Biết đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \) có hai điểm cực trị \( M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right) \) thỏa mãn \( {{x}_{1}}\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)={{y}_{1}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=abc+2ab+3c \) bằng
A. \( -\frac{49}{4} \)
B. \( -\frac{25}{4} \)
C. \( -\frac{841}{36} \)
D. \( -\frac{7}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( {y}’=3{{x}^{2}}+2ax+b \)
Chia y cho y’ ta được: \( y={y}’\left( \frac{1}{3}x+\frac{1}{9}a \right)+\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right)x+c-\frac{ab}{9} \)
Do \( M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right) \) là hai điểm cực trị nên \( {y}'({{x}_{1}})=0,{y}'({{x}_{2}})=0 \)
Do đó: \( {{y}_{1}}=\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{1}}+c-\frac{ab}{9} \); \( {{y}_{2}}=\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{2}}+c-\frac{ab}{9} \)
Theo giả thiết: \( {{x}_{1}}\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)={{y}_{1}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \)\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{y}_{2}}={{x}_{2}}{{y}_{1}}\)
\( \Leftrightarrow {{x}_{1}}\left[ \left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{2}}+c-\frac{ab}{9} \right]={{x}_{2}}\left[ \left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{1}}+c-\frac{ab}{9} \right] \)
\( \Leftrightarrow {{x}_{1}}\left( c-\frac{ab}{9} \right)={{x}_{2}}\left( c-\frac{ab}{9} \right) \) \( \Leftrightarrow c-\frac{ab}{9}=0\text{ }\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow ab=9c \)
Ta có: \( P=abc+2ab+3c=9{{c}^{2}}+21c\) \( ={{\left( 3c+\frac{7}{2} \right)}^{2}}-\frac{49}{4}\ge -\frac{49}{4} \)
Vậy \( {{P}_{\min }}=-\frac{49}{4} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!