Biết rằng hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1−3−4i|=1 và |z2−3−4i|=12. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a−2b=12. Giá trị nhỏ nhất của P=|z−z1|+|z−2z2|+2 bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi M₁, M₂, M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z₁, 2z₂, z trên hệ tọa độ Oxy. Khi đó quỹ tích của điểm M₁ là đường tròn (C₁) tâm I(3;4), bán kính R = 1; quỹ tích của điểm M₂ là đường tròn (C₂) tâm I(6;8), bán kính R= 1; quỹ tích của điểm M à đường thẳng  \( d:3x-2y-12=0 \).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của  \( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \).

Gọi (C₃) có tâm  \( {{I}_{3}}\left( \frac{138}{13};\frac{64}{13} \right),\text{ }R=1 \) là đường tròn đối xứng với (C₂) qua d. Khi đó  \( {{\left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \right)}_{\min }}={{\left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2 \right)}_{\min }} \) với  \( {{M}_{3}}\in ({{C}_{3}}) \).

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng  \( {{I}_{1}}{{I}_{3}} \) với (C₁), (C₃). Khi đó với mọi điểm  \( {{M}_{1}}\in ({{C}_{1}}),{{M}_{3}}\in ({{C}_{3}}),M\in d \) ta có:  \( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2 \), dấu “=” xảy ra khi  \( {{M}_{1}}\equiv A,\text{ }{{M}_{3}}\equiv B \).

Do đó:  \( {{P}_{\min }}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\frac{\sqrt{9945}}{13} \).