Biết x1,x2 là hai nghiệm của phương trình log7(4×2−4x+1/2x)+4x^2+1=6x và x1+2×2=1/4(a+√b) với a, b là hai số nguyên dương

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Điều kiện:  \( x>0;\,\,x\ne \frac{1}{2} \).

Ta có:  \( {{\log }_{7}}\left( \frac{4{{x}^{2}}-4x+1}{2x} \right)+4{{x}^{2}}+1=6x\Leftrightarrow {{\log }_{7}}(4{{x}^{2}}-4x+1)+4{{x}^{2}}-4x+1={{\log }_{7}}(2x)+2x \).

Xét  hàm số  \( f(t)={{\log }_{7}}t+t\) có  \( {f}'(t)=\frac{1}{t\ln 7}+1>0,\,\,\forall t>0 \)  nên là hàm số đồng biến trên  \( (0;+\infty ) \).

Do đó, ta có  \( 4{{x}^{2}}-4x+1=2x\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-6x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{4} \).

Khi đó:  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{4}+2.\frac{3+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{4}\left( 9+\sqrt{5} \right)\) hoặc  \( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4}+2.\frac{3-\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{4}\left( 9-\sqrt{5} \right) \) .

Vậy  \( {{x}_{1}}=\frac{3-\sqrt{5}}{4};\,\,{{x}_{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{4} \).

Do đó:  \( a=9;\,\,b=5 \) và  \( a+b=9+5=14 \).