(THPTQG – 2017 – 105) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \( \left| z+3i \right|=\sqrt{13} \) và \( \frac{z}{z+2} \) số thuần ảo?
A. 0
B. 2
C. Vô số
D. 1
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Gọi số phức \( z=a+bi\text{ }(a,b\in \mathbb{R}) \)
Ta có: \( \left| z+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| a+bi+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}=13 \)
\( \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b-4=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-6b \) (1)
\( \frac{z}{z+2}=1-\frac{2}{z+2}=1-\frac{2}{a+2+bi}=1-\frac{2(a+2-bi)}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}} \)
\( =\frac{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-4}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}i=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2b}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}i \)
Do \( \frac{z}{z+2} \) là số thuần ảo nên \(\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{(a+2)}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a=0\begin{matrix} {} & (2) \\\end{matrix} \\ & a\ne -2 \\ & b\ne 0 \\ \end{align} \right.\)
Thay (1) vào (2) ta có \( 4-6b+2a=0\Leftrightarrow a=3b-2 \) thay vào (1), ta có:
\( {{(3b-2)}^{2}}+{{b}^{2}}-4+6b=0\Leftrightarrow 10{{b}^{2}}-6b=0 \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=0\text{ }(\ell ) \\ & b=\frac{3}{5}\Rightarrow a=-\frac{1}{5} \\ \end{align} \right. \)
Vậy có 1 số phức cần tìm.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!