Cho phương trình: 2sin^2x−sinxcosx−cos^2x=m

Cho phương trình: \( 2{{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=m \)   (*)

a) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.

b) Giải phương trình khi \( m=-1 \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (1-\cos 2x)-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}(1+\cos 2x)=m\Leftrightarrow \sin 2x+3\cos 2x=-2m+1 \)

a) (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}} \)

 \( \Leftrightarrow 1+9\ge {{(1-2m)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m-9\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{10}}{2} \).

b) Khi \( m=-1 \) ta được phương trình: \( \sin 2x+3\cos 2x=3 \)  (1)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\sin 2x+\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\cos 2x=\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\)

\(\Leftrightarrow \sin 2x.\cos \alpha +\cos 2x.\sin \alpha =\sin \beta \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\)

 \( \Leftrightarrow \sin \left( 2x+\alpha  \right)=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x+\alpha =\beta +k2\pi  \\ & 2x+\alpha =\pi -\beta +k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{-\alpha +\beta }{2}+k\pi  \\  & x=\frac{\pi -\alpha -\beta }{2}+k\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 4sin^3x.cos3x+4cos^3x.sin3x+3√3cos4x=3

Giải phương trình: \( 4{{\sin }^{3}}x.\cos 3x+4{{\cos }^{3}}x.\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x=3 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4{{\sin }^{3}}x\left( 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right)+4{{\cos }^{3}}x\left( 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \right)+3\sqrt{3}\cos 4x=3 \)

 \( \Leftrightarrow -12{{\sin }^{3}}xcosx+12\sin x{{\cos }^{3}}x+3\sqrt{3}\cos 4x=3 \)

 \( \Leftrightarrow 4\sin x\cos x(-{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1 \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=1 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 4x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \frac{\pi }{6} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2} \\  & x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: cos^4x+sin^4(x+π/4)=1/4

Giải phương trình: \( {{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{4} \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{4}{{(1+\cos 2x)}^{2}}+\frac{1}{4}{{\left[ 1-\cos \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{(1+\cos 2x)}^{2}}+{{(1+\sin 2x)}^{2}}=1 \)

 \( \Leftrightarrow 1+2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x+1+2\sin 2x+{{\sin }^{2}}2x=1\Leftrightarrow 2(\cos 2x+\sin 2x)=-2 \)

 \( \Leftrightarrow \cos 2x+\sin 2x=-1\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{3\pi }{4} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\  & 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin^3x+cos^3x=sinx−cosx

Giải phương trình: \( {{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x-\cos x \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x-\sin x+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x({{\sin }^{2}}x-1)+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0\Leftrightarrow -\sin x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{3}}x+cosx=0 \)

\(\Leftrightarrow \cos x(-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x+1)=0\Leftrightarrow \cos x(-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=0 \\  & -\sin 2x+\cos 2x=-3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }1+1<9) \\ \end{align} \right.\)

 \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: tanx−3cotx=4(sinx+√3cosx)

Giải phương trình: \( \tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right) \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\  & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-3\frac{\cos x}{\sin x}=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right) \)

 \( \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=4\sin x\cos x\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right) \)

 \( \Leftrightarrow \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\left( \sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin 2x \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=-\sqrt{3}\cos x \\  & \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin 2x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=-\sqrt{3} \\  & \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin 2x \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \tan x=\tan \left( -\frac{\pi }{3} \right) \\  & \sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin 2x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi  \\  & x-\frac{\pi }{3}=2x+k2\pi \vee x-\frac{\pi }{3}=\pi -2x+k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{3}-k2\pi \vee x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi  \\  & x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \) (nhận do  \( \sin 2x\ne 0 \)).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 1+sin^32x+cos^32x=1/2sin4x

Giải phương trình: \( 1+{{\sin }^{3}}2x+{{\cos }^{3}}2x=\frac{1}{2}\sin 4x \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 1+(\sin 2x+\cos 2x)(1-\sin 2x\cos 2x)=\frac{1}{2}\sin 4x \)

 \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 4x+(\sin 2x+\cos 2x)\left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)=0\Leftrightarrow \left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)(1+\sin 2x+\cos 2x)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1-\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\  & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\  & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right)\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & 2x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 4(sin^4x+cos^4x)+√3sin4x=2

Giải phương trình: \( 4\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)+\sqrt{3}\sin 4x=2 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2 \)

 \( \Leftrightarrow 4\left[ 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2\Leftrightarrow \cos 4x+\sqrt{3}\sin 4x=-1 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4x-\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi  \\  & 4x-\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 4x=\pi +k2\pi  \\  & 4x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\  & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).

