6y-6 \).

Thể tích khối tứ diện ABCD là: \(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right] \right|=\left| x+y-1 \right|\).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & x-2=a \\  & y+1=b \\  & z-2=c \\ \end{align} \right. \). Từ (1) và (2) ta có hệ:  \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4 \\  & a-b+2c=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a-b=-2c \\  & ab=\frac{4-5{{c}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right. \).

 \( V=\left| x+y-1 \right|=\left| x-2+y+1 \right|=\left| a+b \right|=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+4ab} \)

 \( =\sqrt{4{{c}^{2}}+2(4-5{{c}^{2}})}=\sqrt{8-6{{c}^{2}}}\le 2\sqrt{2} \).

Vậy giá trị lớn nhất của V là  \( 2\sqrt{2} \) khi và chỉ khi:

 \( \left\{ \begin{align}  & z-2=0 \\  & x-2=y+1 \\  & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2+\sqrt{2};y=-1+\sqrt{2};z=2 \\  & x=2-\sqrt{2};y=-1-\sqrt{2};z=2 \\ \end{align} \right. \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho hai điểm A(0;-1;-1), B(-1;-3;1). Giả sử C, D là hai điểm di động trên mặt phẳng (P):2x+y−2z−1=0 sao cho CD=4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;-1), B(-1;-3;1). Giả sử C, D là hai điểm di động trên mặt phẳng  \( (P):2x+y-2z-1=0 \) sao cho  \( CD=4 \) và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng  \( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. \( \frac{34}{3} \)                                           

B.  \( \frac{37}{3} \)                 

C.  \( \frac{11}{3} \)        

D.  \( \frac{17}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(-1;-2;2) \).

Gọi H là hình chiếu của B trên CD ta có  \( BH\le BA  \) nên  \( {{S}_{\Delta BCD}} \) lớn nhất khi  \( H\equiv A  \).

Vậy  \( {{S}_{1}}=\frac{1}{2}BA.CD=\frac{1}{2}.3.4=6 \).

Gọi H1 là hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) khi đó  \( {{S}_{\Delta BCD}}\ge \frac{1}{2}B{{H}_{1}}.CD=\frac{1}{2}d\left( B,(P) \right).CD  \) điều này xảy ra khi A, C, D, H1 thẳng hàng.

Vậy  \( {{S}_{2}}=\frac{1}{2}d\left( B,(P) \right).CD=\frac{1}{2}.\frac{\left| -2-3-2-1 \right|}{\sqrt{9}}.4=\frac{16}{3} \).

Khi đó:  \( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}=6+\frac{16}{3}=\frac{34}{3} \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=27. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0;0;-4), B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=27 \). Gọi  \( (\alpha ) \) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0;0;-4), B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng  \( (\alpha ) \) có phương trình dạng  \( ax+by-z+c=0 \), khi đó  \( a-b+c  \) bằng:

A. 8

B. 0

C. 2                                   

D. -4

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Vì  \( (\alpha ) \) qua A, ta có:  \( -(-4)+c=0\Rightarrow c=-4 \).

+ Vì  \( (\alpha ) \) qua B, ta có:  \( 2a+c=0\Rightarrow a=2 \).

 \( \Rightarrow (\alpha ):2x+by-z-4=0 \).

+ Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3), bán kính  \( R=3\sqrt{3} \).

+ Chiều cao khối nón:  \( h=d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2-2b-3-4 \right|}{\sqrt{4+{{b}^{2}}+1}}=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Bán kính đường tròn:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{27-{{\left( \frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}}=\sqrt{27-\frac{{{(2b+5)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Thể tích khối nón:  \( V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( 27-\frac{{{(2b+5)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5} \right).\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Tới đây ta có thể thử các trường hợp đáp án.

Hoặc ta làm tự như sau:

Đặt  \( t=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \) và xét hàm số  \( f(t)=(27-{{t}^{2}})t  \) trên đoạn  \( \left[ 0;3\sqrt{3} \right] \).

Ta có:  \( {f}'(t)=27-3{{t}^{2}};\text{ }{f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=3 \\  & t=-3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi:

 \( t=3\Leftrightarrow {{\left( \frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}+20b+25=9{{b}^{2}}+45 \)

 \( \Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-20b+20=0\Leftrightarrow b=2 \).

Vậy  \( a-b+c=-4 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=9, điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9 \), điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là:

A. \( (P):x-2y+3z-6=0 \)

B. \( (P):x+2y+3z-6=0 \)

C. \( (P):3x+2y+2z-4=0 \)

D.  \( (P):x+2y+z-2=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính  \( R=3 \).

Ta có:  \( IA=\sqrt{6}<R\Rightarrow A  \) nằm trong mặt cầu (S).

Do đó, mặt phẳng (P) qua A luôn cắt mặt cầu (S) theo tiết diện là hình tròn (C) có bán kính  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}} \) (với H là hình chiếu của I(1;2;3) trên (P)).

Ta luôn có  \( IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}} \).

Diện tích của hình tròn (C) nhỏ nhất khi bán kính r nhỏ nhất, tức là  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow H\equiv A  \).

Khi đó  \( IA\bot (P)\Rightarrow  \) Mặt phẳng (P) nhận  \( \overrightarrow{IA}=(-1;-2;-1) \) làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng  \( (P):-x-2y-(z-2)=0\Leftrightarrow x+2y+z-2=0 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A. \( 5\sqrt{6} \)

B.  \( 4\sqrt{6} \)                       

C.  \( 3\sqrt{6} \)              

D.  \( 2\sqrt{6} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt B(0;b;0), C(0;0;c), với  \( b,c>0 \).

Phương trình của mặt phẳng (P) là:  \( \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

 \( M\in (P)\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \).

Suy ra:  \( \frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{\sqrt{bc}}\Rightarrow bc\ge 16 \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}\ge \frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+8bc}=\frac{1}{2}\sqrt{{{16}^{2}}+8.16}=4\sqrt{6} \).

Vậy  \( \min {{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow b=c=4 \)

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=25. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−2=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

(THPTQG – 105 – 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu  \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25 \). Mặt phẳng  \( (P):ax+by+cz-2=0 \) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính  \( T=a+b+c  \).

A. T = 3

B. T = 4                           

C. T = 5                           

D. T = 2

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính  \( R=5 \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & A\in (P) \\  & B\in (P) \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3a-2b+6c-2=0 \\  & b-2=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2-2c \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến là:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{25-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}} \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất.

Ta có: \(d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| a+2b+3c-2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2-2c+4+3c-2 \right|}{\sqrt{{{(2-2c)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\).

Xét  \( f(c)=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\Rightarrow {f}'(c)=\frac{-48{{c}^{2}}-144c+192}{{{(5{{c}^{2}}-8c+8)}^{2}}\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}} \).

 \( {f}'(c)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=1 \\  & c=-4 \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Vậy  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất bằng  \( \sqrt{5} \) khi và chỉ khi  \( c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!