Biết rằng hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1−3−4i|=1 và |z2−3−4i|=12. Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3a−2b=12. Giá trị nhỏ nhất của P=|z−z1|+|z−2z2|+2 bằng

Biết rằng hai số phức z1, z2 thỏa mãn \( \left| {{z}_{1}}-3-4i \right|=1 \) và  \( \left| {{z}_{2}}-3-4i \right|=\frac{1}{2} \). Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn  \( 3a-2b=12 \). Giá trị nhỏ nhất của  \( P=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-2{{z}_{2}} \right|+2 \) bằng

A. \( {{P}_{\min }}=\frac{\sqrt{9945}}{11} \)

B.  \( {{P}_{\min }}=5-2\sqrt{3} \)             

C.  \( {{P}_{\min }}=\frac{\sqrt{9945}}{13} \)                                   

D.  \( {{P}_{\min }}=5+2\sqrt{5} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi M1, M2, M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1, 2z2, z trên hệ tọa độ Oxy. Khi đó quỹ tích của điểm M1 là đường tròn (C1) tâm I(3;4), bán kính R = 1; quỹ tích của điểm M2 là đường tròn (C2) tâm I(6;8), bán kính R= 1; quỹ tích của điểm M à đường thẳng  \( d:3x-2y-12=0 \).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của  \( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \).

Gọi (C3) có tâm  \( {{I}_{3}}\left( \frac{138}{13};\frac{64}{13} \right),\text{ }R=1 \) là đường tròn đối xứng với (C2) qua d. Khi đó  \( {{\left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \right)}_{\min }}={{\left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2 \right)}_{\min }} \) với  \( {{M}_{3}}\in ({{C}_{3}}) \).

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng  \( {{I}_{1}}{{I}_{3}} \) với (C1), (C3). Khi đó với mọi điểm  \( {{M}_{1}}\in ({{C}_{1}}),{{M}_{3}}\in ({{C}_{3}}),M\in d \) ta có:  \( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2 \), dấu “=” xảy ra khi  \( {{M}_{1}}\equiv A,\text{ }{{M}_{3}}\equiv B \).

Do đó:  \( {{P}_{\min }}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\frac{\sqrt{9945}}{13} \).

 

Các bài toán mới!

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *