Cho \( f(x)={{\cos }^{2}}2x+2{{(\sin x+\cos x)}^{3}}-3\sin 2x+m \).
a) Giải phương trình \( f(x)=0 \) khi \( m=-3 \).
b) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Tìm m sao cho \( {{[f(x)]}^{2}}\le 36,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \).
Hướng dẫn giải:
Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) (điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \))
Thì \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \) và \( {{\cos }^{2}}2x=1-si{{n}^{2}}2x=1-{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}=-{{t}^{4}}+2{{t}^{2}} \).
Vậy f(x) thành \( g(t)=-{{t}^{4}}+2{{t}^{2}}+2{{t}^{3}}-3({{t}^{2}}-1)+m \).
a) Khi \( m=-3 \) thì \( g(t)=0 \)
\( \Leftrightarrow -{{t}^{2}}({{t}^{2}}-2t+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0 \\ & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0 \\ & \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \vee x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee x=k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).
b) Ta có: \( {g}'(t)=-4{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}-2t=-2t(2{{t}^{2}}-3t+1) \)
Do đó: \( \left\{ \begin{align} & {g}'(t)=0 \\ & t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right] \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=1 \\ & t=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \).
Ta có: \( g(0)=3+m=g(1),\text{ }g\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{47}{16}+m \)
\( g(-\sqrt{2})=4\sqrt{2}-3+m,\text{ }g(\sqrt{2})=m-3-4\sqrt{2} \).
Vậy: \( \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{max}}\,f(x)=\underset{t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]}{\mathop{max}}\,g(t)=m+3 \).
\( \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f(x)=\underset{t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]}{\mathop{\min }}\,g(t)=m-3-4\sqrt{2} \).
Do đó: \( {{[f(x)]}^{2}}\le 36,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -6\le f(x)\le 6,\forall x\in \mathbb{R} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}}\,f(x)\le 6 \\ & \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f(x)\ge -6 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m+3\le 6 \\ & m-3-4\sqrt{2}\ge -6 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 4\sqrt{2}-3\le m\le 3 \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán cùng chủ đề!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
