Toán học 11 | Hỏi Đáp Toán Học

Cho phương trình: (4−6m)sin3x+3(2m−1)sinx+2(m−2)sin2xcosx−(4m−3)cosx=0

Cho phương trình: \( (4-6m){{\sin }^{3}}x+3(2m-1)\sin x+2(m-2){{\sin }^{2}}x\cos x-(4m-3)\cos x=0 \) (*)

a) Giải phương trình khi \( m=2 \).

b) Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Hướng dẫn giải:

+ Xét \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) thì \( \cos x=0 \) và \( \sin x=\pm 1 \) nên

(*) thành: \( \pm (4-6m)\pm 3(2m-1)=0\Leftrightarrow 1=0 \): vô nghiệm.

+ Chia hai vế phương trình (*) cho \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow (4-6m){{\tan }^{3}}x+3(2m-1)\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)+2(m-2){{\tan }^{2}}x-(4m-3)(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & {{t}^{3}}-(2m+1){{t}^{2}}+3(2m-1)t-4m+3=0\begin{matrix} {} & (**) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t-1)({{t}^{2}}-2mt+4m-3)=0 \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=2 \) thì (*) thành: \( \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t-1)({{t}^{2}}-4t+5)=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \tan x=t\in [0;1] \).

Xét phương trình: \( {{t}^{2}}-2mt+4m-3=0 \) (2)

\( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3=2m(t-2)\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-3}{t-2}=2m \) (do \( t=2 \) không là nghiệm)

Đặt \( y=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-3}{t-2} \) (C) và \( (d):y=2m \).

Ta có: \( {y}’=f(t)=\frac{{{t}^{2}}-4t+3}{{{(t-2)}^{2}}} \).

Do (**) luôn có nghiệm \( t=1\in [0;1] \) trên yêu cầu bài toán

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & (d):y=2m\text{ không có nghiệm chung với }(C) \\ & (d)\text{ cắt }(C)\text{ tại 1 điểm duy nhất }t=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 2m<\frac{3}{2}\vee 2m\ge 2\Leftrightarrow m<\frac{3}{4}\vee m\ge 1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tanxsin2x−2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

Giải phương trình: \( \tan x{{\sin }^{2}}x-2{{\sin }^{2}}x=3(\cos 2x+\sin x\cos x) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0 \).

Chia hai vế của phương trình (*) cho \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \):

(*) \( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2{{\tan }^{2}}x=\frac{3({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x+\sin x\cos x)}{{{\cos }^{2}}x} \)

\( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2ta{{n}^{2}}x=3(1-{{\tan }^{2}}x+\tan x)\Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x+ta{{n}^{2}}x-3tanx-3=0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-3t-3=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t+1)({{t}^{2}}-3)=0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sinx−4sin3x+cosx=0

Giải phương trình: \( \sin x-4{{\sin }^{3}}x+\cos x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Vì \( \cos x=0 \) không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) thì

(*) \( \Leftrightarrow \tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x+1+{{\tan }^{2}}x=0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & -3{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t+1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t-1)(3{{t}^{2}}+2t+1)=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \tan x=1 \)

\( x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 6sinx−2cos3x=5sin4x.cosx/2cos2x

Giải phương trình: \( 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=\frac{5\sin 4x.\cos x}{2\cos 2x} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x-si{{n}^{2}}x\ne 0\Leftrightarrow \tan x\ne \pm 1 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=\frac{10\sin 2x\cos 2x\cos x}{2\cos 2x}\Leftrightarrow 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=5\sin 2x\cos x \)

\( \Leftrightarrow 6\sin x-2{{\cos }^{3}}x=10\sin x{{\cos }^{2}}x \) (**)

Do \( \cos x=0 \) không là nghiệm của (**), chia hai vế phương trình (**) cho \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(**) \( \Leftrightarrow \frac{6\tan x}{{{\cos }^{2}}x}-2=10\tan x \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\ & 6t(1+{{t}^{2}})-2=10t \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\ & 3{{t}^{3}}-2t-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\ & (t-1)(3{{t}^{2}}+3t+1)=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x,\text{ }t\ne \pm 1 \\ & t=1 \\ \end{align} \right. \): vô nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin3x+cos3x+2cosx=0

Giải phương trình: \( \sin 3x+\cos 3x+2\cos x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow (3\sin x-4{{\sin }^{3}}x)+(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x)+2\cos x=0 \)

\( \Leftrightarrow 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x+4{{\cos }^{3}}x-\cos x=0 \)

Vì \( \cos x=0 \) không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow 3\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x+4-(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow -{{\tan }^{3}}x-{{\tan }^{2}}x+3\tan x+3=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-3t-3=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t+1)({{t}^{2}}-3)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cotx−1=cos2x/(1+tanx)+sin2x−1/2sin2x

(KA – 2003) Giải phương trình: \( \cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \) và \( \tan x\ne -1 \).

Ta có: \( \frac{\cos 2x}{1+\tan x}=\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)}{\cos x+\sin x} \)

\( =\cos x(\cos x-\sin x) \) (do \( \tan x=-1 \) nên, \( \sin x+\cos x\ne 0 \))

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-1=({{\cos }^{2}}x-\sin x\cos x)+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \)

\( \Leftrightarrow \frac{\cos x-\sin x}{\sin x}=1-\sin 2x\Leftrightarrow \cos x-\sin x=\sin x{{(\cos x-\sin x)}^{2}} \)

\( \Leftrightarrow (\cos x-\sin x)\left[ 1-\sin x(\cos x-\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x-\sin x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 1-\sin x(\cos x-\sin x)=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Chia hai vế phương trình (2) cho \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

\( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{\cos x}-{{\tan }^{2}}x\Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x-\tan x+1=0 \) (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của phương trình (*) là \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Lưu ý: Có thể làm cách khác

(**) \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=0\Leftrightarrow 3=\sin 2x+\cos 2x \)

\( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=3\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{3}{\sqrt{2}} \): vô nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sinxsin2x+sin3x=6cos3x

Giải phương trình: \( \sin x\sin 2x+\sin 3x=6{{\cos }^{3}}x \) (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}xcosx+3sinx-4si{{n}^{3}}x=6co{{s}^{3}}x \)

+ Xét \( \cos x=0\text{ }(\sin x=\pm 1) \) thì (*) vô nghiệm

+ Chia hai vế phương trình (*) cho \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow \frac{2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{3\sin x}{\cos x}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-4.\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}=6 \)

\( \Leftrightarrow 2{{\tan }^{2}}x+3\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)-4{{\tan }^{3}}x=6 \)

\( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}x-2{{\tan }^{2}}x-3\tan x+6=0\Leftrightarrow (\tan x-2)({{\tan }^{2}}x-3)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=2 \\ & \tan x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\arctan (2)+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin2x+2tanx=3

Giải phương trình: \( \sin 2x+2\tan x=3 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0 \).

Chia hai vế của (*) cho \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow \frac{2\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2\tan x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{3}{{{\cos }^{2}}x} \)

\( \Leftrightarrow 2\tan x+2\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)=3(1+{{\tan }^{2}}x) \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & 2{{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t-3=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=\tan x \\ & (t-1)(2{{t}^{2}}-t+3)=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow t=1\Rightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 3cos4x−4sin2xcos2x+sin4x=0

Giải phương trình: \( 3{{\cos }^{4}}x-4{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x+si{{n}^{4}}x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Do \( \cos x=0 \) không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho \( {{\cos }^{4}}x\ne 0 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 3-4{{\tan }^{2}}x+{{\tan }^{4}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\tan }^{2}}x=1 \\ & {{\tan }^{2}}x=3 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=\pm 1=\tan \left( \pm \frac{\pi }{4} \right) \\ & \tan x=\pm \sqrt{3}=\tan \left( \pm \frac{\pi }{3} \right) \\ \end{align} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos3x−4sin3x−3cosxsin2x+sinx=0

Giải phương trình: \( {{\cos }^{3}}x-4{{\sin }^{3}}x-3cosxsi{{n}^{2}}x+\sin x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

+ Xét \( x=\frac{\pi }{2}+k\pi \) thì \( \cos x=0 \) và \( \sin x=\pm 1 \) thì (*) vô nghiệm.

+ Do \( \cos x=0 \) không phải là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho \( {{\cos }^{3}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( \Leftrightarrow 1-4{{\tan }^{3}}x-3{{\tan }^{2}}x+\tan x(1+{{\tan }^{2}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow 3{{\tan }^{3}}x+3ta{{n}^{2}}x-\tan x-1=0\Leftrightarrow (\tan x+1)(3{{\tan }^{2}}x-1)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & {{\tan }^{2}}x=\frac{1}{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \tan x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos2x−√3sin2x=1+sin2x

Giải phương trình: \( {{\cos }^{2}}x-\sqrt{3}\sin 2x=1+{{\sin }^{2}}x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Vì \( \cos x=0 \) không là nghiệm phương trình nên

Chia hai vế của (*) cho \( {{\cos }^{2}}x\ne 0 \) ta được:

(*) \( 1-2\sqrt{3}\tan x=(1+{{\tan }^{2}}x)+{{\tan }^{2}}x \)

Đặt \( t=\tan x \) ta có phương trình: \( 2{{t}^{2}}+2\sqrt{3}t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \).

\( \Rightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=0 \\ & \tan x=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho f(x)=cos^22x+2(sinx+cosx)^3−3sin2x+m

Cho \( f(x)={{\cos }^{2}}2x+2{{(\sin x+\cos x)}^{3}}-3\sin 2x+m \).

a) Giải phương trình \( f(x)=0 \) khi \( m=-3 \).

b) Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x). Tìm m sao cho \( {{[f(x)]}^{2}}\le 36,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \).

Hướng dẫn giải:

Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) (điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \))

Thì \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \) và \( {{\cos }^{2}}2x=1-si{{n}^{2}}2x=1-{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}=-{{t}^{4}}+2{{t}^{2}} \).

Vậy f(x) thành \( g(t)=-{{t}^{4}}+2{{t}^{2}}+2{{t}^{3}}-3({{t}^{2}}-1)+m \).

a) Khi \( m=-3 \) thì \( g(t)=0 \)

\( \Leftrightarrow -{{t}^{2}}({{t}^{2}}-2t+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0 \\ & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0 \\ & \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \vee x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee x=k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

b) Ta có: \( {g}'(t)=-4{{t}^{3}}+6{{t}^{2}}-2t=-2t(2{{t}^{2}}-3t+1) \)

Do đó: \( \left\{ \begin{align} & {g}'(t)=0 \\ & t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right] \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=1 \\ & t=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \).

Ta có: \( g(0)=3+m=g(1),\text{ }g\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{47}{16}+m \)

\( g(-\sqrt{2})=4\sqrt{2}-3+m,\text{ }g(\sqrt{2})=m-3-4\sqrt{2} \).

Vậy: \( \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{max}}\,f(x)=\underset{t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]}{\mathop{max}}\,g(t)=m+3 \).

\( \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f(x)=\underset{t\in \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]}{\mathop{\min }}\,g(t)=m-3-4\sqrt{2} \).

Do đó: \( {{[f(x)]}^{2}}\le 36,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow -6\le f(x)\le 6,\forall x\in \mathbb{R} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}}\,f(x)\le 6 \\ & \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f(x)\ge -6 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m+3\le 6 \\ & m-3-4\sqrt{2}\ge -6 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 4\sqrt{2}-3\le m\le 3 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: m(sinx+cosx)+1+1/2(tanx+cotx+1/sinx+1/cosx)=0

Cho phương trình: \( m(\sin x+\cos x)+1+\frac{1}{2}\left( \tan x+\cot x+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right)=0 \) (*)

a) Giải phương trình khi \( m=\frac{1}{2} \).

b) Tìm m để (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Với điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{1}{2}\left( \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \right)=0 \)

\(\Leftrightarrow m(\sin x+\cos x)+1+\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x}{2\sin x\cos x}=0\)

\( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+\sin 2x+(1+\cos x+\sin x)=0 \)

\( \Leftrightarrow m\sin 2x(\sin x+\cos x)+{{(\sin x+\cos x)}^{2}}+\sin x+\cos x=0 \)

\( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ m\sin 2x+\sin x+\cos x+1 \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x+\cos x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & m\sin 2x+\sin x+\cos x+1=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Xét (2) đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) thì \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Do \( \sin 2x\ne 0 \) nên \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và \( t\ne \pm 1 \).

Vậy (*) thành: \( \left[ \begin{align} & t=0 \\ & m({{t}^{2}}-1)+t+1=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0\text{ }(n) \\ & m(t-1)+1=0\text{ }(do\text{ }t\ne -1) \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=\frac{1}{2} \) thì ta được:

\(\left[ \begin{align} & t=0 \\ & t=-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sin x+\cos x=0\Leftrightarrow \tan x=-1\)

\( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( 0<x<\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{\pi }{4}<x-\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{4} \).

Lúc đó: \( \frac{\sqrt{2}}{2}<\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\le 1\Rightarrow 1<t\le \sqrt{2} \).

Do \( t=0\notin \left( 1;\sqrt{2} \right] \) nên ta xét phương trình: \( m(t-1)+1=0 \) (**)

\( \Leftrightarrow mt=m-1\Leftrightarrow t=1-\frac{1}{m} \) (do m = 0 thì (**) vô nghiệm)

Do đó: yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 1<1-\frac{1}{m}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -\frac{1}{m}>0 \\ & 1-\sqrt{2}\le \frac{1}{m} \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m<0 \\ & m\le \frac{1}{1-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -\sqrt{2}-1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình cos^3x+sin^3x=msinxcosx

Cho phương trình \( {{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{3}}x=m\sin x\cos x \) (*)

a) Giải phương trình khi \( m=\sqrt{2} \).

b) Tìm m để (*) có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)=m\sin x\cos x \).

Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)

Thì \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \)

Vậy (*) thành \( t\left( 1-\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=m.\frac{{{t}^{2}}-1}{2}\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=m({{t}^{2}}-1) \).

a) Khi \( m=\sqrt{2} \) ta có phương trình: \( t(3-{{t}^{2}})=\sqrt{2}({{t}^{2}}-1) \)

\( \Leftrightarrow {{t}^{3}}+\sqrt{2}{{t}^{2}}-3t-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left( t-\sqrt{2} \right)\left( {{t}^{2}}+2\sqrt{2}t+1 \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\sqrt{2}\text{ }(n) \\ & t=-\sqrt{2}+1\text{ }(n) \\ & t=-\sqrt{2}-1\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

+ Với \( t=\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với \( t=1-\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{4}-\arccos \left( \frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).

b) Xét phương trình: \( t(3-{{t}^{2}})=m({{t}^{2}}-1) \) (**)

Do \( t=\pm 1 \) không là nghiệm của (**) nên

(**) \( \Leftrightarrow m=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1} \).

