Cho elip (E) có phương trình chính tắc là x^2/a^2+y^2/b^2=1. Xác định tọa độ các tiêu điểm của (E) biết rằng (E) đi qua điểm M(√5;1) và khoảng cách từ một đỉnh nằm trên trục lớn đến một đỉnh nằm trên trục nhỏ bằng tiêu cự

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là \( \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \). Xác định tọa độ các tiêu điểm của (E) biết rằng (E) đi qua điểm  \( M(\sqrt{5};1) \) và khoảng cách từ một đỉnh nằm trên trục lớn đến một đỉnh nằm trên trục nhỏ bằng tiêu cự.

Hướng dẫn giải:

Gọi  \( A(a;0),B(0;b) \) là hai đỉnh.

Khi đó AB = 2c suy ra:  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4{{c}^{2}} \).

Mà  \( {{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}} \) nên  \( 3{{a}^{2}}=5{{b}^{2}} \).

Vì  \( M\in (E) \) suy ra  \( {{b}^{2}}=4,{{a}^{2}}=\frac{20}{3}\Rightarrow c=\frac{2\sqrt{6}}{3} \).

Vậy  \( {{F}_{1}}\left( -\frac{2\sqrt{6}}{3};0 \right),{{F}_{2}}\left( \frac{2\sqrt{6}}{3};0 \right) \).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tìm tọa độ các đỉnh của elip (E) có phương trình chính tắc là x^2/a^2+y^2/b^2=1, biết rằng (E) đi qua điểm M(2;1) và các đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông

Tìm tọa độ các đỉnh của elip (E) có phương trình chính tắc là \( \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \), biết rằng (E) đi qua điểm M(2;1) và các đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Gọi B là đỉnh trên trục nhỏ; F1, F2 là hai tiêu điểm.

Khi đó tam giác F1BF2 vuông cân nên b = c. Do đó:  \( {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{b}^{2}} \).

Mặt khác,  \( M\in (E) \) nên  \( \frac{4}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}=1 \). Từ đó suy ra:  \( {{b}^{2}}=3,{{a}^{2}}=6 \).

Vậy  \( {{A}_{1}}(-\sqrt{6};0),{{A}_{2}}(\sqrt{6};0),{{B}_{1}}(0;-\sqrt{3}),{{B}_{2}}(0;\sqrt{3}) \).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Cho elip (E):x^2/a^2+y^2/b^2=1. Biết (E) đi qua điểm M(2√3;√7/2) và có tiêu cự bằng 3/4 độ dài trục lớn. Tính độ dài trục nhỏ của (E)

Cho elip \( (E):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \). Biết (E) đi qua điểm  \( M\left( 2\sqrt{3};\frac{\sqrt{7}}{2} \right) \) và có tiêu cự bằng  \( \frac{3}{4} \) độ dài trục lớn. Tính độ dài trục nhỏ của (E).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( c=\frac{3}{4}a,{{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=\frac{7}{16}{{a}^{2}} \).

Vì  \( M\in (E) \) nên  \( {{b}^{2}}=7 \)

Suy ra  \( 2b=2\sqrt{7} \).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Xác định tọa độ các đỉnh của elip (E):x^2/a^2+y^2/b^2=1, (a>b>0) biết rằng (E) đi qua hai điểm M(0;−2) và N(2;√3)

Xác định tọa độ các đỉnh của elip \( (E):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \),  \( (a>b>0)  \) biết rằng (E) đi qua hai điểm  \( M(0;-2) \) và  \( N(2;\sqrt{3}) \).

Hướng dẫn giải:

Ta có: b = 2. (E) đi qua điểm  \( N(2;\sqrt{3}) \) nên  \( {{a}^{2}}=16\Rightarrow a=4 \).

Vậy,  \( {{A}_{1}}(-4;0),{{A}_{2}}(4;0),{{B}_{1}}(0;-2),{{B}_{2}}(0;2) \).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Xác định độ dài các trục của elip (E):x^2/a^2+y^2/b^2=1, (a>b>0) biết rằng (E) có độ dài tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A(5;0).

Xác định độ dài các trục của elip \( (E):\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \),  \( (a>b>0) \) biết rằng (E) có độ dài tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A(5;0).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( 2c=6\Rightarrow c=3,a=5\Rightarrow b=4 \)

Vậy,  \( 2a=10,2b=8 \).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tìm độ dài trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự của các elip có phương trình sau

Tìm độ dài trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự của các elip có phương trình sau:

a) \( 16{{x}^{2}}+64{{y}^{2}}=100 \)

b) \(\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{2}=2\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( 16{{x}^{2}}+64{{y}^{2}}=100\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\frac{100}{16}}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{100}{64}}=1 \).

Vậy  \( 2a=5,2b=\frac{5}{2},2c=\frac{5\sqrt{3}}{2} \).

b) Ta có: \(\frac{{{x}^{2}}}{8}+\frac{{{y}^{2}}}{2}=2\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\).

