Biết F′(x)=f(x),∀x∈[−5;2] và −3∫−1f(x)dx=143. Tính F(2)−F(−5)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy, đồ thị hàm số f(x) liên tục và xác định trên đoạn  \( [-5;2] \) được xây dựng bởi ba hàm số  \( f(x)=\left\{ \begin{align}  & {{f}_{1}}(x)\text{ }khi\text{ }-5\le x<-3 \\  & {{f}_{2}}(x)\text{ }khi-3\le x\le -1 \\  & {{f}_{3}}(x)\text{ }khi-1<x\le 2 \\ \end{align} \right. \).

Trong đó:

 \( {{f}_{1}}(x) \) là đường thẳng qua hai điểm  \( (-5;5) \) và  \( (-3;4) \) có phương trình:  \( {{f}_{1}}(x)=\frac{-x+5}{2} \).

 \( {{f}_{2}}(x) \) có đồ thị là một đường cong nối từ điểm  \( (-3;4) \) đến điểm  \( (-1;2) \).

 \( {{f}_{3}}(x) \) là đường thẳng đi qua hai điểm  \( (-1;2) \) và  \( (0;3) \) có phương trình  \( {{f}_{3}}(x)=x+3 \).

Vậy:  \( F(2)-F(-5)=\int\limits_{-5}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{-5}^{-3}{{{f}_{1}}(x)dx}+\int\limits_{-3}^{-1}{{{f}_{2}}(x)dx}+\int\limits_{-1}^{2}{{{f}_{3}}(x)dx} \)

 \( =\int\limits_{-5}^{-3}{\frac{-x+5}{2}dx}+\int\limits_{-3}^{-1}{{{f}_{2}}(x)dx}+\int\limits_{-1}^{2}{(x+3)dx}=9+\frac{14}{3}+\frac{21}{2}=\frac{145}{6} \).