Xét \( y=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1} \) (C) trên \( \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\backslash \{\pm 1\} \).

Ta có: \( {y}’=\frac{-{{t}^{4}}-3}{{{({{t}^{2}}-1)}^{2}}}<0,\text{ }\forall t\ne \{\pm 1\} \).

Suy ra y giảm trên \( (-1;1) \) và \( \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty ,\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \) .

Do đó trên \( (-1;1)\subset \left[ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right]\backslash \{\pm 1\} \), ta có: \( (d):y=m \) cắt \( (C):y=\frac{3t-{{t}^{3}}}{{{t}^{2}}-1},\text{ }\forall m\in \mathbb{R} \).

Vậy (*) có nghiệm \( \forall m\in \mathbb{R} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình m(sinx+cosx+1)=1+sin2x (*). Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [0;π/2]

Cho phương trình \( m(\sin x+\cos x+1)=1+\sin 2x \) (*). Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), điều kiện: \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)

Thì \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Vậy (*) thành: \( m(t+1)={{t}^{2}} \).

Nếu \( 0\le x\le \frac{\pi }{2} \) thì \( \frac{\pi }{4}\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{3\pi }{4} \).

Do đó: \( \frac{\sqrt{2}}{2}\le \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1\Leftrightarrow 1\le t\le \sqrt{2} \).

Ta có: \( m(t+1)={{t}^{2}}\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}}{t+1} \) (do \( t=-1 \) không là nghiệm của phương trình).

Xét \( y=\frac{{{t}^{2}}}{t+1} \) trên \( \left[ 1;\sqrt{2} \right] \) thì \( {y}’=\frac{{{t}^{2}}+2t}{{{(t+1)}^{2}}}>0,\text{ }\forall t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right] \).

Do đó, y đồng biến trên \( \left[ 1;\sqrt{2} \right] \).

Vậy (*) có nghiệm trên \( \left[ 1;\frac{\pi }{2} \right] \) \( \Leftrightarrow y(1)\le m\le y(\sqrt{2})\Leftrightarrow \frac{1}{2}\le m\le 2\left( \sqrt{2}-1 \right) \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tan^2x(1−sin^3x)+cos^3x−1=0

Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x(1-{{\sin }^{3}}x)+{{\cos }^{3}}x-1=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}(1-{{\sin }^{3}}x)+{{\cos }^{3}}x-1=0 \)

\( \Leftrightarrow (1-{{\cos }^{2}}x)(1-{{\sin }^{3}}x)-(1-{{\cos }^{3}}x)(1-{{\sin }^{2}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow (1-\cos x)(1+\cos x)(1-{{\sin }^{3}}x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x) \)

\( -(1-\cos x)(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1-\sin x)(1+\sin x)=0 \)

\( \Leftrightarrow (1-\cos x)(1-\sin x)\left[ (1+\cos x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x)-(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\cos x=0 \\ & 1-\sin x=0 \\ & (1+\cos x)(1+\sin x+{{\sin }^{2}}x)-(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x)=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=1\text{ }(n) \\ & \sin x=1\text{ }(\ell ) \\ & 1+\sin x+{{\sin }^{2}}x+\cos x+\cos x.\sin x+\cos x.{{\sin }^{2}}x \\ & -(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x+\sin x+\cos x\sin x+{{\cos }^{2}}x\sin x)=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=1\begin{matrix} {} & {} & {} & {} \\\end{matrix}(1) \\ & {{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-{{\cos }^{2}}x-\sin x{{\cos }^{2}}x=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\).

+ Giải \( (1)\Leftrightarrow x=k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải \( \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-co{{s}^{2}}x+\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0 \)

\( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x(\sin x-\cos x)=0 \)

\( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x+\sin x\cos x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x-\cos x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & {} \\\end{matrix}(3) \\ & \sin x+\cos x+\sin x\cos x=0\begin{matrix} {} & (4) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Với phương trình \( (3)\Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Với phương trình (4), ta đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos x\left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) (điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và \( t\ne \pm 1 \)).

\( \Rightarrow {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \).

Ta được phương trình: \( t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=-1+\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Vậy \( \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{4}-\arccos \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sinx+sin^2x+sin^3x+sin^4x=cosx+cos^2x+cos^3x+cos^4x

Giải phương trình: \( \sin x+{{\sin }^{2}}x+si{{n}^{3}}x+si{{n}^{4}}x=cosx+co{{s}^{2}}x+co{{s}^{3}}x+co{{s}^{4}}x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)+({{\sin }^{2}}x-co{{s}^{2}}x)+({{\sin }^{3}}x-co{{s}^{3}}x)+({{\sin }^{4}}x-co{{s}^{4}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)+(\sin x-cosx)(\sin x+\cos x)+(\sin x-cosx)(1+\sin x\cos x) \)

\( +(\sin x-cosx)(\sin x+\cos x)=0 \).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x-\cos x=0 \\ & 1+(\sin x+\cos x)+(1+\sin x.\cos x)+(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x-\cos x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 2(\sin x+\cos x)+\sin x\cos x+2=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) thì

\( {{t}^{2}}=1+2sinxcosx \)

(2) thành: \( 2t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}+2=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1\text{ }(n) \\ & t=-3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

\( \Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pi +k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2sin^3x−sinx=2cos^3x−cosx+cos2x

Giải phương trình: \( 2{{\sin }^{3}}x-\sin x=2{{\cos }^{3}}x-\cos x+\cos 2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow 2({{\sin }^{3}}x-{{\cos }^{3}}x)-(\sin x-\cos x)+{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x=0 \)

\( \Leftrightarrow 2(\sin x-\cos x)({{\sin }^{2}}x+sinxcosx+co{{s}^{2}}x)-(\sin x-\cos x)+(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x-\cos x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 2(1+\sin x\cos x)-1+(\sin x+\cos x)=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\)

+ \( (1)\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Xét (2) đặt: \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\), với điều kiện: \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) .

Khi đó: \( {{t}^{2}}=1+\sin 2x \).

Vậy (2) thành: \( t+({{t}^{2}}-1)+1=0\Leftrightarrow t(t+1)=0\Leftrightarrow t=0\vee t=-1 \)

Với \( t=0\Rightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Leftrightarrow x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Với \( t=-1\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-1\Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pi +k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 3tan^3x−tanx+3(1+sinx)/cos^2x=8cos^2(π/4−x/2)

Giải phương trình: \( 3{{\tan }^{3}x}-\tan x+\frac{3(1+\sin x)}{{{\cos }^{2}}x}=8{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \tan x(3{{\tan }^{2}}x-1)+3(1+\sin x)(1+{{\tan }^{2}}x)=4\left[ 1+\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right) \right]=4(1+\sin x) \)

\(\Leftrightarrow \tan x(3{{\tan }^{2}}x-1)+(1+\sin x)\left[ 3(1+{{\tan }^{2}}x)-4 \right]=0\)

\(\Leftrightarrow (3{{\tan }^{2}}x-1)(\tan x+1+\sin x)=0\Leftrightarrow (3{{\tan }^{2}}x-1)(\sin x+\cos x+\sin x\cos x)=0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{align} & 3{{\tan }^{2}}x=1\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & \sin x+\cos x+\sin x\cos x=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

+ Giải (1) \( \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow \tan x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và \( t\ne \pm 1 \).

Thì \( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \)

(2) thành: \( t+\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=-1+\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

\( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}-1\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x=-\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 3(cotx−cosx)−5(tanx−sinx)=2

Giải phương trình: \( 3(\cot x-\cos x)-5(\tan x-\sin x)=2 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Với điều kiện \( \sin 2x\ne 0 \), nhân 2 vế phương trình cho \( \sin x\cos x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow 3{{\cos }^{2}}x(1-sinx)-5{{\sin }^{2}}x(1-cosx)=2sinxcosx \)

\( \Leftrightarrow 3\cos x\left[ \cos x(1-\sin x)+\sin x \right]-5\sin x\left[ \sin x(1-\cos x)+\cos x \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow 3\cos x(\cos x-\sin x\cos x+\sin x)-5\sin x(\sin x-\sin x\cos x+\cos x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x+\cos x-\sin x\cos x=0\begin{matrix} {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 3\cos x-5\sin x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

(Ghi chú: \( A.B+A.C=A.D\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & A=0 \\ & B+C=D \\ \end{align} \right. \))

+ Giải (1): Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \) thì

\( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \) với điều kiện: \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và \( t\ne \pm 1 \).

(1) thành: \( t-\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-1=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1+\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=1-\sqrt{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

Vậy: \( \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1-\sqrt{2}}{2} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi \\ & x=\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{1-\sqrt{2}}{2} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2) \( \Leftrightarrow \tan x=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=\arctan \left( \frac{3}{5} \right)+h\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình 2√(sinx+cosx)=tanx+cotx

Giải phương trình \( \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*)\(\Leftrightarrow \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\)

\( \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x} \).

Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \) thì:

\( {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \) với \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)và \( {{t}^{2}}\ne 1 \) .

(*) thành \( \sqrt{2}t=\frac{2}{{{t}^{2}}-1}\Leftrightarrow \sqrt{2}{{t}^{3}}-\sqrt{2}t-2=0 \) (Hiển nhiên \( t=\pm 1 \) không là nghiệm)

\( \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(\sqrt{2}{{t}^{2}}+2t+\sqrt{2})=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\sqrt{2} \\ & {{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right. \).

Vậy (*) \( \Leftrightarrow \sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: −1+sin^3x+cos^3x=3/2sin2x

Giải phương trình: \( -1+{{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\frac{3}{2}\sin 2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow -1+(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=\frac{3}{2}.2\sin x\cos x \).

Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} thì {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \).

Vậy (*) thành: \( -1+t\left( 1-\frac{{{t}^{2}}-1}{2} \right)=\frac{3}{2}({{t}^{2}}-1) \)

\( \Leftrightarrow -2+t(3-{{t}^{2}})=3({{t}^{2}}-1)\Leftrightarrow {{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-3t-1=0 \)

\( \Leftrightarrow (t-1)({{t}^{2}}+4t+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & t=-2+\sqrt{3}\text{ }(n) \\ & t=-2-\sqrt{3}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

+ Với \( t=1\Rightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

+ Với \( t=\sqrt{3}-2\Rightarrow \sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi \\ & x=\frac{3\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}} \right)+h2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sinx+sin^2x+cos^3x=0

Giải phương trình: \( \sin x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{3}}x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow \sin x(1+\sin x)+\cos x(1-{{\sin }^{2}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \sin x(1+\sin x)+\cos x(1-\sin x)(1+\sin x)=0 \)

\( \Leftrightarrow (1+\sin x)\left[ \sin x+\cos x(1-\sin x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=-1\begin{matrix} {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & \sin x+\cos x-\sin x\cos x=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

+ \( (1)\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Xét (2): Đặt \( t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} thì {{t}^{2}}=1+2\sin x\cos x \).

Vậy (2) thành: \( t-\frac{{{t}^{2}}-1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-1=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1-\sqrt{2}\text{ }(n) \\ & t=1+\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1-\sqrt{2} \)

\( \Leftrightarrow \cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-1 \) \( \Leftrightarrow x-\frac{\pi }{4}=\pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1 \right)+h2\pi \)

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}\pm \arccos \left( \frac{\sqrt{2}}{2}-1 \right)+h2\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: 1/cos^2x+cot^2x+m(tanx+cotx)+2=0

Cho phương trình: \( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+{{\cot }^{2}}x+m(\tan x+\cot x)+2=0 \) (1)

a) Giải phương trình khi \( m=\frac{5}{2} \).

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( (1)\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+co{{t}^{2}}x+m(tanx+cotx)+3=0 \)

Đặt \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \) (điều kiện \( \left| t \right|\ge 2 \))

\( \Rightarrow {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2 \)

Phương trình (1) thành: \( {{t}^{2}}+mt+1=0 \) (2)

a) Khi \( m=\frac{5}{2} \) ta được phương trình: \( 2{{t}^{2}}+5t+2=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-2\text{ }(n) \\ & t=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra: \( \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1 \)

\( \Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b)

Ta có: \( (2)\Leftrightarrow mt=-1-{{t}^{2}}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{t}-t \) (do \( t=0 \) không là nghiệm của (2))

Xét \( y=-\frac{1}{t}-t \) với \( \left| t \right|\ge 2 \).

Thì \( {y}’=\frac{1}{{{t}^{2}}}-1=\frac{1-{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}} \).

Ta có: \( {y}’=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \).

Do đó (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow (d):y=m \) cắt \( (C):y=-\frac{1}{t}-t \) trên \( \left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right) \)

\( \Leftrightarrow m\le -\frac{5}{2}\vee m\ge \frac{5}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2/sin^2x+2tan^2x+5tanx+5cotx+4=0

Giải phương trình: \( \frac{2}{{{\sin }^{2}}x}+2{{\tan }^{2}}x+5\tan x+5\cot x+4=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: (*) \( \Leftrightarrow 2(1+{{\cot }^{2}}x)+2{{\tan }^{2}}x+5(\tan x+\cot x)+4=0 \)

\( \Leftrightarrow 2({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x)+5(\tan x+\cot x)+6=0 \)

\( \Leftrightarrow 2\left[ {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2 \right]+5(\tan x+\cot x)+6=0 \).

Đặt \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện \( \left| t \right|\ge 2 \).

Ta được phương trình: \( 2{{t}^{2}}+5t+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-2\text{ }(n) \\ & t=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Với \( t=-2\Rightarrow \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1 \)

\( \Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Cách 2: Đặt \( u=\tan x \) (với điều kiện \( u\ne 0 \)).

Phương trình (*) thành: \( 2+\frac{2}{{{u}^{2}}}+2{{u}^{2}}+5u+\frac{5}{u}+4=0 \)

\( \Leftrightarrow 2+2{{u}^{4}}+5{{u}^{3}}+5u+6{{u}^{2}}=0\Leftrightarrow (u+1)(2{{u}^{3}}+3{{u}^{2}}+3u+2)=0 \)

\(\Leftrightarrow {{(u+1)}^{2}}(2{{u}^{2}}+u+2)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & u=-1\text{ }(n) \\ & 2{{u}^{2}}+u+2=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)

Với \( u=-1\Rightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tanx+tan^2x+tan^3x+cotx+cot^2x+cot^3x=6

Giải phương trình: \( \tan x+{{\tan }^{2}}x+{{\tan }^{3}}x+\cot x+{{\cot }^{2}}x+{{\cot }^{3}}x=6 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x)+({{\tan }^{3}}x+{{\cot }^{3}}x)=6 \)

\( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+{{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2+(\tan x+\cot x)({{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x-1)=6 \)

\( \Leftrightarrow (\tan x+\cot x)+{{(\tan x+\cot x)}^{2}}+(\tan x+\cot x)\left[ {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-3 \right]=8 \) (**)

Đặt \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện \( \left| t \right|\ge 2 \).

