Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn √a+√b+√c=3. Chứng minh rằng: √(a^2+ab+b^2)+√(b^2+bc+c^2)+√(c^2+ca+a^2)≥3√3

Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn \( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3 \). Chứng minh rằng:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{3} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+ca+{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{3} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{2{{a}^{2}}+2ab+2{{b}^{2}}}+\sqrt{2{{b}^{2}}+2bc+2{{c}^{2}}}+\sqrt{2{{c}^{2}}+2ca+2{{a}^{2}}}\ge 3\sqrt{6} \)

 \( \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(a+c)}^{2}}}\ge 3\sqrt{6} \)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakcopki: \(x.a+y.b\le \sqrt{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\).

Chứng minh: \(x.a+y.b\le \sqrt{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\)

 \( \Leftrightarrow {{(x.a+y.b)}^{2}}\le {{x}^{2}}{{a}^{2}}+{{y}^{2}}{{b}^{2}}+{{x}^{2}}{{b}^{2}}+{{y}^{2}}{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}{{b}^{2}}+{{y}^{2}}{{a}^{2}}-2x.a.y.b\ge 0 \)

 \( \Leftrightarrow {{(x.b-y.a)}^{2}}\ge 0 \) (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y} \).

Áp dụng cho bài toán:

\(a+b\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}=\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{{{(a+b)}^{2}}}{2}\)   (1)

 \( b+c\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}=\sqrt{2({{b}^{2}}+{{c}^{2}})}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{(b+c)}^{2}}}{2} \)    (2)

\(a+c\le \sqrt{({{1}^{2}}+{{1}^{2}}).({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}=\sqrt{2({{a}^{2}}+{{c}^{2}})}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{(a+c)}^{2}}}{2}\)    (3)

Do đó:  \( \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}+{{(a+c)}^{2}}} \)

 \( \ge \sqrt{\frac{3}{2}{{(a+b)}^{2}}}+\sqrt{\frac{3}{2}{{(b+c)}^{2}}}+\sqrt{\frac{3}{2}{{(a+c)}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}(2a+2b+2c)=3\sqrt{6} \) (đpcm)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow  \) dấu “=” ở (1), (2), (3) đồng thời xảy ra và thỏa mãn  \( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\Leftrightarrow a=b=c=1 \).

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a(b−c)^5+b(c−a)^5+c(a−b)^5

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn \( a\ge 7.\max \{b,c\} \);  \( a+b+c=1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( P=a{{(b-c)}^{5}}+b{{(c-a)}^{5}}+c{{(a-b)}^{5}} \).

Hướng dẫn giải:

Ta có:  \( P=(a-b)(b-c)(c-a)\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+ab(a+b)+bc(c+a)+ca(c+a)-9abc \right) \)

 \( =(a-b)(b-c)(c-a)\left[ \frac{1}{3}{{(a+b+c)}^{3}}+\frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-11abc \right] \)

 \( =(a-b)(b-c)(c-a)\left[ \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})-11abc+\frac{1}{3} \right] \).

Trước tiên chuyển về biểu thức đối xứng 3 biến để dễ xử lý.

Lấy trị tuyệt đối ta được:

 \( \left| P \right|=\left| (a-b)(b-c)(c-a) \right|.\left| \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3}-11abc \right| \)

 \( \le \left| (a-b)(b-c)(c-a) \right|.\left| \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3} \right| \)

Bởi vì:  \( 0\le abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27} \);

 \( \frac{2}{3}({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+\frac{1}{3}-11abc\ge \frac{2}{3}.3abc+\frac{1}{3}-11abc=\frac{1}{3}-9abc\ge 0 \).

Ta đi tìm giá trị lớn nhất của  \( \left| P \right| \) khi đó  \( a,b,c  \) vài trò như nhau kết quả với giả thiết nên ta có thể giả sử  \( a\ge b\ge c  \).

Khi đó:  \( \left| P \right|\le \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{3}\left[ 2({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})+1 \right] \).

+ Ta có các đánh giá cơ bản:  \( (a-b)(b-c)(a-c)\le ab(a-b)\le b(1-b)(1-2b) \);

 \( 2({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}})=2{{b}^{3}}+2({{a}^{3}}+{{c}^{3}})\le 2{{b}^{3}}+2{{(a+c)}^{3}}=2{{b}^{3}}+2{{(1-b)}^{3}} \).

