Biết đồ thị hàm số \( y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \) có hai điểm cực trị \( M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right) \) thỏa mãn \( {{x}_{1}}\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)={{y}_{1}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=abc+2ab+3c \) bằng
A. \( -\frac{49}{4} \)
B. \( -\frac{25}{4} \)
C. \( -\frac{841}{36} \)
D. \( -\frac{7}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( {y}’=3{{x}^{2}}+2ax+b \)
Chia y cho y’ ta được: \( y={y}’\left( \frac{1}{3}x+\frac{1}{9}a \right)+\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right)x+c-\frac{ab}{9} \)
Do \( M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right) \) là hai điểm cực trị nên \( {y}'({{x}_{1}})=0,{y}'({{x}_{2}})=0 \)
Do đó: \( {{y}_{1}}=\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{1}}+c-\frac{ab}{9} \); \( {{y}_{2}}=\left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{2}}+c-\frac{ab}{9} \)
Theo giả thiết: \( {{x}_{1}}\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)={{y}_{1}}\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \)\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{y}_{2}}={{x}_{2}}{{y}_{1}}\)
\( \Leftrightarrow {{x}_{1}}\left[ \left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{2}}+c-\frac{ab}{9} \right]={{x}_{2}}\left[ \left( -\frac{{{a}^{2}}}{9}-\frac{2b}{3} \right){{x}_{1}}+c-\frac{ab}{9} \right] \)
\( \Leftrightarrow {{x}_{1}}\left( c-\frac{ab}{9} \right)={{x}_{2}}\left( c-\frac{ab}{9} \right) \) \( \Leftrightarrow c-\frac{ab}{9}=0\text{ }\left( {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow ab=9c \)
Ta có: \( P=abc+2ab+3c=9{{c}^{2}}+21c\) \( ={{\left( 3c+\frac{7}{2} \right)}^{2}}-\frac{49}{4}\ge -\frac{49}{4} \)
Vậy \( {{P}_{\min }}=-\frac{49}{4} \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!