Khi đó phương trình (**) thành: \( t+{{t}^{2}}+t({{t}^{2}}-3)=8\Leftrightarrow {{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2t-8=0 \)

\(\Leftrightarrow (t-2)({{t}^{2}}+3t+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=2\text{ }(n) \\ & {{t}^{2}}+3t+4=0\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)

Với \( t=2\Rightarrow \frac{2}{\sin 2x}=2\Leftrightarrow \sin 2x=1 \)

\( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 3tan^2x+4tanx+4cotx+3cot^2x+2=0

Giải phương trình: \( 3{{\tan }^{2}}x+4\tan x+4\cot x+3{{\cot }^{2}}x+2=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Đặt \( t=\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \), với điều kiện \( \left| t \right|\ge 2 \).

Thì \( {{t}^{2}}={{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+2 \).

(*) thành: \( 3({{t}^{2}}-2)+4t+2=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+4t-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{2}{3}\text{ }(\ell ) \\ & t=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Với \( t=-2\Leftrightarrow \frac{2}{\sin 2x}=-2\Leftrightarrow \sin 2x=-1\Leftrightarrow 2x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: 2cos2x+sin^2xcosx+sinxcos^2x=m(sinx+cosx)

Cho phương trình: \( 2\cos 2x+{{\sin }^{2}}xcosx+sinxco{{s}^{2}}x=m(\sin x+\cos x) \) (*)

a) Giải phương trình khi \( m=2 \).

b) Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)=m(\sin x+\cos x) \)

\( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)\left[ 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x-m \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x+\sin x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 2(\cos x-\sin x)+\sin x\cos x=m\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Đặt \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).

Thì \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).

Ta có: \( (1)\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Phương trình (2) thành: \( 2t+\frac{1-{{t}^{2}}}{2}=m\Leftrightarrow -{{t}^{2}}+4t+1=2m \) (**)

a) Khi \( m=2 \) thì (**) thành: \( {{t}^{2}}-4t+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & t=3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \(\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Vậy nghiệm của phương trình là: \(\left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

b) Ta có: \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{4}\in \left[ \frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4} \right] \).

\(\Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow -1\le t\le 1\).

Do nghiệm \( x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \notin \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right],\text{ }\forall k\in \mathbb{R} \).

Nên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) (**) có nghiệm trên \( [-1;1] \).

Xét \( y=-{{t}^{2}}+4t+1 \) thì \( {y}’=-2t+4>0,\forall t\in [-1;1] \).

\( \Rightarrow y \) đồng biến trên \( [-1;1] \).

Do đó: yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow -4=y(-1)\le 2m\le y(1)=4\Leftrightarrow -2\le m\le 2 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: cos^3x−sin^3x=m

Cho phương trình: \( {{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{3}}x=m \) (1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ \( t=\cos x-\sin x \).

b) Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( (1)\Leftrightarrow (\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)=m \).

Đặt \( t=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \).

Thì \( {{t}^{2}}=1-2\sin x\cos x \).

Khi đó (1) thành: \( t\left( 1+\frac{1-{{t}^{2}}}{2} \right)=m\Leftrightarrow t(3-{{t}^{2}})=2m \) (2)

a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( {{t}^{3}}-3t+2=0\Leftrightarrow (t-1)({{t}^{2}}+t-2)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & t=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra: \( \sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Nếu \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( 0\le x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2} \) nên \( 0\le \cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1 \)

\( \Leftrightarrow 0\le t=\sqrt{2}\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le \sqrt{2} \)

Nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

Ta tìm duy nhất một \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \).

Xét \( f(t)=-{{t}^{3}}+3t \) trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \).

\( \Rightarrow {f}'(t)=-3{{t}^{2}}+3 \).

Vậy (1) có đúng hai nghiệm \( x\in \left[ -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right] \)

\( \Leftrightarrow (d):y=2m \) cắt \( (C):y=-{{t}^{3}}+3t \) trên \( \left[ 0;\sqrt{2} \right] \) tại 2 điểm phân biệt

\( \Leftrightarrow \sqrt{2}\le 2m<2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\le m<1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos^3x+sin^2x=cos2x

Giải phương trình: \( {{\cos }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x=\cos 2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-\sin x\cos x)={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \)

\( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ 1-\sin x\cos x-(\cos x-\sin x) \right]=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x+\cos x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & \sin x-\cos x-\sin x\cos x+1=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\)

+ Giải \( (1)\Leftrightarrow \tan x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Giải (2): Đặt \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\) với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \)

Thì \( {{t}^{2}}=-1-2\sin x\cos x \).

(2) thành: \( t-\frac{1-{{t}^{2}}}{2}+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t+1=0\Leftrightarrow t=-1 \)

\( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=k2\pi \\ & x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos2x+5=2(2−cosx)(sinx−cosx)

Giải phương trình: \( \cos 2x+5=2(2-\cos x)(\sin x-\cos x) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow ({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)+5=2(2-\cos x)(\sin x-\cos x) \)

\( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)\left[ 2(2-\cos x)+(\sin x+\cos x) \right]-5=0 \)

\( \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(\sin x-\cos x+4)-5=0 \) (**)

Đặt \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \) với điều kiện \( \left| t \right|\le 2 \).

(**) thành: \( t(t+4)-5=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & t=-5\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

\( \Rightarrow \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=\pi +k2\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2sinx+cotx=2sin2x+1

Giải phương trình: \( 2\sin x+\cot x=2\sin 2x+1 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \pm 1 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x+\frac{\cos x}{\sin x}=4\sin x\cos x+1 \)

\( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+\cos x=4{{\sin }^{2}}x\cos x+\sin x \)

\( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x-\sin x-\cos x(4{{\sin }^{2}}x-1)=0 \)

\( \Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)-\cos x(2\sin x-1)(2\sin x+1)=0 \)

\( \Leftrightarrow (2\sin x-1)\left[ \sin x-\cos x(2\sin x+1) \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2\sin x-1=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & \sin x-\cos x-\sin 2x=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \)

+ Ta có \( (1)\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{2} \) (nhận do \( \sin x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Xét (2): Đặt \( t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \), với điều kiện \( \left| t \right|\le \sqrt{2} \) và \( t\ne \pm 1 \)

Thì \( {{t}^{2}}=1-\sin 2x \).

Khi đó (2) thành: \( t-(1-{{t}^{2}})=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t-1=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\text{ }(n) \\ & t=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

Do đó: \( \sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow \sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-\frac{\pi }{4}=\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=\pi -\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ & x=\frac{5\pi }{4}-\arcsin \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{2}} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: 2sin^2x−sinxcosx−cos^2x=m

Cho phương trình: \( 2{{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x-{{\cos }^{2}}x=m \) (*)

a) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm.

b) Giải phương trình khi \( m=-1 \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (1-\cos 2x)-\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}(1+\cos 2x)=m\Leftrightarrow \sin 2x+3\cos 2x=-2m+1 \)

a) (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}} \)

\( \Leftrightarrow 1+9\ge {{(1-2m)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m-9\le 0\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{10}}{2}\le m\le \frac{1+\sqrt{10}}{2} \).

b) Khi \( m=-1 \) ta được phương trình: \( \sin 2x+3\cos 2x=3 \) (1)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\sin 2x+\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\cos 2x=\frac{3}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}}\)

\(\Leftrightarrow \sin 2x.\cos \alpha +\cos 2x.\sin \alpha =\sin \beta \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( 2x+\alpha \right)=\sin \beta \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x+\alpha =\beta +k2\pi \\ & 2x+\alpha =\pi -\beta +k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{-\alpha +\beta }{2}+k\pi \\ & x=\frac{\pi -\alpha -\beta }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \), với \(\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{10}},\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}},\sin \beta =\frac{3}{\sqrt{10}}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 4sin^3x.cos3x+4cos^3x.sin3x+3√3cos4x=3

Giải phương trình: \( 4{{\sin }^{3}}x.\cos 3x+4{{\cos }^{3}}x.\sin 3x+3\sqrt{3}\cos 4x=3 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4{{\sin }^{3}}x\left( 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right)+4{{\cos }^{3}}x\left( 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \right)+3\sqrt{3}\cos 4x=3 \)

\( \Leftrightarrow -12{{\sin }^{3}}xcosx+12\sin x{{\cos }^{3}}x+3\sqrt{3}\cos 4x=3 \)

\( \Leftrightarrow 4\sin x\cos x(-{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1 \)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x+\sqrt{3}\cos 4x=1\Leftrightarrow \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=1 \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 4x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin \frac{\pi }{6} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 4x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos^4x+sin^4(x+π/4)=1/4

Giải phương trình: \( {{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{4}}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{4} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{4}{{(1+\cos 2x)}^{2}}+\frac{1}{4}{{\left[ 1-\cos \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{(1+\cos 2x)}^{2}}+{{(1+\sin 2x)}^{2}}=1 \)

\( \Leftrightarrow 1+2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x+1+2\sin 2x+{{\sin }^{2}}2x=1\Leftrightarrow 2(\cos 2x+\sin 2x)=-2 \)

\( \Leftrightarrow \cos 2x+\sin 2x=-1\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{3\pi }{4} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ & 2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Nhân Tài Việt!

Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt!

Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Giải phương trình: sin^3x+cos^3x=sinx−cosx

Giải phương trình: \( {{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x-\cos x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x-\sin x+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0 \)

\( \Leftrightarrow \sin x({{\sin }^{2}}x-1)+{{\cos }^{3}}x+\cos x=0\Leftrightarrow -\sin x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{3}}x+cosx=0 \)

\(\Leftrightarrow \cos x(-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x+1)=0\Leftrightarrow \cos x(-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & -\sin 2x+\cos 2x=-3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }1+1<9) \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tanx−3cotx=4(sinx+√3cosx)

Giải phương trình: \( \tan x-3\cot x=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-3\frac{\cos x}{\sin x}=4\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right) \)

\( \Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=4\sin x\cos x\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right) \)

\( \Leftrightarrow \left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)\left( \sin x-\sqrt{3}\cos x-2\sin 2x \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=-\sqrt{3}\cos x \\ & \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin 2x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-\sqrt{3} \\ & \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\sin 2x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=\tan \left( -\frac{\pi }{3} \right) \\ & \sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=\sin 2x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x-\frac{\pi }{3}=2x+k2\pi \vee x-\frac{\pi }{3}=\pi -2x+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{3}-k2\pi \vee x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=\frac{4\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \) (nhận do \( \sin 2x\ne 0 \)).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 1+sin^32x+cos^32x=1/2sin4x

Giải phương trình: \( 1+{{\sin }^{3}}2x+{{\cos }^{3}}2x=\frac{1}{2}\sin 4x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 1+(\sin 2x+\cos 2x)(1-\sin 2x\cos 2x)=\frac{1}{2}\sin 4x \)

\( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}\sin 4x+(\sin 2x+\cos 2x)\left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)=0\Leftrightarrow \left( 1-\frac{1}{2}\sin 4x \right)(1+\sin 2x+\cos 2x)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\ & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & 2x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 4(sin^4x+cos^4x)+√3sin4x=2

Giải phương trình: \( 4\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x \right)+\sqrt{3}\sin 4x=2 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2 \)

\( \Leftrightarrow 4\left[ 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right]+\sqrt{3}\sin 4x=2\Leftrightarrow \cos 4x+\sqrt{3}\sin 4x=-1 \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 4x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x-\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & 4x-\frac{\pi }{3}=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x=\pi +k2\pi \\ & 4x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,k\in \mathbb{Z} \).

Cách khác:

(*) \( \Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}2x)+\sqrt{3}\sin 4x=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}2x+2\sqrt{3}\sin 2x\cos 2x=0 \)

\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sqrt{3}\sin 2x=-\cos 2x \\ \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \tan 2x=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \left( -\frac{\pi }{6} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 1+cot2x=1−cos2x/sin^22x

Giải phương trình: \( 1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1 \).