Cách khác:

(*) \( \Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}2x)+\sqrt{3}\sin 4x=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}2x+2\sqrt{3}\sin 2x\cos 2x=0 \)

 \( \Leftrightarrow \cos 2x\left( \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sqrt{3}\sin 2x=-\cos 2x \\ \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\  & \tan 2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \left( -\frac{\pi }{6} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\  & 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{12}+k\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 1+cot2x=1−cos2x/sin^22x

Giải phương trình: \( 1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x} \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{1-{{\cos }^{2}}2x}\Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x} \)

\(\Leftrightarrow \cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x}-1\Leftrightarrow \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{-\cos 2x}{1+\cos 2x}\Leftrightarrow \cos 2x\left[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{1+\cos 2x} \right]=0\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0\text{ }(\text{nhận }do\text{ }\cos 2x\ne \pm 1) \\  & \frac{1}{\sin 2x}=\frac{-1}{1+\cos 2x} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & 1+\cos 2x=-\sin 2x \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi  \\  & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\  & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 2cos^3x+cos2x+sinx=0

Giải phương trình: \( 2{{\cos }^{3}}x+\cos 2x+\sin x=0 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+2co{{s}^{2}}x-1+sinx=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x(\cos x+1)-1+\sin x=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}x)(1+\cos x)-(1-\sin x)=0\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 2(1+\sin x)(1+\cos x)-1 \right]=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1-\sin x=0 \\  & 1+2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & {{(\sin x+\cos x)}^{2}}+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & (\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+2)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & \sin x+\cos x=0 \\  & \sin x+\cos x=-2\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & \tan x=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: (sin2x+√3cos2x)^2−5=cos(2x−π/6)

Giải phương trình: \( {{\left( \sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x \right)}^{2}}-5=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right) \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Đặt  \( t=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x \), điều kiện:  \( -\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=-2\le t\le 2=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

Thì  \( t=2\left( \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x \right)=2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right) \)

Vậy (*) thành:  \( {{t}^{2}}-5=\frac{t}{2}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=\frac{5}{2}\text{ }(\ell ) \\  & t=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow 2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-2\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-1\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi }{6}=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin2x−cos2x=3sinx+cosx−2

Giải phương trình: \( \sin 2x-\cos 2x=3\sin x+\cos x-2 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=3\sin x+\cos x-2 \)

 \( \Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1=0\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+(\sin x-1)(2\sin x-1)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 2\sin x-1=0 \\  & \cos x+\sin x-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6} \\  & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\  & x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\  & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee x=k2\pi  \\ \end{align} \right.\text{ }(k\in \mathbb{Z}) \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 2sin2x−cos2x=7sinx+2cosx−4

Giải phương trình: \( 2\sin 2x-\cos 2x=7\sin x+2\cos x-4 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=7\sin x+2\cos x-4 \)

 \( \Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-7\sin x+3=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+(2\sin x-1)(\sin x-3)=0\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos x+\sin x-3)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2} \\  & 2\cos x+\sin x=3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{2}^{2}}<{{3}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: sin2x+2cos2x=1+sinx−4cosx

Giải phương trình: \( \sin 2x+2\cos 2x=1+\sin x-4\cos x \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2(2{{\cos }^{2}}x-1)=1+\sin x-4\cos x \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x-\sin x+4{{\cos }^{2}}x+4\cos x-3=0 \)

 \( \Leftrightarrow 2\sin x\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)+4\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( \cos x+\frac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow \left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( 2\sin x+4\cos x+6 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\  & 2\sin +4\cos x=-6\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{2}^{2}}+{{4}^{2}}<{{6}^{2}}) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi  \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 9sinx+6cosx−3sin2x+cos2x=8

