Biết a/b (trong đó a/b là phân số tối giản và a,b∈N∗) là giá trị của tham số m để hàm số y=2/3x^3−mx^2−2(3m^2−1)x+2/3 có 2 điểm cực trị x1,x2 sao cho x1.x2+2(x1+x2)=1. Tính giá trị biểu thức S=a^2+b^2

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Tập xác định:  \( D=\mathbb{R} \)

Đạo hàm:  \( {y}’=2{{x}^{2}}-2mx-6{{m}^{2}}+2 \)

Hàm số có hai điểm cực trị  \( \Leftrightarrow {\Delta }’>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2\left( -6{{m}^{2}}+2 \right)>0 \)

 \( \Leftrightarrow 13{{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m>\frac{2\sqrt{13}}{13} \\  & m<-\frac{2\sqrt{13}}{13} \\ \end{align} \right. \)

Theo định lí Viet:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-3{{m}^{2}}+1 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=1 \) \( \Leftrightarrow -3{{m}^{2}}+1+2m=1\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-2m=0 \)

 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\  & m=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \)

Chỉ có giá trị  \( m=\frac{2}{3} \) thỏa điều kiện, khi đó:  \( S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{2}^{2}}+{{3}^{2}}=13 \)