Vậy \(2a=8,2b=4,2c=4\sqrt{3}\)

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của các elip có phương trình sau

Xác định tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của các elip có phương trình sau:

a) \( 16{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=1 \)

b) \( 0,25{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=1 \).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( 16{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{\frac{1}{16}}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{1}{25}}=1 \)

Do đó:  \( {{A}_{1}}\left( -\frac{1}{4};0 \right),{{A}_{2}}\left( \frac{1}{4};0 \right),{{B}_{1}}\left( 0;-\frac{1}{5} \right),{{B}_{2}}\left( 0;\frac{1}{5} \right),{{F}_{1}}\left( -\frac{3}{20};0 \right),{{F}_{2}}\left( \frac{3}{20};0 \right) \).

b) Ta có: \( 0,25{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{1}{9}}=1 \).

Vậy:  \( {{A}_{1}}\left( -2;0 \right),{{A}_{2}}\left( 2;0 \right),{{B}_{1}}\left( 0;-\frac{1}{3} \right),{{B}_{2}}\left( 0;\frac{1}{3} \right),{{F}_{1}}\left( -\frac{\sqrt{35}}{3};0 \right),{{F}_{2}}\left( \frac{\sqrt{35}}{3};0 \right) \).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Xác định tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của các elip có phương trình

Xác định tọa độ các đỉnh và các tiêu điểm của các elip có phương trình sau:

a) \( \frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{64}=1 \).

b) \( \frac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1 \).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \( {{a}^{2}}=100,{{b}^{2}}=64\Rightarrow a=10,b=8,c=6 \)

Vậy \({{A}_{1}}(-10;0),{{A}_{2}}(10;0),{{B}_{1}}(0;-8),{{B}_{2}}(0;8),{{F}_{1}}(-6;0),{{F}_{2}}(6;0)\).

b) Ta có: \( {{a}^{2}}=4,{{b}^{2}}=1\Rightarrow a=2,b=1,c=\sqrt{3} \)

Vậy \({{A}_{1}}(-2;0),{{A}_{2}}(2;0),{{B}_{1}}(0;-1),{{B}_{2}}(0;1),{{F}_{1}}(-\sqrt{3};0),{{F}_{2}}(\sqrt{3};0)\).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Xác định tọa độ các tiêu điểm và độ dài tiêu cự của các elip có phương trình sau

Xác định tọa độ các tiêu điểm và độ dài tiêu cự của các elip có phương trình sau:

a) \( \frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{3}=1 \)

b) \( 4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=36 \)

Hướng dẫn giải:

a) Từ phương trình \( \frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{3}=1 \), ta có: \( {{a}^{2}}=4,\text{ }{{b}^{2}}=3 \) suy ra  \( c=1 \).

Các tiêu điểm:  \( {{F}_{1}}(-1;0),\text{ }{{F}_{2}}(1;0) \).

Độ dài tiêu cự:  \( {{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=2 \).

b) Ta có: \( 4{{x}^{2}}+25{{y}^{2}}=36\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{36}{25}}=1 \), suy ra: \( {{a}^{2}}=9,{{b}^{2}}=\frac{36}{25}\Rightarrow c=\frac{3\sqrt{21}}{5} \).

Các tiêu điểm:  \( {{F}_{1}}\left( -\frac{3\sqrt{21}}{5};0 \right),{{F}_{2}}\left( \frac{3\sqrt{21}}{5};0 \right) \).

Độ dài tiêu cực: \({{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c=\frac{6\sqrt{21}}{5}\).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Xác định tọa độ các đỉnh và độ dài các trục của các elip có phương trình sau

Xác định tọa độ các đỉnh và độ dài các trục của các elip có phương trình sau:

a) \( \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \)

b) \( {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=1 \)

Hướng dẫn giải:

a) Từ phương trình \( \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \) ta có: \( a=4,\text{ }b=2 \).

Các đỉnh:  \( {{A}_{1}}(-4;0),\text{ }{{A}_{2}}(4;0),\text{ }{{B}_{1}}(0;-2),\text{ }{{B}_{2}}(0;2) \).

Độ dài trục lớn:  \( {{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a=8,\text{ }{{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b=4 \).

b) Ta có: \( {{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{{{y}^{2}}}{\frac{1}{4}}=1 \): \( a=1,\text{ }b=\frac{1}{2} \).

Các đỉnh:  \( {{A}_{1}}(-1;0),\text{ }{{A}_{2}}(1;0),\text{ }{{B}_{1}}\left( 0;-\frac{1}{2} \right),\text{ }{{B}_{2}}\left( 0;\frac{1}{2} \right) \).

Độ dài trục lớn:  \( {{A}_{1}}{{A}_{2}}=2a=2,\text{ }{{B}_{1}}{{B}_{2}}=2b=1 \).

Các bài toán liên quan

Không tìm thấy bài viết nào.

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!