Suy ra:  \( \left| P \right|\le \frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{3}}+2{{(1-b)}^{3}}+1)}{3}=\frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{2}}-2b+1)}{3} \).

Chú ý: Điều kiện  \( a\ge 7.\max \{b,c\};a+b+c=1\Rightarrow b\in \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Xét hàm số  \( f(b)=\frac{b(1-b)(1-2b)(2{{b}^{2}}-2b+1)}{3} \) trên đoạn  \( \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \), ta có:

 \( {f}'(b)=20{{b}^{4}}-40{{b}^{3}}+30{{b}^{2}}-10b+1 \);

 \( {f}”(b)=80{{b}^{3}}-120{{b}^{2}}+60b-10=40{{b}^{2}}(2b-3)+10(6b-1)<0,\forall b\in \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Suy ra:  \( {f}”(b)\ge f\left( \frac{1}{8} \right)=\frac{149}{1024}>0 \). Vì vậy  \( f(b) \) đồng biến trên đoạn  \( \left[ 0;\frac{1}{8} \right] \).

Suy ra  \( \left| P \right|\le f\left( \frac{1}{8} \right)=\frac{525}{8192}\Leftrightarrow -\frac{525}{8192}\le P\le \frac{525}{8192} \).

Dấu “=” đạt tại  \( b=\frac{1}{8};c=0;a=\frac{7}{8} \).

Vậy  \( P=-\frac{525}{8192} \).

Chú ý: Câu hỏi đặt ra là tại sao phân tích được P như trên. Nhận thấy khi  \( a=b=c\Rightarrow P=0 \).

Do đó P có các nhân tử  \( (a-b)(b-c)(c-a) \). Nói thêm có thể không cần điều kiện  \( a\ge 7.\max \{b;c\} \). Việc chặn thêm điều kiện này chỉ nhằm mục đích bài toán có kết quả đẹp.

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=(x+y)/(x−y)^2+(y+z)/(y−z)^2+(z+x)/(z−x)2−6/√(x+y+z)

Cho x, y, z là các số thực không âm và đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\( P=\frac{x+y}{{{(x-y)}^{2}}}+\frac{y+z}{{{(y-z)}^{2}}}+\frac{z+x}{{{(z-x)}^{2}}}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}} \).

Hướng dẫn giải:

Không mất tính tổng quát giả sử  \( z=\min \{x,y,z\} \), đặt  \( x=a+z,y=b+z\text{ }(a,b>0) \), ta có:

 \( \frac{x+y}{{{(x-y)}^{2}}}+\frac{y+z}{{{(y-z)}^{2}}}+\frac{z+x}{{{(z-x)}^{2}}}=\frac{a+b+2z}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{a+2z}{{{a}^{2}}}+\frac{b+2z}{{{b}^{2}}} \)

 \( \ge \frac{a+b}{{{(a-b)}^{2}}}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(a+b)\left[ \frac{1}{ab}+\frac{1}{{{(a-b)}^{2}}} \right]=\frac{1}{a+b}.\frac{{{(a+b)}^{2}}({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})}{ab{{(a-b)}^{2}}} \)   (1)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( z=0 \).

Ta có:  \( \frac{{{(a+b)}^{2}}({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})}{ab{{(a-b)}^{2}}}\ge 9\Leftrightarrow {{({{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}})}^{2}}\ge 0 \)     (2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( {{a}^{2}}-4ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow a=\left( 2\pm \sqrt{3} \right)b  \).

Vì vậy,  \( P\ge \frac{9}{a+b}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}}=\frac{9}{x+y-2z}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}} \)

 \( \ge \frac{9}{x+y+z}-\frac{6}{\sqrt{x+y+z}}={{\left( \frac{3}{\sqrt{x+y+z}}-1 \right)}^{2}}-1\ge -1 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \frac{3}{\sqrt{x+y+z}}=1\Leftrightarrow x+y+z=9 \).

Tổng hợp tất cả các giá dấu bằng ta có:

 \( \left\{ \begin{align} & x=a+z,y=b+z \\  & z=0 \\  & a=\left( 2\pm \sqrt{3} \right)b \\ & x+y+z=9 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=\frac{9+3\sqrt{3}}{2},y=\frac{9-3\sqrt{3}}{2},z=0 \\  & x=\frac{9-3\sqrt{3}}{2},y=\frac{9+3\sqrt{3}}{2},z=0 \\ \end{align} \right. \).

Vậy  \( {{P}_{\min }}=-1 \).

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!