Biết rằng f(0)=0. Hỏi hàm số g(x)=∣f(x6)−x3∣ có bao nhiêu điểm cực đại

Hướng dẫn giải:

Chọn D

 \( h(x)=f({{x}^{6}})-{{x}^{3}}\Rightarrow {h}'(x)=6{{x}^{5}}{f}'({{x}^{6}})-3{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}\left( 2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{x}^{2}}=0 \\  & 2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1=0 \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( u(x)=2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1\Rightarrow {u}'(x)=6{{x}^{2}}{f}'({{x}^{6}})+12{{x}^{8}}{f}”({{x}^{6}})\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \)

(Từ đồ thị ta có  \( {{x}^{6}}\ge 0\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {f}'({{x}^{6}})>0 \\  & {f}”({{x}^{6}})>0 \\ \end{align} \right. \) do đó  \( \left\{ \begin{align}  & 6{{x}^{2}}{f}'({{x}^{6}})\ge 0 \\  & 12{{x}^{8}}{f}”({{x}^{6}})\ge 0 \\ \end{align} \right.,\forall x\in \mathbb{R} \))

Nên  \( u(x)=2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1 \) đồng biến và liên tục trên  \( \mathbb{R} \)

(do f(x) là hàm đa thức  \( \Rightarrow u(x) \) là hàm đa thức) và  \( \left\{ \begin{align}  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,u(x)=-\infty  \\  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,u(x)=+\infty  \\ \end{align} \right. \).

Suy ra phương trình  \( u(x)=2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1=0 \) có nghiệm duy nhất.

Giả sử  \( 2{{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})-1=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}{f}'({{x}^{6}})=\frac{1}{2} \) có nghiệm là  \( {{x}_{0}} \) (do \({f}'(x_{0}^{6})>0\))  \( \Rightarrow x_{0}^{3}>0\Rightarrow {{x}_{0}}>0 \).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số  \( g(x)=\left| h(x) \right| \) có 1 điểm cực đại.