Giải phương trình: \( 9\sin x+6\cos x-3\sin 2x+\cos 2x=8 \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 9\sin x+6\cos x-6\sin x\cos x+(1-2{{\sin }^{2}}x)=8 \)

 \( \Leftrightarrow 6\cos x-6\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x+9\sin x-7=0 \)

 \( \Leftrightarrow 6\cos x(1-\sin x)-2(\sin x-1)\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0 \)

\(\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 1-\sin x=0 \\  & 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0 \\ \end{align} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \sin x=1 \\  & 6\cos x+2\sin x=7\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{6}^{2}}+{{2}^{2}}<{{7}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 8sinx=√3cosx+1/sinx

Giải phương trình: \( 8\sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x \)

 \( \Leftrightarrow 4(1-\cos 2x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow -4\cos 2x\cos x=\sqrt{3}\sin x-3\cos x \)

 \( \Leftrightarrow -2(\cos 3x+\cos x)=\sqrt{3}\sin x-3\cos x\Leftrightarrow \cos 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x \)

 \( \Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\  & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \). (Nhận so với điều kiện  \( \sin 2x\ne 0 \)).

Cách khác:

(*) \( \Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x \) (hiển nhiên  \( \cos x=0 \) hay  \( \sin x=0 \) không là nghiệm của phương trình này)

 \( \Leftrightarrow 8(1-{{\cos }^{2}}x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow 8\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x+\cos x \)

 \( \Leftrightarrow 6\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x-\cos x\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x-3cosx=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \)

 \( \Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\  & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{6}+k\pi  \\  & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: tanx−sin2x−cos2x+2(2cosx−1/cosx)=0

Giải phương trình: \( \tan x-\sin 2x-\cos 2x+2\left( 2\cos x-\frac{1}{\cos x} \right)=0 \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện:  \( \cos x\ne 0 \)

Lúc đó: (*) \( \frac{\sin x}{\cos x}-\sin 2x-\cos 2x+4\cos x-\frac{2}{\cos x}=0 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x-\sin 2x\cos x-\cos x\cos 2x+4{{\cos }^{2}}x-2=0 \)

 \( \Leftrightarrow \sin x\left( 1-2{{\cos }^{2}}x \right)-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0 \)

 \( \Leftrightarrow -\sin x\cos 2x-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x\left( -\sin x-\cos x+2 \right)=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x=0 \\  & -\sin x-\cos x+2=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & \cos 2x\text{ }(n) \\  & \sin x+\cos x=2(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{\text{1}}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Giải phương trình: 3sin3x−√3cos9x=1+4sin^33x

Giải phương trình: \( 3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{{\sin }^{3}}3x \)   (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \left( 3\sin 3x-4{{\sin }^{3}}3x \right)-\sqrt{3}\cos 9x=1\Leftrightarrow \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1 \)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 9x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6} \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi  \\  & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9} \\  & x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tìm x∈(2π/5;6π/7) thỏa phương trình: cos7x−√3sin7x=−√2

Tìm \( x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right) \) thỏa phương trình:  \( \cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2} \)  (*)

Hướng dẫn giải:

Chia hai vế của (*) cho 2 ta được:

(*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow -\sin \frac{\pi }{6}\cos 7x+\cos \frac{\pi }{6}\sin 7x=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

 \( \Leftrightarrow \sin \left( 7x-\frac{\pi }{6} \right)=\sin \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 7x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\  & 7x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi  \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7} \\  & x=\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7} \\ \end{align} \right.,\text{ }k,h\in \mathbb{Z} \).

Do  \( x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right) \) nên ta có:

+  \( \frac{2\pi }{5}<\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{5}{84}+\frac{2k}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=2 \).

+ \(\frac{2\pi }{5}<\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{11}{84}+\frac{2h}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{h\in \mathbb{Z}}h\in \{1;2\}\).

Vậy:  \( x=\frac{5\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{53}{84}\pi \vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{2\pi }{7}=\frac{35\pi }{84}\vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{59}{84}\pi \) .

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!