Biết rằng đồ thị hàm số f(x)=1/3x^3−1/2mx^2+x−2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là √7

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Có  \( {y}’={{x}^{2}}-mx+1 \),  \( {y}’=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0 \)  (1)

Để hàm số có cực trị thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.

 \( \Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m>2 \\  & m<-2 \\ \end{align} \right. \)

Gọi hai nghiệm của (1) là x₁, x₂. Khi đó, ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1 \\ \end{align} \right. \)

Độ dài hai cạnh của tam giác vuông đó là \(\left| {{x}_{1}} \right|,\left| {{x}_{2}} \right|\).

Theo bài ra ta có phương trình:  \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=7\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=7 \)

 \( \Leftrightarrow {{m}^{2}}-2=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}=9\Leftrightarrow m=\pm 3 \) (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.