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1-\cos 2x}{1-{{\cos }^{2}}2x}\Leftrightarrow 1+\cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x} \)

\(\Leftrightarrow \cot 2x=\frac{1}{1+\cos 2x}-1\Leftrightarrow \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{-\cos 2x}{1+\cos 2x}\Leftrightarrow \cos 2x\left[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{1+\cos 2x} \right]=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0\text{ }(\text{nhận }do\text{ }\cos 2x\ne \pm 1) \\ & \frac{1}{\sin 2x}=\frac{-1}{1+\cos 2x} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & 1+\cos 2x=-\sin 2x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sin 2x+\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sqrt{2}\sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-1 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \sin \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{4} \right) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & 2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \vee 2x+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2cos^3x+cos2x+sinx=0

Giải phương trình: \( 2{{\cos }^{3}}x+\cos 2x+\sin x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+2co{{s}^{2}}x-1+sinx=0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x(\cos x+1)-1+\sin x=0 \)

\( \Leftrightarrow 2(1-{{\sin }^{2}}x)(1+\cos x)-(1-\sin x)=0\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 2(1+\sin x)(1+\cos x)-1 \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\sin x=0 \\ & 1+2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & {{(\sin x+\cos x)}^{2}}+2(\sin x+\cos x)=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & (\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+2)=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & \sin x+\cos x=0 \\ & \sin x+\cos x=-2\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & \tan x=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: (sin2x+√3cos2x)^2−5=cos(2x−π/6)

Giải phương trình: \( {{\left( \sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x \right)}^{2}}-5=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Đặt \( t=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x \), điều kiện: \( -\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=-2\le t\le 2=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \)

Thì \( t=2\left( \frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x \right)=2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right) \)

Vậy (*) thành: \( {{t}^{2}}-5=\frac{t}{2}\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{5}{2}\text{ }(\ell ) \\ & t=-2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

\( \Rightarrow 2\cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-2\Leftrightarrow \cos \left( 2x-\frac{\pi }{6} \right)=-1\Leftrightarrow 2x-\frac{\pi }{6}=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin2x−cos2x=3sinx+cosx−2

Giải phương trình: \( \sin 2x-\cos 2x=3\sin x+\cos x-2 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=3\sin x+\cos x-2 \)

\( \Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-3\sin x+1=0\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)+(\sin x-1)(2\sin x-1)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2\sin x-1=0 \\ & \cos x+\sin x-1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6} \\ & \sqrt{2}\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=1 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ & x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee x=k2\pi \\ \end{align} \right.\text{ }(k\in \mathbb{Z}) \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2sin2x−cos2x=7sinx+2cosx−4

Giải phương trình: \( 2\sin 2x-\cos 2x=7\sin x+2\cos x-4 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4\sin x\cos x-(1-2{{\sin }^{2}}x)=7\sin x+2\cos x-4 \)

\( \Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+2{{\sin }^{2}}x-7\sin x+3=0 \)

\( \Leftrightarrow 2\cos x(2\sin x-1)+(2\sin x-1)(\sin x-3)=0\Leftrightarrow (2\sin x-1)(2\cos x+\sin x-3)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2} \\ & 2\cos x+\sin x=3\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{1}^{2}}+{{2}^{2}}<{{3}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin2x+2cos2x=1+sinx−4cosx

Giải phương trình: \( \sin 2x+2\cos 2x=1+\sin x-4\cos x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2(2{{\cos }^{2}}x-1)=1+\sin x-4\cos x \)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x-\sin x+4{{\cos }^{2}}x+4\cos x-3=0 \)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)+4\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( \cos x+\frac{3}{2} \right)=0\Leftrightarrow \left( \cos x-\frac{1}{2} \right)\left( 2\sin x+4\cos x+6 \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ & 2\sin +4\cos x=-6\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{2}^{2}}+{{4}^{2}}<{{6}^{2}}) \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 9sinx+6cosx−3sin2x+cos2x=8

Giải phương trình: \( 9\sin x+6\cos x-3\sin 2x+\cos 2x=8 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 9\sin x+6\cos x-6\sin x\cos x+(1-2{{\sin }^{2}}x)=8 \)

\( \Leftrightarrow 6\cos x-6\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x+9\sin x-7=0 \)

\( \Leftrightarrow 6\cos x(1-\sin x)-2(\sin x-1)\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0 \)

\(\Leftrightarrow (1-\sin x)\left[ 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-\sin x=0 \\ & 6\cos x+2\left( \sin x-\frac{7}{2} \right)=0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=1 \\ & 6\cos x+2\sin x=7\text{ }(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{6}^{2}}+{{2}^{2}}<{{7}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 8sinx=√3cosx+1/sinx

Giải phương trình: \( 8\sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x \)

\( \Leftrightarrow 4(1-\cos 2x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow -4\cos 2x\cos x=\sqrt{3}\sin x-3\cos x \)

\( \Leftrightarrow -2(\cos 3x+\cos x)=\sqrt{3}\sin x-3\cos x\Leftrightarrow \cos 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x \)

\( \Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \). (Nhận so với điều kiện \( \sin 2x\ne 0 \)).

Cách khác:

(*) \( \Leftrightarrow 8{{\sin }^{2}}x\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x \) (hiển nhiên \( \cos x=0 \) hay \( \sin x=0 \) không là nghiệm của phương trình này)

\( \Leftrightarrow 8(1-{{\cos }^{2}}x)\cos x=\sqrt{3}\sin x+\cos x\Leftrightarrow 8\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x+\cos x \)

\( \Leftrightarrow 6\cos x-8{{\cos }^{3}}x=\sqrt{3}\sin x-\cos x\Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x-3cosx=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x \)

\( \Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x=x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ & 3x=-x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tanx−sin2x−cos2x+2(2cosx−1/cosx)=0

Giải phương trình: \( \tan x-\sin 2x-\cos 2x+2\left( 2\cos x-\frac{1}{\cos x} \right)=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0 \)

Lúc đó: (*) \( \frac{\sin x}{\cos x}-\sin 2x-\cos 2x+4\cos x-\frac{2}{\cos x}=0 \)

\( \Leftrightarrow \sin x-\sin 2x\cos x-\cos x\cos 2x+4{{\cos }^{2}}x-2=0 \)

\( \Leftrightarrow \sin x\left( 1-2{{\cos }^{2}}x \right)-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0 \)

\( \Leftrightarrow -\sin x\cos 2x-\cos x\cos 2x+2\cos 2x=0\Leftrightarrow \cos 2x\left( -\sin x-\cos x+2 \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & -\sin x-\cos x+2=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x\text{ }(n) \\ & \sin x+\cos x=2(\text{vô nghiệm }do\text{ }{{\text{1}}^{2}}+{{1}^{2}}<{{2}^{2}}) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 3sin3x−√3cos9x=1+4sin^33x

Giải phương trình: \( 3\sin 3x-\sqrt{3}\cos 9x=1+4{{\sin }^{3}}3x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \left( 3\sin 3x-4{{\sin }^{3}}3x \right)-\sqrt{3}\cos 9x=1\Leftrightarrow \sin 9x-\sqrt{3}\cos 9x=1 \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin 9x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 9x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( 9x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 9x-\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{9} \\ & x=\frac{7\pi }{54}+\frac{k2\pi }{9} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Tìm x∈(2π/5;6π/7) thỏa phương trình: cos7x−√3sin7x=−√2

Tìm \( x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right) \) thỏa phương trình: \( \cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x=-\sqrt{2} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Chia hai vế của (*) cho 2 ta được:

(*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 7x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow -\sin \frac{\pi }{6}\cos 7x+\cos \frac{\pi }{6}\sin 7x=\frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( \Leftrightarrow \sin \left( 7x-\frac{\pi }{6} \right)=\sin \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 7x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & 7x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7} \\ & x=\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7} \\ \end{align} \right.,\text{ }k,h\in \mathbb{Z} \).

Do \( x\in \left( \frac{2\pi }{5};\frac{6\pi }{7} \right) \) nên ta có:

+ \( \frac{2\pi }{5}<\frac{5\pi }{84}+\frac{k2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{5}{84}+\frac{2k}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k=2 \).

+ \(\frac{2\pi }{5}<\frac{11\pi }{84}+\frac{h2\pi }{7}<\frac{6\pi }{7}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{11}{84}+\frac{2h}{7}<\frac{6}{7}\xrightarrow{h\in \mathbb{Z}}h\in \{1;2\}\).

Vậy: \( x=\frac{5\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{53}{84}\pi \vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{2\pi }{7}=\frac{35\pi }{84}\vee x=\frac{11\pi }{84}+\frac{4\pi }{7}=\frac{59}{84}\pi \) .

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: cos4x=cos^23x+asin^2x

Cho phương trình: \( \cos 4x={{\cos }^{2}}3x+a{{\sin }^{2}}x \) (*)

a) Giải phương trình khi \( a=1 \).

b) Tìm a để (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{12} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2}(1+\cos 6x)+\frac{a}{2}(1-\cos 2x) \)

\( \Leftrightarrow 2(2{{\cos }^{2}}2x-1)=1+4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x+a(1-\cos 2x) \) (**)

Đặt \( t=\cos 2x \) (điều kiện: \( \left| t \right|\le 1 \)).

Phương trình (**) trở thành: \( -4{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+3t-3=a(1-t) \)

\( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t) \) (***)

a) Khi \( a=1 \) thì (***) thành: \( (t-1)(-4{{t}^{2}}+4)=0\Leftrightarrow t=\pm 1 \)

\( \Leftrightarrow \cos 2x=\pm 1\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=1\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Ta có: \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{12} \right)\Leftrightarrow 2x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) \).

Vậy \( \cos 2x=t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Vậy (***) \( \Leftrightarrow (t-1)(-4{{t}^{2}}+3)=a(1-t)\Leftrightarrow 4{{t}^{2}}-3=a\text{ }(do\text{ }t\ne 1) \)

Xét \( y=4{{t}^{2}}-3\text{ }(P) \) trên \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

\( \Rightarrow {y}’=8t>0,\forall t\in \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \).

Do đó (*) có nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow (d):y=a \) cắt (P) trên \( \left( \frac{\sqrt{3}}{2};1 \right) \)

\( \Leftrightarrow y\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)<a<y(1)\Leftrightarrow 0<a<1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Tìm a để hai phương trình sau tương đương: 2cosx.cos2x=1+cos2x+cos3x

Tìm a để hai phương trình sau tương đương:

\( 2\cos x.\cos 2x=1+\cos 2x+\cos 3x \) (1)

\( 4{{\cos }^{2}}x-cos3x=a\cos x+(4-a)(1+\cos 2x) \) (2)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( (1)\Leftrightarrow \cos 3x+\cos x=1+\cos 2x+\cos 3x \)

\( \Leftrightarrow \cos x=1+(2{{\cos }^{2}}x-1)\Leftrightarrow \cos x(1-2\cos x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \cos x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \).

Ta có: \( (2)\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}x-(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x)=a\cos x+(4-a).2{{\cos }^{2}}x \)

\( \Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x+(4-2a)co{{s}^{2}}x(a-3)cosx=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & 4{{\cos }^{2}}x+2(2-a)\cos x+a-3=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \left( \cos x-\frac{1}{2} \right)[2\cos x+3-a]=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \cos x=\frac{1}{2} \\ & \cos x=\frac{a-3}{2} \\ \end{align} \right. \).

Vậy yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \frac{a-3}{2}=0 \\ & \frac{a-3}{2}=\frac{1}{2} \\ & \frac{a-3}{2}<-1\vee \frac{a-3}{2}>1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=3 \\ & a=4 \\ & a<1\vee a>5 \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: 4cos^5x.sinx−4sin^5xcosx=sin^24x+m

Cho phương trình: \( 4{{\cos }^{5}}x.sinx-4{{\sin }^{5}}xcosx={{\sin }^{2}}4x+m \) (1)

a) Biết rằng \( x=\pi \) là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó.

b) Cho biết \( x=-\frac{\pi }{8} \) là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0 \).

Hướng dẫn giải:

\( (1)\Leftrightarrow 4\sin x\cos x({{\cos }^{4}}x-{{\sin }^{4}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x({{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x)({{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x)={{\sin }^{2}}4x+m \)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x={{\sin }^{2}}4x+m\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x+m=0 \) (2)

a) \( x=\pi \) là nghiệm của (1) \( \Rightarrow {{\sin }^{2}}4\pi -\sin 4\pi +m=0\Rightarrow m=0 \).

Lúc đó \( (1)\Leftrightarrow \sin 4x(1-\sin 4x)=0\Leftrightarrow \sin 4x=0\vee \sin 4x=1 \)

\( \Leftrightarrow 4x=k\pi \vee 4x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{4}\vee x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) \( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & {{t}^{2}}-3t+2<0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t={{x}^{2}}\ge 0 \\ & 1 < t<2 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow 1 < \left| x \right| < \sqrt{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& -\sqrt{2} < x<-1 \\ & 1 < x <\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \) .

\( x=-\frac{\pi }{8} \) thì \( \sin 4x=\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right)=-1 \).

\( x=-\frac{\pi }{8} \) là nghiệm của \( (1)\Rightarrow 1+1+m=0\Leftrightarrow m=-2 \).

Lúc đó (2) thành: \( {{\sin }^{2}}4x-\sin 4x-2=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 4x=-1\text{ }(n) \\ & \sin 4x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x=-1 \)

\(\Leftrightarrow 4x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\).

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra \( k=1 \).

Vậy (1) có nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{8}\) thỏa {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2<0.

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: cos4x+6sinxcosx=m

Cho phương trình: \( \cos 4x+6\sin x\cos x=m \) (1)

a) Giải (1) khi \( m=1 \).

b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt trên \( \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( (1)\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}2x+3\sin 2x=m \)

Đặt \( t=\sin 2x \) (điều kiện: \( \left| t \right|\le 1 \)).

Khi đó, phương trình thành: \( 2{{t}^{2}}-3t+m-1=0 \) (2)

a) Khi \( m=1 \) thì (2) thành: \( 2{{t}^{2}}-3t=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=0\text{ }(n) \\ & t=\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2} \).

b) Khi \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \) thì \( \sin 2x=t\in [0;1] \).

Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên \( [0;1] \) ta chỉ tìm được duy nhất một \( x\in \left[ 0;\frac{\pi }{4} \right] \).

Ta có: \( (2)\Leftrightarrow -2{{t}^{2}}+3t+1=m \).

Xét \( y=-2{{t}^{2}}+3t+1 \) trên \( [0;1] \).

Ta có: \( {y}’=-4t+3 \).

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow (d):y=m \)cắt tại hai điểm phân biệt trên \( [0;1] \)

\( \Leftrightarrow 2\le m<\frac{17}{8} \).

Cách khác: Đặt \( f(x)=2{{t}^{2}}-3t+m-1 \). Vì \( a=2>0 \), nên ta có:

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& \Delta =17-8m>0 \\ & f(0)=m-1\ge 0 \\ & f(1)=m-2\ge 0 \\ & 0\le \frac{S}{2}=\frac{3}{4}\le 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2\le m<\frac{17}{8} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: (1−a)tan^2x−2cosx+1+3a=0

Cho phương trình: \( (1-a){{\tan }^{2}}x-\frac{2}{\cos x}+1+3a=0 \) (*)

a) Giải (*) khi \( a=\frac{1}{2} \).

b) Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên \( \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \) .

(*) \( \Leftrightarrow (1-a){{\sin }^{2}}x-2\cos x+(1+3a){{\cos }^{2}}x=0 \)

\( \Leftrightarrow (1-a)(1-{{\cos }^{2}}x)-2\cos x+(1+3a){{\cos }^{2}}x=0 \)

\( \Leftrightarrow 4a{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1-a=0\Leftrightarrow a(4{{\cos }^{2}}x-1)-(2\cos x-1)=0 \)

\( \Leftrightarrow (2\cos x-1)[a(2\cos x+1)-1]=0 \).

a) Khi \( a=\frac{1}{2} \) thì (*) thành: \( \Leftrightarrow (2\cos x-1)\left( \cos x-\frac{1}{2} \right)=0 \)

\( \Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3} \) (nhận do \( \cos x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left( 0;\frac{\pi }{2} \right) \) thì \( \cos x=t\in (0;1) \).

Ta có: \( (1)\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=t=\frac{1}{2}\in (0;1) \\ & 2a\cos x=1-a\begin{matrix} {} & (**) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right. \).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow (**) \) có nghiệm trên \( (0;1)\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & 0<\frac{1-a}{2a}<1 \\ & \frac{1-a}{2a}\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \frac{1-a}{2a}>0 \\ & \frac{1-3a}{2a}<0 \\ & 2(1-a)\ne 2a \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 0<a<1 \\ & a<0\vee a>\frac{1}{3} \\ & a\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1}{3}<a<1 \\ & a\ne \frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \).

