Biết rằng hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1−3−4i|=1 và |z2−3−4i|=12. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a−2b=12. Giá trị nhỏ nhất của P=|z−z1|+|z−2z2|+2 bằng

Biết rằng hai số phức z1, z2 thỏa mãn \( \left| {{z}_{1}}-3-4i \right|=1 \) và  \( \left| {{z}_{2}}-3-4i \right|=\frac{1}{2} \). Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn  \( 3a-2b=12 \). Giá trị nhỏ nhất của  \( P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2 \) bằng

A. \( {{P}_{\min }}=\frac{\sqrt{9945}}{11} \)

B.  \( {{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3} \)             

C.  \( {{P}_{\min }}=\frac{\sqrt{9945}}{13} \)                                   

D.  \( {{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi M1, M2, M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1, 2z2, z trên hệ tọa độ Oxy. Khi đó quỹ tích của điểm M1 là đường tròn (C1) tâm I(3;4), bán kính R = 1; quỹ tích của điểm M2 là đường tròn (C2) tâm I(6;8), bán kính R= 1; quỹ tích của điểm M à đường thẳng  \( d:3x-2y-12=0 \).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của  \( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \).

Gọi (C3) có tâm  \( {{I}_{3}}\left( \frac{138}{13};\frac{64}{13} \right),\text{ }R=1 \) là đường tròn đối xứng với (C2) qua d. Khi đó  \( {{\left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \right)}_{\min }}={{\left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2 \right)}_{\min }} \) với  \( {{M}_{3}}\in ({{C}_{3}}) \).

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng  \( {{I}_{1}}{{I}_{3}} \) với (C1), (C3). Khi đó với mọi điểm  \( {{M}_{1}}\in ({{C}_{1}}),{{M}_{3}}\in ({{C}_{3}}),M\in d \) ta có:  \( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2 \), dấu “=” xảy ra khi  \( {{M}_{1}}\equiv A,\text{ }{{M}_{3}}\equiv B \).

Do đó:  \( {{P}_{\min }}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\frac{\sqrt{9945}}{13} \).

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán mới!

 

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *