Biết đồ thị hàm số y=x^3+ax^2+bx+c có hai điểm cực trị M(x1;y1),N(x2;y2) thỏa mãn x1(y1−y2)=y1(x1−x2). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=abc+2ab+3c bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( {y}’=3{{x}^{2}}+2ax+b  \)

Chia y cho y’ ta được:  \( y={y}’\left( \frac{1}{3}x+\frac{1}{9}a \right)+\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right)x+c-\frac{ab}{9} \)

Do  \( M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right) \) là hai điểm cực trị nên  \( {y}'({{x}_{1}})=0,{y}'({{x}_{2}})=0 \)

Do đó:  \( {{y}_{1}}=\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{1}}+c-\frac{ab}{9} \);  \( {{y}_{2}}=\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{2}}+c-\frac{ab}{9} \)

Theo giả thiết:  \( {{x}_{1}}\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)={{y}_{1}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \)\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{y}_{2}}={{x}_{2}}{{y}_{1}}\)

 \( \Leftrightarrow {{x}_{1}}\left[ \left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{2}}+c-\frac{ab}{9} \right]={{x}_{2}}\left[ \left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{1}}+c-\frac{ab}{9} \right] \)

 \( \Leftrightarrow {{x}_{1}}\left( c-\frac{ab}{9} \right)={{x}_{2}}\left( c-\frac{ab}{9} \right) \) \( \Leftrightarrow c-\frac{ab}{9}=0\text{ }\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow ab=9c  \)

Ta có:  \( P=abc+2ab+3c=9{{c}^{2}}+21c\) \( ={{\left( 3c+\frac{7}{2} \right)}^{2}}-\frac{49}{4}\ge -\frac{49}{4}  \)

Vậy \( {{P}_{\min }}=-\frac{49}{4} \).