Cách khác: Đặt \( u=\frac{1}{\cos x} \), điều kiện \( u\ge 1 \), phương trình thành:

\( (1-a)({{u}^{2}}-1)-2u+1+3a=0\Leftrightarrow (1-a){{u}^{2}}-2u+4a=0 \)

\( \Leftrightarrow (u-2)[(1-a)u-2a]=0 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: (cosx+1)(cos2x−mcosx)=msin^2x

Cho phương trình: \( (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m{{\sin }^{2}}x \) (*)

a) Giải (*) khi \( m=-2 \).

b) Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x-1-m\cos x)=m(1-{{\cos }^{2}}x) \)

\( \Leftrightarrow (\cos x+1)[2{{\cos }^{2}}x-1-m\cos x-m(1-\cos x)]=0 \)

\( \Leftrightarrow (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x-1-m)=0 \).

a) Khi \( m=-2 \) thì (*) thành:

\( (\cos x+1)(2{{\cos }^{2}}x+1)=0\Leftrightarrow \cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \) thì \( \cos x=t\in \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \).

Nhận xét răng với mỗi t trên \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \) ta chỉ tìm được duy nhất một x trên \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-1-m=0 \) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \).

Xét \( y=2{{t}^{2}}-1\text{ }(P) \) và \( y=m\text{ }(d) \).

Ta có: \( {y}’=4t\Rightarrow {y}’=0\Leftrightarrow t=0 \).

Bảng biến thiên:

Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên \( \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right] \) \( \Leftrightarrow (d) \) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên \( \left[ -\frac{1}{2};1 \right] \)

\( \Leftrightarrow -1<m\le \frac{1}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: cos2x−(2m+1)cosx+m+1=0

Cho phương trình: \( \cos 2x-(2m+1)\cos x+m+1=0 \) (*)

a) Giải phương trình khi \( m=\frac{3}{2} \).

b) Tìm m để (*) có nghiệm trên \( \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-(2m+1)\cos x+m=0 \)

Đặt \( t=\cos x \) (điều kiện: \( \left| t \right|\le 1 \)).

Khi đó, phương trình trở thành: \( 2{{t}^{2}}-(2m+1)t+m=0 \)

\( \Leftrightarrow (2t-1)(t-m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{1}{2} \\ & t=m \\ \end{align} \right. \).

a) Khi \( m=\frac{3}{2} \), phương trình thành: \( \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ & \cos x=\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

b) Khi \( x\in \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \) thì \( \cos x=t\in [-1;0) \).

Do \( t=\frac{1}{2}\notin [-1;0] \) nên (*) có nghiệm trên \( \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right) \) \( \Leftrightarrow m\in [-1;0) \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: (1−tanx)(1+sin2x)=1+tanx

Giải phương trình: \( (1-\tan x)(1+\sin 2x)=1+\tan x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0 \).

Đặt \( t=\tan x \) thì (*) thành:

\( (1-t)\left( 1+\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \right)=1+t\Leftrightarrow (1-t)\frac{{{(t+1)}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}=1+t \)

\( \Leftrightarrow (1+t)\left[ \frac{(1-t)(1+t)}{1+{{t}^{2}}}-1 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & \frac{(1-t)(1+t)}{1+{{t}^{2}}}=1 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & 1-{{t}^{2}}=1+{{t}^{2}} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow t=-1\vee t=0 \).

Do đó: \( \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \tan x=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cotx−tanx+4sin2x=2/sin2x

Giải phương trình: \( \cot x-\tan x+4\sin 2x=\frac{2}{\sin 2x} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \)

Đặt \( t=\tan x \) thì: \( \sin 2x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \) do \( \sin 2x\ne 0 \) nên \( t\ne 0 \).

(*) thành: \( \frac{1}{t}-t+\frac{8t}{1+{{t}^{2}}}=\frac{1+{{t}^{2}}}{t}=\frac{1}{t}+t\Leftrightarrow \frac{8t}{1+{{t}^{2}}}=2t \)

\( \Leftrightarrow \frac{8t}{1+{{t}^{2}}}=2t\Leftrightarrow \frac{4}{1+{{t}^{2}}}=1\text{ }(do\text{ }t\ne 0) \)

\( \Leftrightarrow {{t}^{2}}=3\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{3}\text{ }(\text{nhận }do\text{ }t\ne 0) \)

\( \Rightarrow \tan x=\pm \sqrt{3}=\tan \left( \pm \frac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin2x+2tanx=3

Giải phương trình: \( \sin 2x+2\tan x=3 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0 \).

Đặt \( t=\tan x \) thì (*) thành:

\( \frac{2t}{1+{{t}^{2}}}+2t=3\Leftrightarrow 2t+(2t-3)(1+{{t}^{2}})=0\Leftrightarrow 2{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+4t-3=0 \)

\( \Leftrightarrow (t-1)(2{{t}^{2}}-t+3)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& t=1 \\ & 2{{t}^{2}}-t+3=0\text{ }(\text{vô nghiệm}) \\ \end{align} \right. \)

\( \Rightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cotx−1=cos2x/1+tanx+sin^2x−1/2sin2x

(KA – 2003) Giải phương trình: \( \cot x-1=\frac{\cos 2x}{1+\tan x}+{{\sin }^{2}}x-\frac{1}{2}\sin 2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\ & \tan x\ne -1 \\ \end{align} \right. \).

Đặt \( t=\tan x \) thì (*) thành:

\( \frac{1}{t}-1=\frac{\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}{1+t}+\frac{1}{2}\left[ 1-\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \right]-\frac{1}{2}.\frac{2t}{1+{{t}^{2}}} \)

\( \Leftrightarrow \frac{1-t}{t}=\frac{1-t}{1+{{t}^{2}}}+\frac{1}{2}.\frac{2{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}-\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\text{ }(do\text{ }t\ne -1) \)

\( \Leftrightarrow \frac{1-t}{t}=\frac{{{t}^{2}}-2t+1}{1+{{t}^{2}}}=\frac{{{(1-t)}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\Leftrightarrow (1-t)(1+{{t}^{2}})={{(1-t)}^{2}}t \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1-t=0 \\ & 1+{{t}^{2}}=(1-t)t \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & 2{{t}^{2}}-t+1=0\text{ }(\text{vô nghiệm}) \\ \end{align} \right. \) .

Vậy (*) \( \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi \text{ }(\text{nhận }do\text{ }\sin 2x=1\ne 0) \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^8x+cos^8x=2(sin^10x+cos^10x)+5/4cos2x

Giải phương trình: \( {{\sin }^{8}}x+co{{s}^{8}}x=2(si{{n}^{10}}x+{{\cos }^{10}}x)+\frac{5}{4}\cos 2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow ({{\sin }^{8}}x-2si{{n}^{10}}x)+({{\cos }^{8}}x-2{{\cos }^{10}}x)=\frac{5}{4}\cos 2x \)

\( \Leftrightarrow {{\sin }^{8}}x(1-2{{\sin }^{2}}x)-{{\cos }^{8}}x(-1+2{{\cos }^{2}}x)=\frac{5}{4}\cos 2x \)

\( \Leftrightarrow {{\sin }^{8}}x.cos2x-{{\cos }^{8}}x\cos 2x=\frac{5}{4}\cos 2x\Leftrightarrow 4\cos 2x({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)=5\cos 2x \)

\(\Leftrightarrow \cos 2x\left[ 4({{\sin }^{8}}x-{{\cos }^{8}}x)-5 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0\begin{matrix} {} & {} & {} & (1) \\\end{matrix} \\ & 4({{\sin }^{8}}x-{{\cos }^{8}}x)=5\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ \end{align} \right.\)

+ (1) \( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ (2) \( \Leftrightarrow 4({{\sin }^{4}}x-co{{s}^{4}}x)({{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x)=5 \)

\(\Leftrightarrow 4({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x)(1-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x)=5\Leftrightarrow -2\cos 2x\left( 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right)=5\)

\(\Leftrightarrow -2\cos 2x.\left[ 1-\frac{1}{2}(1-{{\cos }^{2}}2x) \right]=5\Leftrightarrow {{\cos }^{3}}2x+\cos 2x+5=0\) (vô nghiệm)

Cách khác: Ta có \( 4({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)=5 \) (vô nghiệm)

Vì \( ({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)\le 1,\forall x\Rightarrow 4({{\sin }^{8}}x-co{{s}^{8}}x)\le 4<5,\forall x \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 48−1/cos^4x−2/sin^2x(1+cot2xcotx)=0

Giải phương trình: \( 48-\frac{1}{{{\cos }^{4}}x}-\frac{2}{{{\sin }^{2}}x}(1+\cot 2x\cot x)=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).

Ta có: \( 1+\cot 2x\cot x=1+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}.\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin 2x\sin x+\cos 2x\cos x}{\sin x\sin 2x} \)

\( =\frac{\cos x}{2{{\sin }^{2}}x\cos x}=\frac{1}{2{{\sin }^{2}}x}\text{ }(do\text{ }\cos x\ne 0) \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow 48-\frac{1}{{{\cos }^{4}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{4}}x}=0\Leftrightarrow 48=\frac{1}{{{\cos }^{4}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}{{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{4}}x} \)

\( \Leftrightarrow 48{{\sin }^{4}}xco{{s}^{4}}x={{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x\Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}2x=1-2{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x \)

\( \Leftrightarrow 3{{\sin }^{4}}2x+\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\sin }^{2}}2x=-\frac{2}{3}\text{ }(\ell ) \\ & {{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 4x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 4x=0\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^42x+cos^42x/tan(π/4−x)tan(π/4+π)=cos^44x

Giải phương trình: \( \frac{{{\sin }^{4}}2x+{{\cos }^{4}}2x}{\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\tan \left( \frac{\pi }{4}+\pi \right)}={{\cos }^{4}}4x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & \sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\cos x\left( \frac{\pi }{4}-x \right)\ne 0 \\ & \sin \left( \frac{\pi }{4}+x \right)\cos x\left( \frac{\pi }{4}+x \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sin \left( \frac{\pi }{2}-2x \right)\ne 0 \\ & \sin \left( \frac{\pi }{2}+2x \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow \sin 2x\ne \pm 1\).

Do: \( \tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\tan \left( \frac{\pi }{4}+x \right)=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}.\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=1 \).

Khi \( \cos 2x\ne 0 \) thì:

(*) \( \Leftrightarrow {{\sin }^{4}}2x+{{\cos }^{4}}2x={{\cos }^{4}}4x\Leftrightarrow 1-2{{\sin }^{2}}2xco{{s}^{2}}2x={{\cos }^{4}}4x \)

\( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}si{{n}^{2}}4x={{\cos }^{4}}4x\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}(1-{{\cos }^{2}}4x)={{\cos }^{4}}4x \)

\( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{4}}4x-{{\cos }^{2}}4x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}4x=1\text{ }(n) \\ & {{\cos }^{2}}4x=-\frac{1}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 1-{{\sin }^{2}}4x=1 \)

\( \Leftrightarrow \sin 4x=0\Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\text{ }(do\text{ }\cos 2x\ne 0) \)

\( \Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tan^3(x−π/4)=tanx−1

Giải phương trình: \( {{\tan }^{3}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)=\tan x-1 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Đặt \( t=x-\frac{\pi }{4}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+t \)

(*) trở thành: \( {{\tan }^{3}}t=\tan \left( \frac{\pi }{4}+t \right)-1=\frac{1+\tan t}{1-\tan t}-1 \) với \( \left\{ \begin{align} & \cos t\ne 0 \\ & \tan t\ne 1 \\ \end{align} \right. \).

\( \Leftrightarrow {{\tan }^{3}}t=\frac{2\tan t}{1-\tan t}\Leftrightarrow {{\tan }^{3}}t-{{\tan }^{4}}t=2\tan t \)

\( \Leftrightarrow \tan t({{\tan }^{3}}t-{{\tan }^{2}}t+2)=0\Leftrightarrow \tan t(\tan t+1)({{\tan }^{2}}t-2\tan t+2)=0 \)

\( \Leftrightarrow \tan t=0\vee \tan t=-1 \) (nhận)

\( \Leftrightarrow t=k\pi \vee t=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Vậy \( x=\frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2cos^26x/5+1=3cos8x/5

Giải phương trình: \( 2{{\cos }^{2}}\frac{6x}{5}+1=3\cos \frac{8x}{5} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \left( 1+\cos \frac{12x}{5} \right)+1=3\left( 2{{\cos }^{2}}\frac{4x}{5}-1 \right) \)

\( \Leftrightarrow 2+4{{\cos }^{3}}\frac{4x}{5}-3\cos \frac{4x}{5}=3\left( 2{{\cos }^{2}}\frac{4x}{5}-1 \right) \).

Đặt \( t=\cos \frac{4x}{5} \) (điều kiện \( \left| t \right|\le 1 \))

Ta có phương trình: \( 4{{t}^{3}}-3t+2=6{{t}^{2}}-3 \)

\( \Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-3t+5=0\Leftrightarrow (t-1)(4{{t}^{2}}-2t-5)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1\text{ }(n) \\ & t=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\text{ }(n) \\ & t=\frac{1+\sqrt{21}}{4}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

+ Với \( t=\cos \frac{4x}{5}=1\Leftrightarrow \frac{4x}{5}=k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{5k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với \( t=\cos \frac{4x}{5}=\frac{1-\sqrt{21}}{4}\Leftrightarrow \frac{4x}{5}=\pm \arccos \left( \frac{1-\sqrt{21}}{4} \right)+h2\pi \)

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{5}{4}\arccos \left( \frac{1-\sqrt{21}}{4} \right)+\frac{h5\pi }{2},\text{ }h\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin2x(cotx+tan2x)=4cos^2x

Giải phương trình: \( \sin 2x(\cot x+\tan 2x)=4{{\cos }^{2}}x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos 2x\ne 0 \\ & \sin x\ne 0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos 2x\ne 0 \\ & \cos 2x\ne 1 \\ \end{align} \right. \).

Ta có: \( \cot x+\tan 2x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos 2x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x.\cos x\left( \frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \right)=4{{\cos }^{2}}x\Leftrightarrow \frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos 2x}=2{{\cos }^{2}}x \)

\( \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{2}(\cos 2x+1)}{\cos 2x}=2.\frac{1}{2}(\cos 2x+1)\Leftrightarrow \cos 2x+1=2\cos 2x(\cos 2x+1) \)

\( \Leftrightarrow (\cos 2x+1)(2\cos 2x-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=-1\text{ }(n) \\ & \cos 2x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\pi +k2\pi \\ & 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin5x/2=5cos^3x.sinx/2

Giải phương trình: \( \sin \frac{5x}{2}=5{{\cos }^{3}}x.sin\frac{x}{2} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Nhận xét thấy: \( \cos \frac{x}{2}=0\Leftrightarrow x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow \cos x=-1 \).

Thay vào (*), ta được:

\( \sin \left( \frac{5\pi }{2}+5k\pi \right)=-5\sin \left( \frac{\pi }{2}+k\pi \right) \), không thỏa \( \forall k \).

Do \( \cos \frac{x}{2} \) không là nghiệm của (*) nên ta nhân 2 vế phương trình (*) cho \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \):

(*) \( \Leftrightarrow \sin \frac{5x}{2}.\cos \frac{x}{2}=5{{\cos }^{2}}x.\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} \) và \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 3x+\sin 2x)=\frac{5}{2}{{\cos }^{3}}x.\sin x \) và \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

\( \Leftrightarrow 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x+2\sin x\cos x=5{{\cos }^{3}}x.\sin x \) và \( \cos \frac{x}{2}\ne 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos \frac{x}{2}\ne 0 \\ & 3-4{{\sin }^{2}}x+2\cos x=5{{\cos }^{3}}x\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos \frac{x}{2}\ne 0 \\ & 5{{\cos }^{3}}x-4{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1=0\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos x\ne -1 \\ & (\cos x-1)(5{{\cos }^{2}}x+\cos x-1)=0\vee \sin \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \begin{cases} \cos x\ne -1\\\left[\begin{array}{l} \cos x=1 \\ \cos x=\frac{-1+\sqrt{21}}{10} \\ \cos x=\frac{-1-\sqrt{21}}{10} \end{array}\right.\end{cases} \)

\( \Leftrightarrow x=k2\pi \vee x=\pm \arccos \left( \frac{-1+\sqrt{21}}{10} \right)+k2\pi \vee x=\pm \arccos \left( \frac{-1-\sqrt{21}}{10} \right)+k2\pi \text{ }(k\in \mathbb{Z}) \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^8x+cos^8x=17/16cos^22x

Giải phương trình: \( {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x=\frac{17}{16}{{\cos }^{2}}2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x={{({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{4}}x \)

\( ={{\left[ {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x \right]}^{2}}-\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x={{\left( 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \right)}^{2}}-\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x \)

\( =1-{{\sin }^{2}}2x+\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x \).

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow 6\left( 1-{{\sin }^{2}}2x+\frac{1}{8}{{\sin }^{4}}2x \right)=17(1-{{\sin }^{2}}2x) \)

\( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{4}}2x+{{\sin }^{2}}2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\sin }^{2}}2x=-1\text{ }(\ell ) \\ & {{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 4x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \cos 4x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho f(x)=sinx+1/3sin3x+2/5sin5x. Giải phương trình: f′(x)=0

Cho \( f(x)=\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{2}{5}\sin 5x \). Giải phương trình: \( {f}'(x)=0 \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( {f}'(x)=\cos x+\cos 3x+2\cos 5x \)

\( {f}'(x)=0\Leftrightarrow \cos x+\cos 3x+2\cos 5x=0\Leftrightarrow (\cos x+\cos 5x)+(\cos 3x+\cos 5x)=0 \)

\( \Leftrightarrow 2\cos 3x\cos 2x+2\cos 4x\cos x=0\Leftrightarrow (4{{\cos }^{3}}x-3\cos x)\cos 2x+(2{{\cos }^{2}}2x-1)\cos x=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ (4{{\cos }^{2}}x-3)\cos 2x+2{{\cos }^{2}}2x-1 \right]\cos x=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \left( 2(1+\cos 2x)-3 \right)\cos 2x+2{{\cos }^{2}}2x-1 \right]\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \left( 2(1+\cos 2x)-3 \right)\cos 2x+2{{\cos }^{2}}2x-1=0 \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & 4{{\cos }^{2}}2x-\cos 2x-1=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \cos 2x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{8} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & 2x=\pm \arccos \left( \frac{1+\sqrt{17}}{8} \right)+k2\pi \\ & 2x=\pm \arccos \left( \frac{1-\sqrt{17}}{8} \right)+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\pm \frac{1}{2}\arccos \left( \frac{1+\sqrt{17}}{8} \right)+k\pi \\ & x=\pm \frac{1}{2}\arccos \left( \frac{1-\sqrt{17}}{8} \right)+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 4sin^22x+6sin^2x−9−3cos2x/cosx=0

Giải phương trình: \( \frac{4{{\sin }^{2}}2x+6{{\sin }^{2}}x-9-3\cos 2x}{\cos x}=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x+6{{\sin }^{2}}x-9-3\cos 2x=0 \)

\( \Leftrightarrow 4(1-{{\cos }^{2}}2x)+3(1-\cos 2x)-9-3\cos 2x=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}2x+6cos2x+2=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=-1 \\ & \cos 2x=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\pi +k2\pi \\ & 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }(\ell ) \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 3cot^2x+2√2sin^2x=(2+3√2)cosx

Giải phương trình: \( 3{{\cot }^{2}}x+2\sqrt{2}{{\sin }^{2}}x=(2+3\sqrt{2})\cos x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin x\ne 0\Leftrightarrow \cos x\ne \pm 1 \).

Chia hai vế (*) cho \( {{\sin }^{2}}x\ne 0 \), ta được:

(*)\(\Leftrightarrow 3\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x}+2\sqrt{2}=(2+3\sqrt{2})\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\).

Đặt \( t=\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \) ta được phương trình:

\( 3{{t}^{2}}-(2+3\sqrt{2})t+2\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{2}{3} \\ & t=\sqrt{2} \\ \end{align} \right. \).

+ Với \( t=\frac{2}{3} \), ta có: \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\frac{2}{3} \)

\( \Leftrightarrow 3\cos x=2(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x+3\cos x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-2\text{ }(\ell ) \\ & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

+ Với \( t=\sqrt{2} \), ta có: \( \frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{2} \)

\( \Leftrightarrow \cos x=\sqrt{2}(1-{{\cos }^{2}}x)\Leftrightarrow \sqrt{2}{{\cos }^{2}}x+\cos x-\sqrt{2}=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ }(n) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos(2x+π/4)+cos(2x−π/4)+4sinx=2+√2(1−sinx)

Giải phương trình: \( \cos \left( 2x+\frac{\pi }{4} \right)+\cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x) \) (*)

Hướng dẫn giải:

(*) \( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos \frac{\pi }{4}+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x) \)

\( \Leftrightarrow \sqrt{2}(1-2{{\sin }^{2}}x)+(4+\sqrt{2})\sin x-2-\sqrt{2}=0\Leftrightarrow 2\sqrt{2}{{\sin }^{2}}x-(4+\sqrt{2})\sin x+2=0 \)

\( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x-(2\sqrt{2}+1)\sin x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ & \sin x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 4cos^3x+3√2sin2x=8cosx

Giải phương trình: \( 4{{\cos }^{3}}x+3\sqrt{2}\sin 2x=8\cos x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x+6\sqrt{2}\sin x\cos x-8\cos x=0 \)

\(\Leftrightarrow \cos x\left( 2{{\cos }^{2}}x+3\sqrt{2}\sin x-4 \right)=0\Leftrightarrow \cos x\left[ 2(1-{{\sin }^{2}}x)+3\sqrt{2}\sin x-4 \right]=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & -2{{\sin }^{2}}x+3\sqrt{2}\sin x-2=0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4} \\ & \sin x=\sqrt{2}\text{ }(\text{vô nghiệm }) \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ & x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cosx.cosx/2.cos3x/2−sinx.sinx/2.sin3x/2=1/2

Giải phương trình: \( \cos x.\cos \frac{x}{2}.\cos \frac{3x}{2}-\sin x.\sin \frac{x}{2}.\sin \frac{3x}{2}=\frac{1}{2} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x(\cos 2x+\cos x)+\frac{1}{2}\sin x(\cos 2x-\cos x)=\frac{1}{2} \)

\( \Leftrightarrow \cos x.\cos 2x+{{\cos }^{2}}x+\sin x\cos 2x-\sin x\cos x=1 \)

\( \Leftrightarrow \cos 2x(\cos x+\sin x)=1-{{\cos }^{2}}x+\sin x\cos x \)

\( \Leftrightarrow \cos 2x(\cos x+\sin x)=\sin x(\sin x+\cos x) \)

\( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(\cos 2x-\sin x)=0 \) (**)

\( \Leftrightarrow (\cos x+\sin x)(1-2{{\sin }^{2}}x-\sin x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-\sin x \\ & 2{{\sin }^{2}}x+sinx-1=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \sin x=-1 \\ & \sin x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.\text{ }(k\in \mathbb{Z}) \)

Cách khác: (**) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \cos 2x=\sin x=\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right) \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cosx(2sinx+3√2)−2cos^2x−1/1+sin2x=1

Giải phương trình: \( \frac{\cos x\left( 2\sin x+3\sqrt{2} \right)-2{{\cos }^{2}}x-1}{1+\sin 2x}=1 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne -1\Leftrightarrow x\ne -\frac{\pi }{4}+m\pi \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x+3\sqrt{2}\cos x-2{{\cos }^{2}}x-1=1+\sin 2x \)

\( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-3\sqrt{2}\cos x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ }(n) \\ & \cos x=\sqrt{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \text{ }(n) \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2sin3x−1/sinx=2cos3x+1/cosx

Giải phương trình: \( 2\sin 3x-\frac{1}{\sin x}=2\cos 3x+\frac{1}{\cos x} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2(\sin 3x-\cos 3x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \)

\( \Leftrightarrow 2\left[ 3(\sin x+\cos x)-4({{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x) \right]=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \)

\( \Leftrightarrow 2(\sin x+\cos x)\left[ 3-4({{\sin }^{2}}x-\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x) \right]=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x} \)

\( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ -2+8\sin x\cos x-\frac{1}{\sin x\cos x} \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left[ 4\sin 2x-\frac{2}{\sin 2x}-2 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x+\cos x=0 \\ & 4{{\sin }^{2}}2x-2\sin 2x-2=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & \sin 2x=1\vee \sin 2x=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \) (nhận so với điều kiện)

\( \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \vee 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \vee 2x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee 2x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \vee x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \vee x=\frac{7\pi }{12}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 5sinx−2=3(1−sinx)tan2x

(KB – 2004) Giải phương trình: \( 5\sin x-2=3(1-\sin x){{\tan }^{2}}x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \)

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow 5\sin x-2=3(1-\sin x)\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}\Leftrightarrow 5\sin x-2=3(1-\sin x)\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x} \)

\( \Leftrightarrow 5\sin x-2=\frac{3{{\sin }^{2}}x}{1+\sin x} \) (do \( \sin x\ne 1\Leftrightarrow 1-\sin x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x+3\sin x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ & \sin x=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \vee x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos^4x+sin^4x+cos(x−π/4)sin(3x−π/4)−3/2=0

(KD – 2005) Giải phương trình: \( {{\cos }^{4}}x+si{{n}^{4}}x+cos\left( x-\frac{\pi }{4} \right)\sin \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right)-\frac{3}{2}=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow {{({{\sin }^{2}}x+co{{s}^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x+\frac{1}{2}\left[ \sin \left( 4x-\frac{\pi }{2} \right)+\sin 2x \right]-\frac{3}{2}=0 \)

\( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+\frac{1}{2}[-\cos 4x+\sin 2x]-\frac{3}{2}=0 \)

\( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x-\frac{1}{2}(1-2{{\sin }^{2}}2x)+\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x+sin2x-2=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin 2x=1\text{ }(n) \\ & \sin 2x=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos^23x.cos2x−cos^2x=0

(KA – 2005) Giải phương trình: \( {{\cos }^{2}}3x.cos2x-co{{s}^{2}}x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1+\cos 6x}{2}.\cos 2x-\frac{1+\cos 2x}{2}=0\Leftrightarrow \cos 6x.\cos 2x-1=0 \) (**)

Cách 1:

(**) \( \Leftrightarrow (4{{\cos }^{3}}2x-3\cos 2x)\cos 2x-1=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{4}}2x-3\cos 2x-1=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\cos }^{2}}2x=1\text{ }(n) \\ & {{\cos }^{2}}2x=-\frac{1}{4}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow 2x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Cách 2:

(**) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos 8x+\cos 4x)-1=0\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 4x-2=0 \)

\( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}4x+cos4x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 4x=1\text{ }(n) \\ & \cos 4x=-\frac{3}{2}\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow 4x=k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Cách 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực:

(**) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 6x=\cos 2x=1 \\ & \cos 6x=\cos 2x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Cách 4: \( \cos 8x+\cos 4x-2=0\Leftrightarrow \cos 8x+\cos 4x=2 \)

\( \Leftrightarrow \cos 8x=\cos 4x=1\Leftrightarrow \cos 4x=1 \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Tìm các nghiệm trên (0;2π) của phương trình: 5(sinx+cos3x+sin3x1+2sin2x)=3+cos2x

(KA – 2002) Tìm các nghiệm trên \( (0;2\pi ) \) của phương trình:

\( 5\left( \sin x+\frac{\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x} \right)=3+\cos 2x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne -\frac{1}{2} \)

Ta có: \( \sin 3x+\cos 3x=(3\sin x-4{{\sin }^{3}}x)+(4{{\cos }^{3}}x-3\cos x) \)

\( =-3(\cos x-\sin x)+4({{\cos }^{3}}x-si{{n}^{3}}x)=(\cos x-\sin x)\left[ -3+4({{\cos }^{2}}x+cosxsinx+si{{n}^{2}}x) \right] \)

\( =(\cos x-\sin x)(1+2\sin 2x) \)

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 5[\sin x+(\cos x-\sin x)]=3+(2{{\cos }^{2}}x-1)\text{ }\left( do\text{ }\sin 2x\ne -\frac{1}{2} \right) \)

\( \Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-5\cos x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{1}{2}\text{ }(n) \\ & \cos x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \) (nhận do \( \sin 2x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne -\frac{1}{2} \))

Do \( x\in (0;2\pi ) \) nên \( x=\frac{\pi }{3}\vee x=\frac{5\pi }{3} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tan^2x.cot^22x.cot3x=tan^2x−cot^22x+cot3x

Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x.{{\cot }^{2}}2x.\cot 3x={{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x+\cot 3x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin 2x\ne 0 \\ & \sin 3x\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\ & \sin 3x\ne 0 \\ \end{align} \right. \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \cot 3x({{\tan }^{2}}x{{\cot }^{2}}2x-1)={{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x \)

\( \Leftrightarrow \cot 3x\left[ \left( \frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \right)\left( \frac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x} \right)-1 \right]=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}-\frac{1+\cos 4x}{1-\cos 4x} \)

\( \Leftrightarrow \cot 3x\left[ (1-\cos 2x)(1+\cos 4x)-(1+\cos 2x)(1-\cos 4x) \right] \)

\( =(1-\cos 2x)(1-\cos 4x)-(1+\cos 4x)(1+\cos 2x) \)

\( \Leftrightarrow \cot 3x(2\cos 4x-2\cos 2x)=-2(\cos 4x+\cos 2x) \)

\( \Leftrightarrow \frac{\cos 3x}{\sin 3x}(-4\sin 3x\sin x)=-4\cos 3x\cos x\Leftrightarrow \cos 3x\sin x=\cos 3x\cos x \) (do \( \sin 3x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 3x=0 \\ & \sin x=\cos x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 3x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \tan x=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \\ & x=\frac{\pi }{4}+h\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }(k,h\in \mathbb{Z}). \)

So sánh với điều kiện: \( \sin 2x.\sin 3x\ne 0 \)

+ Khi \( x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3} \) thì \( \sin \left( \frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3} \right).\sin \left( \frac{\pi }{2}+k\pi \right)\ne 0\Leftrightarrow \sin \left( \frac{1+2k}{3} \right)\pi \ne 0 \)

Luôn đúng \( \forall k \) thỏa \( 2k+1\ne 3m\text{ }(m\in \mathbb{Z}) \).

+ Khi \( x=\frac{\pi }{4}+h\pi \) thì \( \sin \left( \frac{\pi }{2}+k2\pi \right)\sin \left( \frac{3\pi }{4}+k3\pi \right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0 \) luôn đúng.

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\wedge 2k\ne 3m-1\text{ }(m\in \mathbb{Z}) \\ & x=\frac{\pi }{4}+h\pi ,\text{ }h\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right. \).

Cách khác:

(*) \( \Leftrightarrow \cot 3x({{\tan }^{2}}x{{\cot }^{2}}2x-1)={{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x \)

\( \Leftrightarrow \cot 3x=\frac{{{\tan }^{2}}x-{{\cot }^{2}}2x}{{{\tan }^{2}}x{{\cot }^{2}}2x-1}=\frac{{{\tan }^{2}}2x.{{\tan }^{2}}x-1}{{{\tan }^{2}}x-{{\tan }^{2}}2x} \)

\( \Leftrightarrow \cot 3x=\frac{(1+\tan 2x.\tan x)(1-\tan 2x.\tan x)}{(\tan 2x-\tan x)(\tan 2x+\tan x)} \)

\( \cot 3x=\cot x.\cot 3x\Leftrightarrow \cot 3x(\cot x-1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cot 3x=0 \\ & \cot x=1 \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: \( \frac{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}(\tan x+\cot 2x) \)

Giải phương trình: \( \frac{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}{\sin 2x}=\frac{1}{2}(\tan x+\cot 2x) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \sin 2x\ne 0 \).

Ta có: \( {{\sin }^{4}}x+co{{s}^{4}}x={{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \).

\( \tan x+\cot 2x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{\sin 2x\sin x+\cos x\cos 2x}{\cos x\sin 2x}=\frac{\cos (2x-x)}{\cos x\sin 2x}=\frac{1}{\sin 2x} \)

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x}{\sin 2x}=\frac{1}{2\sin 2x}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x=1 \) (nhận do \( \sin 2x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos3x.tan5x=sin7x

Giải phương trình: \( \cos 3x.\tan 5x=\sin 7x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos 5x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \cos 3x.\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=\sin 7x\Leftrightarrow \sin 5x.\cos 3x=\sin 7x.\cos 5x \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sin 8x+\sin 2x)=\frac{1}{2}(\sin 12x+\sin 2x)\Leftrightarrow \sin 8x=\sin 12x \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 12x=8x+k2\pi \\ & 12x=\pi -8x+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

So sánh với điều kiện:

+ \( x=\frac{k\pi }{2} \) thì \( \cos 5x=\cos \frac{5k\pi }{2}=\cos \frac{k\pi }{2} \) (loại nếu k lẻ)

+ \( x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \) thì \( \cos 5x=\cos \left( \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \right)\ne 0 \) (nhận)

Do đó: (*) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=h\pi \\ & x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10} \\ \end{align} \right.,\text{ }h,k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: \( \frac{{{(1-\cos x)}^{2}}+{{(1+\cos x)}^{2}}}{4(1-\sin x)}-{{\tan }^{2}}x\sin x=\frac{1}{2}(1+\sin x)+{{\tan }^{2}}x \)

Giải phương trình: \( \frac{{{(1-\cos x)}^{2}}+{{(1+\cos x)}^{2}}}{4(1-\sin x)}-{{\tan }^{2}}x\sin x=\frac{1}{2}(1+\sin x)+{{\tan }^{2}}x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin x\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{2(1+{{\cos }^{2}}x)}{4(1-\sin x)}-\frac{{{\sin }^{3}}x}{1-{{\sin }^{2}}x}=\frac{1}{2}(1+\sin x)+\frac{{{\sin }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x} \)

\( \Leftrightarrow (1+{{\cos }^{2}}x)(1+\sin x)-2{{\sin }^{3}}x=(1+\sin x)(1-{{\sin }^{2}}x)+2{{\sin }^{2}}x \)

\( \Leftrightarrow (1+\sin x)(1+{{\cos }^{2}}x)=(1+\sin x){{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x(1+\sin x) \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 1+\sin x=0 \\ & 1+{{\cos }^{2}}x={{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=-1(\text{loại do }\cos x\ne 0) \\ & 1=1-\cos 2x \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 2x=0\) (nhận do \( \cos x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: \( \frac{3(\sin x+\tan x)}{\tan x-\sin x}-2(1+\cos x)=0 \)

Giải phương trình: \( \frac{3(\sin x+\tan x)}{\tan x-\sin x}-2(1+\cos x)=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \tan x-\sin x\ne 0\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\ne 0\Leftrightarrow \frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\ne 0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ & \cos x\ne 1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{3(\sin x+\tan x).\cot x}{(\tan x-\sin x).\cot x}-2(1+\cos x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \frac{3(\cos x+1)}{1-\cos x}-2(1+\cos x)=0\Leftrightarrow \frac{3}{1-\cos x}-2=0 \) (do \( \sin x\ne 0 \) nên \( \cos x+1\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow 1+2\cos x=0\Leftrightarrow \cos x=-\frac{1}{2} \) (nhận so với điều kiện)

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 2tanx+cot2x=2sin2x+1/sin2x

Giải phương trình: \( 2\tan x+\cot 2x=2\sin 2x+\frac{1}{\sin 2x} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow \frac{2\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=2\sin 2x+\frac{1}{\sin 2x}\Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}x+\cos 2x=2{{\sin }^{2}}2x+1 \)

\( \Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}x+(1-2{{\sin }^{2}}x)=8{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+1\Leftrightarrow 2{{\sin }^{2}}x(1-4{{\cos }^{2}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=0(\text{loại do }\sin 2x\ne 0\Rightarrow \sin x\ne 0) \\ & \cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}(\text{nh }\!\!\ddot{\mathrm{E}}\!\!\text{ nhận do }\cos 2x\ne \pm 1) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^4x+cos^4x=7/8cot(x+π/3)cot(π/6−x)

Giải phương trình: \( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=\frac{7}{8}\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\cot \left( \frac{\pi }{6}-x \right) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0 \\ & \sin \left( \frac{\pi }{6}-x \right)\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0 \\ & \cos \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin \left( 2x+\frac{2\pi }{3} \right)\ne 0 \)

\( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\ne 0\Leftrightarrow \tan 2x\ne \sqrt{3} \).

Ta có: \( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x={{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x.co{{s}^{2}}x=1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x \).

Và \( \cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right).\cot \left( \frac{\pi }{6}-x \right)=\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right).\tan \left( \frac{\pi }{3}+x \right)=1 \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x=\frac{7}{8}\Leftrightarrow -\frac{1}{4}(1-\cos 4x)=-\frac{1}{8}\Leftrightarrow \cos 4x=\frac{1}{2} \)

\( \Leftrightarrow 4x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2} \) (nhận do \( \tan 2x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\ne \sqrt{3} \)).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: \( \frac{{{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}{\cos 2x}=16(1+\cos 4x) \)

Giải phương trình: \( \frac{{{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}{\cos 2x}=16(1+\cos 4x) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( {{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x=\frac{{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{{{\cos }^{4}}x-si{{n}^{4}}x}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=\frac{4\cos 2x}{{{\sin }^{2}}2x} \).

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin 2x\ne 0 \\ & \cos 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 4x\ne 0 \).

Lúc đó (*) \( \Leftrightarrow \frac{4}{{{\sin }^{2}}2x}=16(1+\cos 4x)\Leftrightarrow 1=4(1+\cos 4x){{\sin }^{2}}2x \)

\( \Leftrightarrow 1=2(1+\cos 4x)(1-\cos 4x)\Leftrightarrow 1=2(1-{{\cos }^{2}}4x)=2{{\sin }^{2}}4x \)

\( \Leftrightarrow 1=1-\cos 8x\Leftrightarrow \cos 8x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{8},k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin2x(cotx+tan2x)=4cos^2x

Giải phương trình: \( \sin 2x(\cot x+\tan 2x)=4{{\cos }^{2}}x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \sin x\ne 0 \\ & \cos 2x\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos x\ne \pm 1 \\ & 2{{\cos }^{2}}x-1\ne 0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \cos x\ne \pm 1 \\ & \cos x\ne \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \right. \).

Ta có: \( \cot x+\tan 2x=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\frac{\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x}{\sin x\cos 2x}=\frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \).

Lúc đó: (*) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x\left( \frac{\cos x}{\sin x\cos 2x} \right)=4{{\cos }^{2}}x\Leftrightarrow \frac{{{\cos }^{2}}x}{\cos 2x}=2{{\cos }^{2}}x \) (Do \( \sin x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow {{\cos }^{2}}x\left( \frac{1}{\cos 2x}-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \frac{1}{\cos 2x}=2 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0\text{ }(\text{nhận do}\cos x\ne \frac{\sqrt{2}}{2},\cos x\ne 1) \\ & \cos 2x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\text{ }(\text{nhận } \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình sau: sin^2(x/2−π/4)tan^2x−cos^2x/2=0

(KD – 2003) Giải phương trình sau: \( {{\sin }^{2}}\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{4} \right){{\tan }^{2}}x-{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \cos x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne \pm 1 \).

(*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ 1-\cos \left( x-\frac{\pi }{2} \right) \right]\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{2}(1+\cos x)=0\Leftrightarrow \frac{(1-\sin x)(1-{{\cos }^{2}}x)}{1-{{\sin }^{2}}x}-(1+\cos x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \frac{1-{{\cos }^{2}}x}{1+\sin x}-(1+\cos x)=0\Leftrightarrow (1+\cos x)\left[ \frac{1-\cos x}{1+\sin x}-1 \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow (1+\cos x)(-\cos x-\sin x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-1\text{ }(n) \\ & \tan x=-1\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pi +k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tan^2x+cot^2x+cot^22x=11/3

Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x+{{\cot }^{2}}x+{{\cot }^{2}}2x=\frac{11}{3} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \sin x\ne 0 \\ & \sin 2x\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \sin 2x\ne 0 \).

Do đó:

(*) \( \Leftrightarrow \left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}2x}-1 \right)=\frac{11}{3} \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{4{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}=\frac{20}{3}\Leftrightarrow \frac{4{{\sin }^{2}}x+4{{\cos }^{2}}x+1}{4{{\sin }^{2}}xco{{s}^{2}}x}=\frac{20}{3} \)

\( \Leftrightarrow \frac{5}{{{\sin }^{2}}2x}=\frac{20}{3}\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}2x=\frac{3}{4} \) (nhận do \( \sin 2x\ne 0 \)).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 4x)=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \cos 4x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow 4x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Chú ý: Có thể dễ dàng chứng minh: \( \tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x} \).

Vậy (*) \( {{(\tan x+\cot x)}^{2}}-2+\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}-1 \right)=\frac{11}{3}\Leftrightarrow \frac{5}{{{\sin }^{2}}2x}=\frac{20}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tan^2x−tanx.tan3x=2

Giải phương trình: \( {{\tan }^{2}}x-\tan x.\tan 3x=2 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: \( \left\{ \begin{align} & \cos x\ne 0 \\ & \cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3cosx\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \cos 3x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{h\pi }{3} \).

Lúc đó, ta có (*) \( \Leftrightarrow \tan x(\tan x-\tan 3x)=2\Leftrightarrow \frac{\sin x}{\cos x}\left( \frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x} \right)=2 \)

\( \Leftrightarrow \sin x(\sin x\cos 3x-\cos x\sin 3x)=2{{\cos }^{2}}xcos3x\Leftrightarrow \sin x\sin (-2x)=2{{\cos }^{2}}x.\cos 3x \)

\( \Leftrightarrow -2{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{2}}x\cos 3x\Leftrightarrow -{{\sin }^{2}}x=\cos x\cos 3x \) (do \( \cos x\ne 0 \))

\( \Leftrightarrow -\frac{1}{2}(1-\cos 2x)=\frac{1}{2}(\cos 4x+\cos 2x)\Leftrightarrow \cos 4x=-1\Leftrightarrow 4x=\pi +k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

So sánh với điều kiện:

Cách 1: Khi \( x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \) thì \( \cos 3x=\cos \left( \frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2} \right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0 \) (nhận)

Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó: (*) \( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \).

Lưu ý cách 2 rất mất thời gian.

Cách 3: Nếu \( 3x=\frac{3\pi }{4}+\frac{3k\pi }{2}=\frac{\pi }{2}+h\pi \Leftrightarrow 3+6k=2+4h\Leftrightarrow 1=4h-6k \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}=2h-3k \) (vô lý vì \( k,h\in \mathbb{Z} \)).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: tan^2x−tanx.tan3x=2

Giải phương trình: 8cos^3(x+π/3)=cos3x

Giải phương trình: \( 8{{\cos }^{3}}\left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\cos 3x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Đặt \( t=x+\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=t-\frac{\pi }{3} \) thì: \( \cos 3x=\cos (3t-\pi )=\cos (\pi -3t)=-\cos 3t \).

Vậy (*) trở thành: \(8{{\cos }^{3}}t=-\cos 3t\Leftrightarrow 8{{\cos }^{3}}t=-4{{\cos }^{3}}t+3\cos t\)

\(\Leftrightarrow 12{{\cos }^{3}}t-3\cos t=0\Leftrightarrow 3\cos t(4{{\cos }^{2}}t-1)=0\Leftrightarrow 3\cos t\left[ 2(1+\cos 2t)-1 \right]=0\)

\(\Leftrightarrow \cos t(2\cos 2t+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos t=0 \\ & \cos t=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3} \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & t=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right. \)

Mà \( x=t-\frac{\pi }{3} \), suy ra: \( \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=k\pi \\ & x=\frac{2\pi }{3}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \)

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x=1/16

Giải phương trình: \( \cos x.\cos 2x.\cos 4x.\cos 8x=\frac{1}{16} \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta thấy \( x=k\pi \) không là nghiệm của (*) vì lúc đó \( \cos x=\pm 1,\text{ }\cos 2x=\cos 4x=\cos 8x=1 \).

(*) trở thành: \( \pm 1=\frac{1}{16} \) (vô lý).

Nhân 2 vế của (*) cho \( 16\sin x\ne 0 \), ta được:

(*) \( \Leftrightarrow (16\sin x\cos x)\cos 2x.\cos 4x.\cos 8x=\sin x \)

\( \Leftrightarrow (8\sin 2x\cos 2x).\cos 4x.\cos 8x=\sin x\Leftrightarrow (4\sin 4x\cos 4x).\cos 8x=\sin x \)

\( \Leftrightarrow 2\sin 8x\cos 8x=\sin x\Leftrightarrow \sin 16x=\sin x\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 16x=x+k2\pi \\ & 16x=\pi -x+k2\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k2\pi }{5} \\ & x=\frac{\pi }{17}+\frac{k\pi }{17} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^6x+cos^6x=2(sin^8x+cos^8x)

Giải phương trình: \( {{\sin }^{6}}x+co{{s}^{6}}x=2(si{{n}^{8}}x+co{{s}^{8}}x) \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow {{\sin }^{6}}x-2{{\sin }^{8}}x+co{{s}^{6}}x-2co{{s}^{8}}x=0 \)

\( \Leftrightarrow {{\sin }^{6}}x(1-2si{{n}^{2}}x)-{{\cos }^{6}}x(2{{\cos }^{2}}x-1)=0\Leftrightarrow {{\sin }^{6}}x\cos 2x-{{\cos }^{6}}x.\cos 2x=0 \)

\( \Leftrightarrow \cos 2x({{\sin }^{6}}x-co{{s}^{6}}x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & {{\sin }^{6}}x={{\cos }^{6}}x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & {{\tan }^{6}}x=1 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \tan x=\pm 1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: (2sinx+1)(3cos4x+2sinx−4)+4cos^2x=3

Giải phương trình: \( (2\sin x+1)(3\cos 4x+2\sin x-4)+4{{\cos }^{2}}x=3 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (2\sin x+1)(3\cos 4x+2\sin x-4)+4(1-{{\sin }^{2}}x)-3=0 \)

\( \Leftrightarrow (2\sin x+1)(3\cos 4x+2\sin x-4)+(1+2\sin x)(1-2\sin x)=0 \)

\( \Leftrightarrow (2\sin x+1)\left[ 3\cos 4x+2\sin x-4+(1-2\sin x) \right]=0 \)

\( \Leftrightarrow 3(\cos 4x-1)(2\sin x+1)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 4x=1 \\ & \sin x=-\frac{1}{2}\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right) \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k\pi }{2} \\ & x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sinx+cosx+1+sin2x+cos2x=0

(KB – 2005) Giải phương trình: \( \sin x+\cos x+1+\sin 2x+\cos 2x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*)\(\Leftrightarrow \sin x+\cos x+2\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin x+\cos x+2\cos x(\sin x+\cos x)=0\Leftrightarrow (\sin x+\cos x)(1+2\cos x)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \sin x=-\cos x \\ & \cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3} \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \tan x=-1 \\ & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: 4sin^3x+3cos^3x−3sinx−sin^2xcosx=0

Giải phương trình: \( 4{{\sin }^{3}}x+3{{\cos }^{3}}x-3\sin x-{{\sin }^{2}}x\cos x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \sin x(4{{\sin }^{2}}x-3)-\cos x({{\sin }^{2}}x-3co{{s}^{2}}x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \sin (4{{\sin }^{2}}x-3)-\cos x\left[ {{\sin }^{2}}x-3(1-{{\sin }^{2}}x) \right]=0\Leftrightarrow (4{{\sin }^{2}}x-3)(\sin x-\cos x)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ 2(1-\cos 2x)-3 \right](\sin x-\cos x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3} \\ & \sin x=\cos x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & \tan x=1=\tan \frac{\pi }{4} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cos10x+2cos^24x+6cos3x.cosx=cosx+8cosx.cos^33x

Giải phương trình: \( \cos 10x+2{{\cos }^{2}}4x+6cos3x.cosx=\cos x+8\cos x.{{\cos }^{3}}3x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \cos 10x+(1+\cos 8x)=\cos x+8\cos x.{{\cos }^{3}}3x-6\cos 3x.\cos x \)

\( \Leftrightarrow (\cos 10x+\cos 8x)+1=\cos x+2\cos x(4{{\cos }^{3}}3x-3\cos 3x) \)

\( \Leftrightarrow 2\cos 9x\cos x+1=\cos x+2\cos x\cos 9x\Leftrightarrow \cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x

Giải phương trình: \( \sin x+\sin 2x+\sin 3x=\cos x+\cos 2x+\cos 3x \).

Hướng dẫn giải:

Phương trình \( \Leftrightarrow (\sin x+\sin 3x)+\sin 2x=(\cos x+\cos 3x)+\cos 2x \)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x+\sin 2x=2\cos 2x\cos x+\cos 2x\Leftrightarrow \sin 2x(2\cos x+1)=\cos 2x(2\cos x+1) \)

\( \Leftrightarrow (2\cos x+1)(\sin 2x-\cos 2x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2\cos x+1=0 \\ & \sin 2x-\cos 2x=0 \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3} \\ & \sin 2x=\cos 2x \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & \tan 2x=1=\tan \frac{\pi }{4} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^33x−cos^24x=sin^25x−cos^26x

(KB – 2002) Giải phương trình: \( {{\sin }^{3}}3x-co{{s}^{2}}4x={{\sin }^{2}}5x-co{{s}^{2}}6x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 6x)-\frac{1}{2}(1+\cos 8x)=\frac{1}{2}(1-\cos 10x)-\frac{1}{2}(1+\cos 12x) \)

\( \Leftrightarrow \cos 6x+\cos 8x=\cos 10x+\cos 12x\Leftrightarrow 2\cos 7x\cos x=2\cos 11x\cos x \)

\( \Leftrightarrow 2\cos x(\cos 11x-\cos 7x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \cos 11x=\cos 7x \\ \end{align} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & 11x=\pm 7x+k2\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\frac{k\pi }{9} \\ & x=\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{k\pi }{9} \\ & x=\frac{k\pi }{2} \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^3xcos3x+cos^3xsin3x=sin^34x

Giải phương trình: \( {{\sin }^{3}}x\cos 3x+{{\cos }^{3}}xsin3x=si{{n}^{3}}4x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*)\(\Leftrightarrow {{\sin }^{3}}x\left( 4{{\cos }^{3}}x-3\cos x \right)+{{\cos }^{3}}x\left( 3\sin x-4{{\sin }^{3}}x \right)=si{{n}^{3}}4x\)

\( \Leftrightarrow 4{{\sin }^{3}}xco{{s}^{3}}x-3{{\sin }^{3}}xcosx+3sinxco{{s}^{3}}x-4si{{n}^{3}}xco{{s}^{3}}x=si{{n}^{3}}4x \)

\( \Leftrightarrow 3\sin x\cos x\left( {{\cos }^{2}}x-si{{n}^{2}}x \right)={{\sin }^{3}}4x\Leftrightarrow \frac{3}{2}\sin 2x\cos 2x={{\sin }^{3}}4x \)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{4}\sin 4x={{\sin }^{3}}4x\Leftrightarrow 3\sin 4x-4{{\sin }^{3}}4x=0\Leftrightarrow \sin 12x=0 \)

\( \Leftrightarrow 12x=k\pi \Leftrightarrow x=\frac{k\pi }{12},\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Cho phương trình: sinx.cos4x−sin^22x=4sin^2(π/4−x/2)−7/2

Cho phương trình: \( \sin x.\cos 4x-{{\sin }^{2}}2x=4si{{n}^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2} \right)-\frac{7}{2} \) (*). Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: \( \left| x-1 \right|<3 \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \sin x.\cos 4x-\frac{1}{2}(1-\cos 4x)=2\left[ 1-\cos \left( \frac{\pi }{2}-x \right) \right]-\frac{7}{2} \)

\( \Leftrightarrow \sin x\cos 4x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 4x=-\frac{3}{2}-2\sin x\Leftrightarrow \sin x\cos 4x+\frac{1}{2}\cos 4x+1+2\sin x=0 \)

\( \Leftrightarrow \cos 4x\left( \sin x+\frac{1}{2} \right)+2\left( \sin x+\frac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow (\cos 4x+2)\left( \sin x+\frac{1}{2} \right)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 4x=-2\text{ }(\ell ) \\ & \sin x=-\frac{1}{2}=\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ & x=\frac{7\pi }{6}+h2\pi \\ \end{align} \right.\).

Ta có: \( \left| x-1 \right|<3\Leftrightarrow -3<x-1<3\Leftrightarrow -2<x<4 \).

+ Với \(x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \), ta có: \( -2<-\frac{\pi }{6}+k2\pi <4\Leftrightarrow -2+\frac{\pi }{6}<k2\pi <4+\frac{\pi }{6} \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{12}-\frac{1}{\pi }<k<\frac{2}{\pi }+\frac{1}{12} \).

Do \( k\in \mathbb{Z} \) nên k = 0. Vậy \( x=-\frac{\pi }{6} \).

+ Với \(x=\frac{7\pi }{6}+h2\pi \), ta có: \(-2<\frac{7\pi }{6}+h2\pi <4\Leftrightarrow -2-\frac{7\pi }{6}<h2\pi <4-\frac{7\pi }{6}\)

\(\Leftrightarrow -\frac{1}{\pi }-\frac{7}{12}<h<\frac{2}{\pi }-\frac{7}{12}\xrightarrow{h\in \mathbb{Z}}h=0\). Vậy \( x=\frac{7\pi }{6} \).

Kết luận: \( x\in \left\{ -\frac{\pi }{6};\frac{7\pi }{6} \right\} \).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

Giải phương trình: \( \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow (\cos x+\cos 3x)+(\cos 2x+\cos 4x)=0\Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x+2\cos 3x.\cos x=0 \)

\( \Leftrightarrow 2\cos x(\cos 3x+\cos x)=0\Leftrightarrow 4\cos x.\cos \frac{5x}{2}.\cos \frac{x}{2}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & \cos \frac{5\pi }{2}=0 \\ & \cos \frac{x}{2}=0 \\ \end{align} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\pi +k2\pi \\ & x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5} \\ \end{align} \right.,\text{ }(k\in \mathbb{Z})\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: sin^2x+sin^23x=cos^22x+cos^24x

Giải phương trình: \( {{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}3x=co{{s}^{2}}2x+{{\cos }^{2}}4x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: (*) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1-\cos 2x)+\frac{1}{2}(1-\cos 6x)=\frac{1}{2}(1+\cos 4x)+\frac{1}{2}(1+\cos 8x) \)

\(\Leftrightarrow -(\cos 2x+\cos 6x)=\cos 4x+\cos 8x\Leftrightarrow -2\cos 4x\cos 2x=2\cos 6x\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow 2\cos 2x(\cos 6x+\cos 4x)=0\Leftrightarrow 4\cos 2x\cos 5x\cos x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos 2x=0 \\ & \cos 5x=0 \\ & \cos x=0 \\ \end{align} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5} \\ & x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{align} \right.,\text{ }k\in \mathbb{Z} \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Giải phương trình: (2cosx−1)(2sinx+cosx)=sin2x−sinx

(KD – 2004) Giải phương trình: \( (2\cos x-1)(2\sin x+\cos x)=\sin 2x-\sin x \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có (*) \( \Leftrightarrow (2\cos x-1)(2\sin x+\cos x)=\sin x(2\cos x-1) \)

\( \Leftrightarrow (2\cos x-1)\left[ (2\sin x+\cos x)-\sin x \right]=0\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\sin x+\cos x)=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\frac{1}{2} \\ & \sin x=-\cos x \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=\cos \frac{\pi }{3} \\ & \tan x=-1=\tan \left( -\frac{\pi }{4} \right) \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\pm \frac{\pi }{3}=k2\pi \\ & x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ \end{align} \right.\text{ }(k\in \mathbb{Z})\).

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Tìm x∈[0;14] nghiệm đúng phương trình: cos3x−4cos2x+3cosx−4=0

(KD – 2002) Tìm \( x\in [0;14] \) nghiệm đúng phương trình: \( \cos 3x-4\cos 2x+3\cos x-4=0 \) (*)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \( (*)\Leftrightarrow \left( 4{{\cos }^{3}}x-3cosx \right)-4(2{{\cos }^{2}}x-1)+3\cos x-4=0 \)

\( \Leftrightarrow 4{{\cos }^{3}}x-8cos{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{\cos }^{2}}x(cosx-2)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0\text{ }(n) \\ & \cos x=2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \) (Do \( -1\le \cos x\le 1 \))

\( \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ }(k\in \mathbb{Z}) \)

Ta có: \( x\in [0;14]\Leftrightarrow 0\le \frac{\pi }{2}+k\pi \le 14\Leftrightarrow -\frac{\pi }{2}\le k\pi \le 14-\frac{\pi }{2}\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\le k\le \frac{14}{\pi }-\frac{1}{2}\approx 3,9 \)

Mà \( k\in \mathbb{Z} \) nên \( k\in \{0;1;2;3\} \). Do đó: \(x\in \left\{ \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2};\frac{7\pi }{2} \right\}\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 4055aa7517 may not exist

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán cùng chủ đề!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Nhận Dạy Kèm Toán - Lý - Hóa Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan